初中数学第22章 一元二次方程综合与测试单元测试课时作业

华师大版初中数学九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试卷

考试范围：第22章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列方程中，一元二次方程共有个．(    )

；；；；；．

A.  B.  C.  D.

2. 方程和有一个公共根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，则方程的根为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为           (    )

A.  B.
C.  D.

5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D.

6. 已知实数满足，则代数式的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 欧几里德在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接、，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是(    )

A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段

9. 下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是(    )

A.     B.   C.   D.  

10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，则关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 规定：，如：，若，则          ．
14. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______ ．
15. 用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程为______．
16. 对于实数，，定义运算“”如下：若，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    若方程有一个根是，求方程的另一个根．
18. 已知关于的方程．
    求证：无论取何值，此方程总有实数根；
    若等腰的三边，，中，另两边、恰好是这个方程的两个根，求值．
19. 关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程有一根大于，求的取值范围．
20. 关于的一元二次方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    若为正整数，求此方程的根．
21. 已知关于的一元二次方程．

求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；

若方程两个根均为正整数，求负整数的值．

22. 已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
    请判断的形状；
    当，时，求一元二次方程的解．
23. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    给取一个负整数值，解这个方程．
24. 已知关于的方程；
    求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
    若等腰的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
25. 已知关于的一元二次方程．
    不解方程，判断此方程根的情况；
    若是该方程的一个根，求代数式的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是根据一元二次方程的定义逐个进行分析，即可得到答案．
【解答】

解：，符合一元二次方程的定义，故正确；
，没有二次项系数不为这个条件，不符合一元二次方程的定义，故错误；
不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故错误；
，符合一元二次方程的定义，故正确；
，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故错误；
，方程整理后，未知数的最高次数是，
不符合一元二次方程的定义，故错误；
一元二次方程共有个，
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用方程的解法，本题属于中等题型．
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】
解：设该公共根为，
由题意可知：，

，

代入，

故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个根为，，
方程中或，
解得：或，
即，，
故选：．
根据已知方程的根得出或，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能根据已知条件得出或是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”根据一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是进行分析即可．
【解答】
解：时，不是一元二次方程，故此选项错误．
B.整理后方程不含有二次项，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
C.分母中含有未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；
D.是一元二次方程，故此选项正确；
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
 

此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
由一元二次方程的一个根是，将代入方程得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入方程进行检验，即可得到满足题意的值．

【解答】

解：一元二次方程的一个根是，

将代入方程得：，

解得：或，

将代入方程得二次项系数为，不合题意，舍去，

则的值为．

故选：．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
或．
当时，，
，
此方程无实数解．
当时，，
故选A．
由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出的值就可以求出结论．
本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时用因式分解法解一元二次方程是关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用正确利用根的判别式是解决本题的关键．
先根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，再根据“凤凰”方程定义得出，求解即可．
【解答】

解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
又，即，代入得，
即，
．
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：设，则．
由题意可知：≌，是的中点，
，，
，
，
．
的解为，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：．
首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设，则，从而可以用表示等式．
本题考查了一元二次方程的解法、正方形的性质、翻折变换．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
．
出现错误的是，
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在第一、三象限，
，
，
一元二次方程有实数根，
且，
且，
且，
且，
所有满足条件的整数的值为，，，，
所有满足条件的整数的值之和为，
故选：．
根据反比例函数的性质可得，从而可得，根据一元二次方程有实数根，从而可得，然后可得，从而可得所有满足条件的整数的值，最后进行计算即可解答．
本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：三角形是等腰三角形，
，或；两种情况，
当，或时，
，是关于的一元二次方程的两个根，
，
把代入得，，
解得：，
当，方程的两根是和，而，，不能组成三角形，
故不合题意，
当时，方程有两个相等的实数根，

解得：．
故选：．
由三角形是等腰三角形，得到，或；；当，或时，得到方程的根，把代入即可得到结果；当时，方程有两个相等的实数根，由可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
故选：．
根据根的判别式好已知条件得出，再求出的范围即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程没有实数解．
 

13.【答案】或 

【解析】解：依题意得，
整理，得，
因此，即，
直接开平方，得，
解得或．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当为腰长时，将代入，得：，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，，
，
符合题意；
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，
，
符合题意．
的值为或．
故答案为：或．
当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分为腰长及为底边长两种情况讨论是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解一元二次方程公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据求根公式确定出方程即可．
【解答】
解：根据题意得：，，，
则该一元二次方程是．
故答案为：．  

16.【答案】或 

【解析】解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

17.【答案】解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围为且；
把代入方程得，解得，
此时方程变形为，
设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
利用根的判别式的意义得到且，然后解不等式组即可；
先把代入方程得，此时方程变形为，再设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后求出即可．
 

18.【答案】解：证明：，
无论取何值，此方程总有实数根；
解方程，
得，
，，
、、为等腰三角形的三边，，，或，，均能组成三角形
或，
或． 

【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
计算判别式的值，利用完全平方公式得到，然后根据判别式的意义得到结论；
利用求根公式解方程得到，，再根据等腰三角形的性质得到或，然后分别解关于的方程即可．
 

19.【答案】证明：依题意，得，
，
方程总有两个实数根；
，
，
，，
方程有一个根大于，
，
．
的取值范围是． 

【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据判别式即可得；
因式分解法得出，，由方程有一个根大于知，解之可得．
 

20.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
由可知且，
又为正整数，
，
原方程变形为，解得，． 

【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；
利用的范围可确定，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即．
 

21.【答案】解：证明：，

无论取何值，原方程总有两个实数根；

解：由求根公式，得，

，，

方程的两个根均为正整数，

，

，

又为负整数，

．

【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，及解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程．

先找出，和，再证明根的判别式恒大于或等于即可；

根据公式法求出方程的解，根据方程的两个根为正整数，列不等式求解即可．

22.【答案】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
，
是直角三角形；

，，
，
方程可整理为，
解得：． 

【解析】根据方程有两个相等的实数根得出，即可得出，根据勾股定理的逆定理判断即可；
把，代入方程化简，即可求出方程的解．
此题考查了根的判别式，勾股定理，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

23.【答案】解：根据题意得，
解得；
取，则方程变形为，解得，． 

【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
在中的的范围内取，方程变形为，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

24.【答案】证明：
，
无论取何值，这个方程总有实数根；
解：为一腰时，则另一腰长也为，故为方程的一个解，
将代入原方程，得：，
解得：，
原方程为，
解得：，．
、、能组成三角形，
此时该三角形的周长为．
为等腰三角形的底边时，
由两腰长相等，则原一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得，
原方程为，
解得：，
、、能组成三角形，
此时该三角形的周长为．
综上，的周长为或． 

【解析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；分为腰还是底两种情况求解．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论取何值，这个方程总有实数根；
为一腰长时，则为方程的一个解，将代入原方程可求出值，代入值解方程即可求出、的长度，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出的周长．为底边时，方程有两个相等的实数解，则，解得，代入方程解得方程的根，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出的周长．综上即可得解．
 

25.【答案】解：，
此一元二次方程有两个不相等的实数根．
将代入一元二次方程，
得，
整理得，



． 

【解析】利用根的判别式判断即可．
将代入一元二次方程，整理得，再将变形为，代入求值即可．
本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．