华师大版九年级上册第23章 图形的相似综合与测试单元测试课时作业

华师大版初中数学九年级上册第23章《图形的相似》单元测试卷

考试范围：第23章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列图形是黄金矩形的折叠过程：
   第一步，如图，在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
   
   第二步，如图，把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
   第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处；
   第四步，如图，展平纸片，折出矩形就是黄金矩形．
   
   则下列线段的比中：，，，，比值为的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 放大镜中的四边形与原四边形的关系是(    )

A. 平移 B. 相似 C. 旋转 D. 成轴对称

5. 某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为：，其中一块草坪的周长是米，则另一块草坪的周长是(    )

A. 米 B. 米 C. 米或米 D. 米或米

6. 如图，在菱形中，，为的中点，交于点，且，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，▱的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接下列结论：；；；其中结论正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，在菱形中，，点是边上一点，且，点是边上的一个动点，、分别是线段、的中点，连接和，当点在边上从点向点移动时，线段的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，中，，，点，，分别是边，，的中点；点，，分别是边，，的中点；；依此类推，则第个三角形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法错误的是(    )

A.  B. 点、在同一条直线上
C.  D.

11. 如图，动点在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点，第二次继续运动到点，第三次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过次运动后，动点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是(    )

A. 关于轴对称 B. 关于轴对称
C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接以下结论正确的是______．
    ∽；
    ；
    ；
    点是线段的黄金分割点．

14. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，四边形的面积是______ 若四边形与四边形相似，则四边形的面积是______ ．

15. 如图，在▱的对角线，交于点，点是的中点，的周长为，则的周长为______．

16. 如图，点，点在射线上匀速运动，运动的过程中以为对称中心，为一个顶点作正方形，当正方形的面积为时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知，，是的三边长，且，
    求的值
    若的周长为，求各边的长．
18. 如图，在中，，，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，．
    比较与的大小；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
    过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

19. 阅读下列材料，完成相应的学习任务：
    已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图，在中，平分，则下面是这个定理的部分证明过程．
    证明：如图，过作，交的延长线于请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．

20. 如图，系列矩形纸张的规格特征是各矩形纸张都相似纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸

填空：纸的面积是纸的面积的          倍，纸的周长是纸的周长的          倍

根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽长大于宽之比

设纸的质量为克，试求出纸的质量用含的代数式表示

21. 如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
    
     

设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形．

若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于          

当菱形的“接近度”等于          时，菱形是正方形

设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理若不合理，给出矩形的“接近度”的一个合理定义．

22. 如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
    求证：∽；
    若，则的长是______．

23. 已知：在中，是边上的中线，点是的中点；过点作，交的延长线于，连接．
    求证：四边形是平行四边形；
    当分别满足什么条件时，四边形是菱形；四边形是矩形，并说明理由．

24. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是，是格点三角形顶点在方格顶点处．
    在图中画出一个格点，使得与相似，周长之比为：；
    在图中画出一个格点，使得与相似，面积之比为：．
     

25. 对、定义一种新运算“”，规定：其中，均为非零实数，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
    已知，，求，的值；
    已知关于，的方程组，若，求的取值范围；
    在的条件下，已知平面直角坐标系中，点在坐标轴上，将点向上平行个单位得点，坐标轴上有一点满足三角形的面积为，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设，则，，
在中，，
如图，由折叠得：，
，
；
；
四边形是正方形，
，
，
；
；
综上，比值为的是；
故选：．
设，则，，根据折叠的性质和正方形，矩形的性质分别计算相应线段的长，再计算中的比值即可解答．
本题考查了黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换，分母有理化等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，利用参数表示相应线段的长是解本题的关键，属于中考创新题目．
 

2.【答案】 

【解析】解：过点作交于，
则，
是的中线，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为放大前后的两个四边形的形状没变，而相似图形是指形状相同的图形，所以它们是相似的．
故选：．
放大镜把原来的四边形放大，只是四边形的大小发生了变化，四边形的形状没变，符合相似图形的定义．
本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形，用放大镜把四边形放大，四边形的形状没变，可以判定它们是相似图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：面积比为：，
相似比为：，
设另一块草坪的周长为，
当较大的草坪的周长是米时，
：：，
解得，
当较小的草坪的周长是米时，
：：，
解得．
所以另一块草坪的周长为米或米．
故选：．
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，可求出两多边形的相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比求解，再分已知的草坪是较大的草坪和较小的草坪两种情况讨论．
本题主要考查相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方的性质，注意要分情况讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，，
∽，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
或舍去，
，
故选：．
根据菱形的性质可得，，，从而可得，进而可得，然后利用等腰三角形的判定可得，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，再设，则，最后根据菱形的性质可得，从而可得，进而可证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
平分交于点，

