2021-2022学年广东省珠海市香洲区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省珠海市香洲区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，点和点分别为和的中点，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 菱形的对角线，，则菱形的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线与坐标轴交于两点，则时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某市规定学生的学期体育成绩满分为，其中课堂表现占，期中成绩占，期末成绩占小彤的三项成绩依次为，，，小彤这学期的体育成绩为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 一养鱼专业户为了估计池塘里有多少条鱼，先捕上条作上标记，然后放回池塘里．过了一段时间，待标记的鱼混合于鱼群后，再捕捞次，记录如下：第次捕捞条，带标记的有条；第二次捕捞条，带标记的有条；第三次捕捞条鱼，其中带标记的有条：第次捕捞条，带标记的有条；第五次捕捞条，带标记的有条．鱼塘内鱼的数量大约为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平行四边形中，，垂足在线段上且不与点、重合，点是的中点，点由点出发，沿折线匀速运动，到达点停止运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加，小球速度与时间之间的关系为______．
13. 直线不经过第二象限，请写出一个符合条件的的值______．
14. 若，，则______．
15. 如图，矩形两条对角线交于点，，点在边上，沿所在直线折叠矩形，若点与点恰好重合，则折痕的长是______．
16. 四边形中，，与之间的距离为，，则边的长为______．
17. 正方形的边长为，是边上一动点，以为边向正方形内部作等边，连接当点从点开始运动到点停止运动，线段扫过的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
19. 如图，在平行四边形中，延长边至，使得，连接交于点求证：．

20. 明朝数学家程大位在他的著作算法统宗中写了一首计算秋千绳索长度的词西江月：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺，将它往前推进两步尺，此时踏板升高离地五尺尺，求秋千绳索或的长度．

21. 某校七、八年级各有人参加“防新冠安全知识竞赛”，两年级参赛人员中，各随机抽取名学生的成绩如下：
    七年级：
    八年级：
    【整理数据】

【分析数据】

【应用数据】
直接写出______，______，______；
请结合表格信息，判断样本中______填：七或八年级学生的竞赛成绩更稳定？
请估计该校七、八年级成绩大于分的总人数．

22. 某饰品店一次性购进“冰墩墩”和“雪容融”共件进行销售，其中“冰墩墩”的进价为元件，售价为元件：“雪容融”的进价为元件，售价为元件．
    设购进“冰墩墩”的数量为件，销售完这些吉祥物的总利润为元．
    请求出与之间的函数关系式；
    如果购进的“冰墩墩”的数量不多于“雪容融”的数量的倍，求购进“冰墩墩”多少件时，这批吉祥物销售完利润最多？最多可以获利多少元？
23. 如图，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．
    若直线与线段有交点，求的取值范围；
    轴上是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．

24. 如图，正方形中，，点在边上运动不与点、重合过点作的平行线交的延长线于点，过点作的垂线分别交于，于点、．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，求线段的长；
    点在边上运动过程中，的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．

25. 宽与长的比是约为的矩形叫微黄金矩形．它给我们以协调谓匀称的美．
    如希腊的巴特农神庙等．下面我们折叠出一个矩形：
    第一步，在一张宽为的矩形纸片一端，用如图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
    第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再展平；
    第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处；
    第四步，展平纸片，按照所得的点处折出，得到矩形．
    证明矩形图是黄金矩形；
    定义：直线将一个面积为的图形分成面积为和面积为的两部分设，如果，那么称直线为该图形的“黄金分割线”证明：直线是矩形的黄金分割线；
    如图中，以为原点，、所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直接写出中经过点的“黄金分割线”的解析式．不要求写过程
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
如果一个二次根式符合下列两个条件：、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么这个根式叫做最简二次根式．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，，
是的中位线，
，
故选：．
由题意可得是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出的长度．
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故不能组成直角三角形，故选项错误；
B、，故不能组成直角三角形，故选项错误；
C、，故不能组成直角三角形，故选项错误；
D、，故能组成直角三角形，故选项正确．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
菱形的面积，
故选：．
由菱形的面积公式列式计算即可．
本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图象可知：一次函数是增函数，且交轴于点，
函数值的的取值范围是：．
故选：．
根据图象得出一次函数交轴于点，根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案．
本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系的应用，解此题的关键是能根据图象理解一次函数与一元一次不等式的关系，题型较好，是一道容易出错的题目．
 

7.【答案】 

【解析】解：

分，
小彤这学期的体育成绩为分．
故选：．
根据加权平均数的计算方法，即可求出小彤这学期的体育成绩．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：中，，，





．
故选：．
利用勾股定理及及圆的面积公式计算可求解．
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
条，
答：池塘里大约有鱼条；
故选：．
用先捕捞的条鱼除以这五次所占的百分比，即可得出答案．
本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，用样本估计整体让整体样本的百分比即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：点在段移动时，底高，
以到的距离为高，为底，
到距离不变，即不变，
在段是关于的正比例函数；
当点移动到点时，点到的距离，
当在段移动时，，为点到的距离，
当由向移动时，减小，
随着的增大而减小，
当点在移动时，，
为点到的距离，随着的增大而增大，
在段增大；
当点位于点时，到的距离，
，
点和点到的距离相等，
在点位于点和点时相等，
故选：．
根据三角形的面积公式，结合动点的运动情况，分析出动点运动到每一段时对应的三角形的底和高的情况即可．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，分类讨论动点运动到不同位置的情况．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式即可．
【解答】
解：二次根式在实数范围内有意义，
被开方数为非负数，
，
解得：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，
小球从静止开始，加速度
，
即．
故答案是：．
此题根据“速度初速度加速度时间”列出代数式即可．
本题考查了函数关系式．这是一个跨学科的题目，实际上是利用“即时速度初始速度加速度时间”列出函数关系式．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：直线不经过第二象限，
所以，
所以可取．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的性质判断的取值范围，从而可以写出一个符合条件的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，根据题意得到的取值范围是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，



