2021-2022学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 某人在打靶中，连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是(    )

A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 至少有一次中靶 D. 只有一次中靶

2. 已知复数，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图是某数学学习小组一次月考成绩的茎叶图，则成绩落在内的频率为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知集合，，在集合中任取一个元素，则“”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图是某公司名员工的月收入的频率分布直方图，则该公司月收入在元以下的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，则函数在上的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 对具有线性相关关系的变量，，测得一组数据如下表

根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程为，据此模型来预测当时，的估计值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数至少有一个极值点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
    
    与所成角为
    与为异面直线
    
    以上四个命题中，正确命题的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 个和个随机排成一行，则个相邻的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 某中学组织了“党史知识竞赛”活动，已知该校共有高中学生人，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为的样本参加活动，其中高一年级抽取了人，则该校高一年级学生人数为______．
14. 已知复数，则______．
15. 成都天府广场设置了一些石発供大家休息，这些石発是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”图，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱长为的正方体截得的半正多面体，则该半正多面体共有______个面，其体积为______．

16. 已知函数有一个零点，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 年，乐山市家级旅游景区累计接待游客万人次，同比年增长，其中多数人为自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在“五一”旅游期间，随机抽取了名游客，得如下所示的列联表：

请将上面的列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为“自助游”与性别有关系？
附：，其中．

18. 已知函数．
    求在点处的切线方程；
    求在区间上的单减区间．
19. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型：分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：

残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型，的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
求出中所选模型的回归方程．
参考公式：，参考数据：，

20. 已知是的一个极值点．
    求的值；
    设函数，若函数在区间内单调递减，求的取值范围．
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，平面平面．
    判断与的位置关系并给予证明；
    求到平面的距离．

22. 已知函数．
    求函数的最大值；
    斜率为的直线与曲线交于，两点，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据对立事件的定义可得
事件“两次都不中靶”的对立事件为“至少有一次中靶”
故选：．
根据对立事件的定义，两个事件不可能同时发生且必须有一件发生，我们根据事件“两次都不中靶”的易求出其对立事件．
本题考查的知识点是对立事件，熟练掌握对立事件的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据茎叶图个数据中：成绩落在内有：，，共有个，所以概率为，
故选：．
根据茎叶图即可统计数据进行求解．
本题考查茎叶图和古典概型，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象的应用，利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．
【解答】
解：由题意可知函数在，时，导函数，函数是减函数，
时，导函数，函数是增函数，
函数的图象如图．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：解不等式，可得，
即，
又集合，
则，
由几何概型中的线段型概率的求法可得：在集合中任取一个元素，则“”的概率为，
故选：．
先由二次不等式的解法求出集合，然后结合集合交集的运算求出，最后结合几何概型中的线段型概率的求法求解即可．
本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，重点考查了几何概型中的线段型概率的求法，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意月收入在元以下的频率为：
，
月收入在元以下的人数为．
故选：．
由频率分布直方图得月收入在元以下的频率后可得人数．
本题考查频数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以当时，，则在上单调递增，则在上的最小值为．
故选：．
求导确定函数在上的单调性，求出最小值即可．
本题考查了利用导数确定函数的单调性从而求最值，属于易做题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由表中数据可得，，，
最小二乘法得到回归直线方程为，
，解得，
故回归直线方程为，
当时，．
故选：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将代入，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：至少有一个极值点，则导数至少有个变号零点，
由函数，
所以，
由二次函数的性质知，，解得，
故选：．
由题意得导数至少有个变号零点，求导后结合二次函数的性质，由判别式求解即可．
本题考查了利用函数的极值求参数的范围的问题，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：先将正方体复原，连接，，，如图，