是等边三角形，
，
，

，
，故正确；
，
，故正确，
在中，，，
，
，，
，
：，故正确；
，，
，
∽，
，
，
故正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
由四边形是平行四边形，得到，，根据角平分线的定义得到推出是等边三角形，证得，求出，故正确；由，得到，故正确，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到，于是得到：：；故正确；根据相似三角形的性质得到，求得；故正确．
此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、分别是线段、的中点，
是的中位线，
，
取最小值时，最小，
在上运动，
与重合时，最小，
四边形是菱形，
，
，
，
最小值为，
的最小值为，
故选：．
根据三角形中位线定理得出，进而利用菱形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据三角形中位线定理得出解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
的周长为．
点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
同理可得，，，
的周长的周长，
则第三个三角形的周长为的周长的周长，

则第个三角形的周长为的周长，即．
故选：．
根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】略
 

11.【答案】 

【解析】解：设点经过的点分别为：等等，
由此规律知：经过次后，
故选：．
理解题意，找出坐标，根据坐标规律，得出结果．
本题考查了点的坐标特征，根据题意，写出前几个坐标是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，观察图形可知，点绕点逆时针旋转得到点．

故选：．
利用图象法解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确画出图形，利用图象法解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：是绕点逆时针旋转得到的，
≌，
，，，
又四边形是矩形，
，
，
即，
，
即，故正确；
，
，
即是直角三角形，
而不是直角三角形，
与不相似，故错误；
在线段上取并连接，如图，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故正确；
在和中，
，
∽，
，
，，
，即，
点是线段的黄金分割点，故正确；
故答案为：．
依据旋转的性质，结合三角形内角和定理，即可得到结论正确；依据是直角三角形，而不是直角三角形，即可发现与不相似，进而得出结论错误；在线段上取并连接，即可判定≌，再根据是等腰直角三角形，即可得出结论正确；判定∽，即可得到，即，进而发现结论正确．
本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的定义，全等三角形的判定和性质等综合知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
 

14.【答案】  

【解析】解：．
又四边形与四边形相似，
：，
．
故答案为：，．
利用相似多边形的性质求解即可．
本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
是中点，
又是中点，
是的中位线，
，
即的周长的周长，
的周长的周长．
的周长．
故答案是：．
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，，，点是的中点，可得是的中位线，可得从而得到结果．
本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用，判断出的周长的周长是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
设直线：，
代入得：，
，
直线：，
设，
则，
作轴于，轴于，如图：

，
四边形是正方形，
，，是的中点．
，
，
≌．
，，
的坐标为，
的坐标为，
在直线上，
，
，
由解得：或舍去．
答案为：．
根据正方形的性质构造方程组计算的坐标．
本题考查函数的综合应用，充分利用正方形性质是求解本题的关键．
 

17.【答案】解：设，则，，，
．

的周长为，
，即．
解得，
，，．

【解析】本题利用 参数法 ，设，易得，，，再根据问题求解即可．
 

18.【答案】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
为的中点，
，
；
如图，作交于，交于
由≌得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
由知：，
，
，
，
．
 

【解析】由可得，然后证≌即可；
作交于，可证≌得，再证，再借助，由平行线分线段成比例即可证出．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识，作构造出全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，过作，交的延长线于，

则，，
平分，
，
，
，
，
，
． 

【解析】过作，交的延长线于，根据平行线分线段成比例定理得到，等量代换证明结论．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：；
设纸的长和宽分别是，，则纸的长和宽分别为，，
，即，
即该系列纸张的长与宽长大于宽之比为．
纸的质量为克，纸的面积是纸的面积的一半，
纸的质量为克，
同理，纸的质量是克，

纸的质量是克，
纸的质量是克． 

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：；

不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近于正方形的程度是相同的，但却不相等
矩形的“接近度”的合理定义不唯一，如将矩形的“接近度”定义为，越接近于，
矩形越接近于正方形
越大，矩形与正方形的形状差异越大
当时，矩形就变成了正方形，
即只有矩形的越接近于，矩形才越接近于正方形． 

【解析】见答案．
 

22.【答案】 

【解析】证明：四边形为正方形，且，
，
，，
，
∽；
解：，为的中点，
．
在中，，
由知，∽，
，
即：，
．
故答案为：．
由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论；
由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由∽，得出，可求得的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
 

23.【答案】解：证明：是边上的中线，
，
点是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
当，四边形是菱形．理由如下：
，是边上的中线，
，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形；
当时，四边形是矩形．理由如下：
，是边上的中线，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形是矩形． 

【解析】根据已知条件证明≌，进而证明四边形为平行四边形；
当，四边形是菱形．当时，四边形是矩形．分别根据等腰三角形的性质以及菱形和矩形的判定即可证明．
本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

24.【答案】解：如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
 

【解析】根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
本题考查作图相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】解：根据新运算的定义可得：
，
解得：；

由题意得：
，
解得：，
，
，
，
，
；

由知，得：，
，
将线段沿轴向右平移个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
当时，，
若点在轴上，
，
，
或；
若点在轴上，
，
，
或；
当时，；
点只能在轴上，
，
，
或．
综上所述，点的坐标为或或或或或． 

【解析】根据新运算“”定义建立方程组，解方程组即可得出答案；
应用新运算“”定义建立方程组，解关于、的方程组可得，进而得出，再运用不等式性质即可得出答案；
根据题意得，由平移可得，根据点落在坐标轴上，且，分类讨论即可．
本题考查了新运算“”定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算定义是解题关键．