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初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数4 二次函数的应用教学演示课件ppt
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这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数4 二次函数的应用教学演示课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了选择什么量设呢，方法一，方法二，化简得，方法三，请同学们思考，0≤x≤30，怎样确定x的取值范围，也可以这样求最值，跟踪训练等内容，欢迎下载使用。
①当a>0时，y有最小值k
②当a<0时，y有最大值k
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：销售利润=单件利润×销售量
类型1 利润最大问题“每每型”
若设批发单价为x元，则：单件利润为 。降价后的销售量为 。利润用y元表示，则 。
若设每件T恤衫降x元，则：单件利润为 。降价后的销售量为 。利润用y元表示为 。
若设批发价下降0.1x元，则：单件利润为： 。降价后的销售量为： 。利润用y元表示为 。
(13-0.1x-10)元
（5000+500x）元
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
调整价格包括涨价和降价两种情况.
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件,每件利润为 元，因此，所得利润为 元.
（60+x-40）(300-10x)
【解析】设每件涨价x元，则y=(60+x-40)(300-10x)，
即y=-10（x-5）2+6250
∴当x=5时，y最大值=6 250.
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元.
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案.
【解析】设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润：
y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x²-5x+6.25)+6 125 =-20（x-2.5）²+6 125
∴x=2.5时，y最大值=6 125.
用二次函数解决最值问题的一般步骤：(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
2.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：(5+x)(200－10x)=1 500，解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10所以 x=5.答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，当x= 时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
4.(营口中考)某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量y(千克)与时间第t天之间的函数关系式为y=2t+100(1≤t≤80,t为整数),销售价p(元/千克)与时间第t天之间满足一次函数关系如下表:
(1)直接写出销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式.(2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
解:(1)销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式为p=-0.5 t+50.(2)设每天获得的利润为w元.由题意得w=(2t+100)(50-0.5t-6)=-t2+38t+4400=-(t-19)2+4761.∵a=-1<0,∴w有最大值,当t=19时,w最大,此时w最大=4761.答:第19天的日销售利润最大,最大利润是4761元.
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
涨价:要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
1、某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
分 析：相等关系 客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数
若设每间客房的日租金提高 ，每间房屋的日租金为 。每天客房出租数会减少 间，出租 间客房日租金的总收入为y元，则：
2.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，则 y=(30-20+x)(400-20x) ＝-20x2+200x+4000 ＝-20(x-5)2+4500. (0≤x ≤20)∴x=5时，最大利润y=4500 即：当销售单价为35元时，可在半月内获得最大利润4500元
3.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
即100
当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;
(2) 当0≤x≤100时，y1=5 000x≤500 000<1 400 000；当100
3.（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【解析】（1）y=50-
（0≤x≤160）；
所以x= =170时，w有最大值，而170>160,故由函数性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34，此时的利润为10 880元.
4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
（1）由题意，得：w = (x－20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10 000
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
当 时，w有最大值.
∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000． 设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．
5.（扬州市中考）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
【解析】（1）设y＝kx+b，∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），∴
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46，∴30＜x≤46，设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，x﹣50＝±5，x1＝55，x2＝45，如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
①当a>0时，y有最小值k
②当a<0时，y有最大值k
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：销售利润=单件利润×销售量
类型1 利润最大问题“每每型”
若设批发单价为x元，则：单件利润为 。降价后的销售量为 。利润用y元表示，则 。
若设每件T恤衫降x元，则：单件利润为 。降价后的销售量为 。利润用y元表示为 。
若设批发价下降0.1x元，则：单件利润为： 。降价后的销售量为： 。利润用y元表示为 。
(13-0.1x-10)元
（5000+500x）元
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
调整价格包括涨价和降价两种情况.
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件,每件利润为 元，因此，所得利润为 元.
（60+x-40）(300-10x)
【解析】设每件涨价x元，则y=(60+x-40)(300-10x)，
即y=-10（x-5）2+6250
∴当x=5时，y最大值=6 250.
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元.
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案.
【解析】设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润：
y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x²-5x+6.25)+6 125 =-20（x-2.5）²+6 125
∴x=2.5时，y最大值=6 125.
用二次函数解决最值问题的一般步骤：(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
2.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：(5+x)(200－10x)=1 500，解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10所以 x=5.答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，当x= 时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
4.(营口中考)某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量y(千克)与时间第t天之间的函数关系式为y=2t+100(1≤t≤80,t为整数),销售价p(元/千克)与时间第t天之间满足一次函数关系如下表:
(1)直接写出销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式.(2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
解:(1)销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式为p=-0.5 t+50.(2)设每天获得的利润为w元.由题意得w=(2t+100)(50-0.5t-6)=-t2+38t+4400=-(t-19)2+4761.∵a=-1<0,∴w有最大值,当t=19时,w最大,此时w最大=4761.答:第19天的日销售利润最大,最大利润是4761元.
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
涨价:要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
1、某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
分 析：相等关系 客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数
若设每间客房的日租金提高 ，每间房屋的日租金为 。每天客房出租数会减少 间，出租 间客房日租金的总收入为y元，则：
2.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，则 y=(30-20+x)(400-20x) ＝-20x2+200x+4000 ＝-20(x-5)2+4500. (0≤x ≤20)∴x=5时，最大利润y=4500 即：当销售单价为35元时，可在半月内获得最大利润4500元
3.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
即100
当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;
(2) 当0≤x≤100时，y1=5 000x≤500 000<1 400 000；当100
3.（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【解析】（1）y=50-
（0≤x≤160）；
所以x= =170时，w有最大值，而170>160,故由函数性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34，此时的利润为10 880元.
4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
（1）由题意，得：w = (x－20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10 000
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
当 时，w有最大值.
∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000． 设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．
5.（扬州市中考）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
【解析】（1）设y＝kx+b，∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），∴
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46，∴30＜x≤46，设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，x﹣50＝±5，x1＝55，x2＝45，如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
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