对于，由题意得，，
则四边形为平行四边形，则，
又，则，故错误；
对于，由知或其补角为与所成角，
又为等边三角形，则，即与所成角为，故正确；
对于，由题意得，，
则四边形为平行四边形，则，故错误；
对于，由题意得，又，则，故正确．
故选：．
先复原正方体，再由异面直线的定义及线线平行及垂直依次判断四个命题即可求解．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：个和个随机排成一行，则个相邻的概率为，
故选：．
由古典概型及其概率计算公式，结合排列、组合知识求解即可．
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知可设，，是定义域为的偶函数，
可知为奇函数，，即．
又，故当时，，
故在单调递增，结合为奇函数，故在也单调递增．
综上，要使，当时，，
根据的单调性与零点易得；
同理，当时，，根据的单调性与零点易得．
故使得成立的的取值范围是，
故选：．
根据，可设，根据的奇偶性及零点，可求出的奇偶性及零点，即可进一步通过的符号求得的单调性，最后对分类讨论，结合的单调性与零点，即可求得所需范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设该校高一年级学生人数为，
则，
即，
故答案为：．
由分层抽样方法，按比例抽样即可．
本题考查了分层抽样方法，重点考查了阅读能力，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：已知复数，
则，
则，
故答案为：．
先由复数的运算求出，然后结合复数的模的运算求解即可．
本题考查了复数的运算，重点考查了复数的模的运算，属基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：石発是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”，
则该半正多面体共有个面；
该半正多面体的体积为．
故答案为：；．
利用石発的结构特征即可求得该半正多面体的表面个数；利用正方体体积减去个小三棱锥的体积即可求得该半正多面体的体积．
本题考查了半正多面体的体积计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设函数，
则，
当时，，当时，，
即函数的减区间为，增区间为，
则，
则函数的图象如图所示，
函数有一个零点等价于函数的图象与直线只有一个交点，
由图可知：当函数的图象与直线只有一个交点时，实数的取值范围是，或，
故答案为：．
设函数，则函数有一个零点等价于函数的图象与直线只有一个交点，然后利用导数作出函数的图象，再观察图象求解即可．
本题考查了导数的应用，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
 

17.【答案】解：列联表如下所示：

由列联表可得的观测值：，
又因为，
所以没有的把握认为自助游与性别有关系． 

【解析】先阅读题意，然后列出列联表，然后结合列联表求出的观测值，再结合题意求解即可．
本题考查了列联表，重点考查了独立性检验，属基础题．
 

18.【答案】解：由，得，
则，又，
故切线为，
即；
令，得，
由，解得，
则在上单调递减，
故在区间上的单减区间为． 

【解析】先求导，然后求出，，再求切线方程即可；
由，解得，然后求出减区间即可．
本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的单调区间，属基础题．
 

19.【答案】解：应该选择模型，
模型的残差值的绝对值之和为，
模型的残差值的绝对值之和为，
因为，
又残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，
所以模型的拟合效果较好，应该选模型；
由题可知：，，
又，，
所以，
则，
故关于的回归方程为． 

【解析】结合图表信息，求出残差值的绝对值之和，然后比较大小即可；
由图表信息，结合参考公式，求出线性回归方程即可．
本题考查了残差的运算，重点考查了线性回归方程的求法，属基础题．
 

20.【答案】解：由，定义域为．
则，
因为是的一个极值点，
所以，解得，
经检验，适合题意，所以；
由得，
则．
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，，
因为，
又函数在上为增函数，
即，
即，
所以的取值范围是． 

【解析】先求导，由是的一个极值点，则，解得的值，然后检验即可；
函数在上单调递减，等价于在上恒成立，即，，然后求解即可．
本题考查了导数的应用，重点考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属基础题．
 

21.【答案】证明：；
底面为正方形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
；
解：取的中点，连接，
为正三角形，，

侧面底面，侧面底面，平面，
底面，
故到底面的距离为，且，则，
，则，即，
故，
又是的中点，
所以到平面的距离为． 

【解析】利用线面平行性质定理即可证明；取的中点，连接，利用等体积转化，即可求解．
本题考查了线线平行的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：由函数，
则，，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
即当时，；
证明：，
欲证，只需证．
只要证，
令，
只要证，
由知，
只要证，，
设，，
，
在是增函数，
当时，，
即；
设，，
，，
即函数在是增函数，
当时，，
即，，
由知：，成立，
故． 

【解析】先求导，然后判断函数的单调性，然后求出最大值即可；
欲证，只需证只要证，然后构造函数，和，即可得证．
本题考查了导数的应用，重点考查了利用导数证明不等式恒成立问题，属中档题．