2021-2022学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科） 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）(    )A.  B.  C.  D. 已知，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 已知为等差数列，且，则(    )A.  B.  C.  D. 不能确定若，则(    )A.  B.  C.  D. 的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则(    )A.  B.  C.  D. 在等比数列中，，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知数列是等比数列，且，，则的前项和为(    )A.  B.  C.  D. 已知等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则公比为(    )A.  B.  C.  D. 中，，，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 已知，则(    )A.  B.  C.  D. 是边长为的等边三角形，点、分别在边、上，且，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 已知正实数、满足，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）______．已知数列的前项和，则的通项公式为______．已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，则面积的最大值为______．已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知，，且，，求：
；
．已知，，函数．
求的最小正周期；
已知的内角、、所对的边分别为，、，若，、成等比数列，为函数的最大值，试判断的形状．已知等比数列的前项和为，且，．
求通项公式；
若的前项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求的前项和的最小值．已知数列的前项和为，且．
证明数列是常数列，并求的通项公式；
设数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．已知的内角、、所对的边分别为，、，的面积为，若．
求证：；
若，为内一点，且，求的取值范围．已知数列满足：，．
直接写出，的值；
(ⅱ)求的通项公式；
求数列的前项和．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
故选：．
利用两角和的正弦公式，即可解出．
本题考查了两角和的正弦公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，，，
，求得，
，
则，
故选：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值，求得的坐标，可得则的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：设为等差数列的公差，
，
，
故选：．
由题意，利用等差数列的通项公式，求出的值．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，
对于，当时，，故A错误；
对于，，，时，，故B错误；
对于，，，，故C正确；
对于，当时，，故D错误．
故选：．
举反例判断；对于，由，得，从而．
本题考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由正弦定理知，且，
，
，
，
，
．
故选：．
利用正弦定理解出角，再利用正弦定理，即可解出值．
本题考查了解三角形，学生的数学运算能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：等比数列中，，，，
则，
故选：．
由题意，利用等比数列的通项公式，求得的值，可得的值．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：设等比数列的公比为，由，即，
所以，解得，又，所以，
所以，记数列的前项和为，
则，
所以数列的前项和为．
故选：．
设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式及已知条件求出，即可得到的通项公式，从而得到的通项公式，记数列的前项和为，利用等比数列求和公式求出，即可得解．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：设等差数列的公差为，
因为，
，
，
因为，，成等比数列，
所以，
所以，
所以，
故选：．
设等差数列的公差为，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，以及等比数列的定义，计算可得所求的值．
本题考查等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，，
，
由正弦定理：，
，
，
，
，，
由正弦定理得，，
，
当时，取得最小值为：，
故选：．
利用同角三角函数关系式，余弦定理，即可解出角，再利用正弦定理，以及角的范围，即可解出．
本题考查了解三角形，正余弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：，


．
故选：．
利用诱导公式将化为，再利用二倍角的余弦公式即可求出结果．
本题考查诱导公式、二倍角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：是边长为的等边三角形，点、分别在边、上，且，
则以为原点，所在的直线为轴，平面内过垂直于的直线为轴，
建立直角坐标系，如图所示：

则，
因为点、分别在边、上，且，
设且，则，
所以，
故当时，的最小值为．
故选：．
根据三角形形状及各点位置，建立平面直角坐标系，设动点坐标，利用平面向量的坐标运算，并结合函数思想求得最值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：正实数、满足，
．
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故选：．
由题可知，再利用基本不等式求解即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式直接求解．
本题考查诱导公式和二倍角的余弦函数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，数列的前项和，
当时，，
当时，，
故．
根据题意，分种情况讨论：当时，，当时，，求出的表达式，综合可得答案．
本题考查数列的前项和与通项的关系，涉及数列的表示方法，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，
且为三角形内角，
，
．
故答案为：．
利用余弦定理解出的最大值，再利用三角形面积公式，即可解出．
本题考查了解三角形，学生的数学运算能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：点，，是函数，图象上的动点，
则可设的坐标，
又若，得即，得，
则，，
设，，
则，故在上单调递增，
从而得到在处取得最大值，
故答案为：．
设出的坐标，再利用向量的坐标运算表示出，求导即可．
本题考查了向量的坐标运算以及导数与单调性相关知识，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，所以，
则，
所以，
因为，，且，，
所以，，则，
又，所以． 【解析】由已知求出，的值，再利用正切的和角公式化简即可求解；利用已知求出的范围，再利用正切的三角函数值即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到角的求解，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 18.【答案】解：，，
，
，
，
．
由可知，，
则，解得，
，、成等比数列，
，
，
，即，解得，
为等边三角形． 【解析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合周期公式，即可求解．
根据已知条件，先求出角，再结合余弦定理，以及等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及余弦定理，属于中档题．
 19.【答案】解：设等比数列的公比为，由，，
所以，解得或，
所以或．
解：若，则前项均为，显然不满足是递增的等差数列，故舍去；
所以，则，，，
因为是递增的等差数列，所以，，，
所以公差，
所以，
所以当时，时，
所以当时，取得最小值，即； 【解析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，即可求出、，从而求出通项公式；
列出数列的前项，再按照要求排列，即可求出的通项公式，再根据数列的单调性及前项和公式计算可得．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 20.【答案】证明：由，取，得，即，
当时，有，
可得，
则，即，
数列是常数列，又，
，即；
解：，
，
对任意恒成立，，即，
解得或．
实数的取值范围是． 【解析】由已知数列递推式求得首项，取，可得，与原递推式联立，即可证明数列是常数列，并求的通项公式；
利用裂项相消法求数列的前项和为，结合对任意恒成立，可得关于的一元二次不等式，求解得答案．
本题考查数列递推式，考查推理论证能力与运算求解能力，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．
 21.【答案】解：证明：因为，
由均值不等式，当且仅当时取等号，
所以，即，
而在三角形中，，所以，
即；
，，由可得，
如图所示：建立以为轴，以为轴的平面直角坐标系，由题意可得，，，
设，因为，所以，
即，即，
整理可得，
而的方程为，，
与联立，可得，
所以，
因为，
所以，
即的取值范围为． 【解析】由三角形的面积公式及均值不等式可得角的正弦值的范围，再由在三角形中，角的正弦值的范围，可证得角的大小；
由可得，建立适当的平面直角坐标系，可得，，的坐标，设的坐标，由题意可得，，代入坐标可得的横纵坐标的关系，求出直线的方程，与的横纵坐标的关系联立，求出横坐标的值，即的最大值，再求的表达式，由的范围，求出其取值范围．
本题考查三角形的面积公式的应用及均值不等式的应用，向量数量积的求法，属于中档题．
 22.【答案】解：对任意的，，则，
，，
对任意的，，则，
上述两个等式作差可得，
所以，数列的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列，
数列的偶数项成以为首项，以为公差的等差数列，
当为正奇数时，设，则，
当为正偶数时，设，则．
综上所述，对任意的，．
解：，
所以，，
则，
两式作差得
，
因此，． 【解析】利用递推公式可得出、的值；
分析出数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
利用错位相减法可求得．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．