2021-2022学年广西桂林市第十八中学高二下学期开学考试数学（文）试题Word版含答案

  桂林十八中2021-2022学年高二下学期开学考试卷

数  学（文科）

注意事项：

①本试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；

②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；

③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分．

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题包括12小题.每小题只有一个选项符合题意．每小题5分，共60分）

1. 已知，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知为虚数单位，复数z满足，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 0

3. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A. 支出最高值与支出最低值的比是8：1

B. 4至6月份的平均收入为50万元

C. 利润最高的月份是2月份

D. 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

4. 已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（    ）.

A. 63 B. 81 C. 99 D. 108

5. 已知实数，满足不等式组，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　)

A.  B. 1 C. 2 D. 0

7. 已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，则(    )

A. 5 B.  C.  D. 10

8 P是椭圆上一点，且，则（　　）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 9

9. 若第三象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

11. 已知，则当时，与的大小关系是（    ）

A.

B.

C.

D. 不确定

12. 定义在R上函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本题包括4题．共20分）

13. 沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.

14. 已知，，且，则的最小值为___________.

15. 已知函数，若实数满足且，则的取值范围是__________．

16. 已知函数，，对任意的，总存在至少两个不同的使得，则的范围是______．

三、解答题（本题包括6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．

（Ⅰ）求数列和通项公式；

（Ⅱ）求数列前n项和．

18. 设函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）求的极小值点和极大值点.

19. 已知钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________，，，求c的值.

从条件①，②中选择一个填到横线上，并解决问题.

20. AB是圆O直径，点C是圆O上异于A､B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.

（1）判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；

（2）当△VAB为边长为的正三角形时，求四面体V﹣DEB的体积.

21. 已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．

22. 函数.

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设，当a>0时，证明：恒成立.

答案

1-12 CCDCB  CBADB  BB

13. 33

14.

15.

16.

17. 解：（1）设等差数列的公差为d．

由，，得，解得．

所以．

即的通项公式为：，．

由于是公比为3的等比数列，且，

所以．

从而．

（Ⅱ）由（Ⅰ）．

数列的前n项和

．

18.（1）函数，函数的导数为．

，，

在处的切线方程：，即．

（2）令，，解得，．

当时，可得，即的单调递减区间，

或，可得，∴函数单调递增区间，，．

的极大值点，极小值点．

19. 依题意，

由正弦定理得,

在三角形中，，

所以，，

由于，所以.

若选①，则，

由余弦定理得，

即，

解得或.

当时，符合题意.

当时，，则是直角三角形，不符合题意.

若选②，，由正弦定理得，

由余弦定理得，

即，

所以.

20. （1）DE⊥平面VBC，证明如下:

∵AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，

∴AC⊥BC，∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，

AC⊂平面ABC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC=C，

∴AC⊥平面VBC，∵D，E分别是VA，VC的中点，

∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC.

（2）∵△VAB为边长为的正三角形，

AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，

过动点C直线VC垂直于圆O所在平面，

D，E分别是VA，VC的中点，∴△VBC≌△VAC，∴BC=AC，∴BC2+AC2=AB2=8.∴AC=BC=2，

D，E分别是VA，VC的中点，∴DE==1，

∴四面体V﹣DEB的体积为:

=.

21. （1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，

∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，

∴，解得，则抛物线方程是．

（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，

∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，

设，，联立直线与抛物线的方程得，

消去，并整理得，于是，，

∴，

又，因此，即，

∴，解得或．

当时，直线的方程是，不满足，舍去．

当时，直线的方程是，即，

∴直线方程是．

22. （1）由题意可知，，

①当时，，在上单调递增，

②当时，

．当时，，所以在上单调递减，

．当时，，

．当时，，所以在上单调递增；

（2）要证，所以只需证，

设，则，

当时，；当时，；当时，，

在时取得极小值，即为最小值，

令，则，

当时，；当时，；当时，，

在时取得极小值，即最小值为，

当时，恒成立，即恒成立．