．
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
沿所在直线折叠矩形，若点与点恰好重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理得出，求出的值即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：过点作于点，过点作于点，

与之间的距离为，
，四边形为矩形，
，
在中，，
，，
，
在图中，；
在图中，；
在图中，．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
先根据勾股定理得到、的长，根据矩形得到的长，再利用线段之间的关系得到的长．
本题考查了两平行线间的距离，其中能考虑到分类讨论是解题关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
 

17.【答案】 

【解析】解：
如图示：是以为边的等腰三角形，则扫过的图形为，
由正方形及等边三角形的性质得：，
，，，，
过作交的延长线于，
在中，，
，
，
在直角三角形中，，
，
所以三角形的面积为：．
故答案为：．
先求出扫过的图形，再求其面积．
本题考查了正方形的性质，寻求扫过的图形是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用二次根式乘除法则计算，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
．
四边形是平行四边形，
． 

【解析】连接，，证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法与性质．
 

20.【答案】解：设尺，
尺，尺，
尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
则秋千绳索的长度额尺． 

【解析】设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

21.【答案】      八 

【解析】解：七年级成绩在有人，故；
把七年级名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，故中位数；
八年级名学生成绩出现次数最多的是，故众数，
故答案为：；；；
由表格数据可知，八年级学生的竞赛成绩更稳定，
故答案为：八；
人，
答：估计该校七、八年级成绩大于分的总人数为人．
根据题意结合中位数和众数的定义解答即可；
根据方差的意义判断即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：由题意得：
由题意得：，
解得：，
结合题意可得：，且为非负的整数，
又由，
其中，则随的增大而增大，
当时，取最大值，
此时最大值为元，
当购进“冰墩墩”件时，利润最多，最多可以获利元． 

【解析】由总利润等于“冰墩墩”的利润和“雪容融”的利润之和可得答案；
由购进的“冰墩墩”的数量不多于“雪容融”的数量的倍，列不等式求解的范围，再利用次函数的性质求解最大利润即可．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的性质，一次函数的性质，熟练的利用一次函数的性质求最大利润是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设直线的解析式为，
，，
，
，
直线的解析式为，
直线的表达式为，
联立解得，，
，
当直线过点时，，
当直线过点时，，
，
直线的表达式为与直线的比例系数相等，
这两条直线平行，
直线与线段有交点，
；

由知，，
点在轴上，
设，
，
，，，
是等腰三角形，
当时，，
，，
此时点与点重合，即点在线段上，构不成三角形；
当时，，
，
，
或；
当时，，
，
或，
或；
即满足条件的点或或或． 

【解析】先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，再求出直线过点，时的的值，即可求出范围；
利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解，即可求出答案．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，两直线交点的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形；
解：在正方形中，，
，，
，
，，
，
对于，，，
，
解得．
连接，
，
，
．
，
由知，四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
．
不变，，理由如下：
如图，在上取点，使，连接，，

，
，
，，
≌，
，，
，
，即．
，即． 

【解析】由四边形是正方形可得出，由“两组对边分别平行的四边形的平行四边形”可判断；
由勾股定理可得出和的长，由等面积法可求出的长，进而可得出的长；
在上取点，使，易证≌，则，，通过倒角可得，进而可得结论．
本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等积公式等相关内容，第问中构造出全等三角形是解题关键．此题放在九年级，第问可用相似解答．
 

25.【答案】证明：根据第一步折叠可知，是正方形，正方形边长为，
根据第二步可知，，
在中，根据勾股定理，
得，
根据第三步可知，，
，
．
矩形是黄金矩形；
证明：是正方形，正方形边长为，
正方形的面积为，，
，
矩形的面积为，
矩形的面积正方形的面积矩形的面积，
由题意得：，，，
，，
，
直线是矩形的黄金分割线；
解：如图，当“黄金分割线”右边部分的面积较小时，设“黄金分割线”左边部分的面积为，

是正方形，正方形边长为，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，，
，
直线是中经过点的“黄金分割线”，
设直线的解析式为，
，解得，
中经过点的“黄金分割线”的解析式为；
如图，当“黄金分割线”左边部分的面积较小时，设“黄金分割线”右边部分的面积为，
过点作于，

由得，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
直线是中经过点的“黄金分割线”，与轴重合，解析式为，
综上所述，中经过点的“黄金分割线”的解析式为或． 

【解析】根据第一步折叠可知，是正方形，根据折叠可知，由勾股定理可得，易得出的值，再求：的值即可判断；
分别求出正方形，矩形，矩形的面积，得出等式左边等于右边，即可得证；
分两种情况画出图形，根据“黄金分割线”的定义即可求解．
本题是四边形综合题，考查了黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质，待定系数法求函数的解析式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．属于中考创新题目．