2021-2022学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 椭圆的长轴长是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内，设是虚数单位，则复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 函数的单调递减区间为(    )

A.  B.  C.  D.

5. “”是方程“表示双曲线”的(    )

A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

6. 甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则的取值范围是(    )

A.  B. ，
C.  D. ，

9. 已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 随机变量的分布列如表所示，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，顶角为，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 的展开式中的系数为______用数字作答．
14. 抛物线与过焦点的直线交于、两点，是原点，则______．
15. 已知函数有两个零点，的取值范围是______．
16. 若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 年北京冬奥会即第届冬季奥林匹克运动会在年月日至月日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有人对冰壶运动没有兴趣．

完成上面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，若从这人中随机选出人作为冰壶运动的宣传员，设表示选出的人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：．

18. 在中，，，与斜率的积是．
    求点的轨迹方程；
    ，求的中点的轨迹方程．
19. 四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是的中点，点在侧棱上．
    若是的中点，求二面角的余弦值；
    是否存在，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20. 已知函数．

求曲线在点处的切线方程；

求函数在区间上的最大值和最小值．

21. 已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为、，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：离心率；四边形的面积为，解答下列各题．
    求椭圆的方程；
    设直线：交椭圆于、两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．
22. 已知函数，，．
    Ⅰ讨论的单调性；
    Ⅱ若，对任意恒成立，求的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：椭圆的标准方程为
，
即有，
则椭圆的长轴长为，
故选：．
将椭圆方程化为标准方程，可得椭圆的，进而得到椭圆的长轴长的值．
本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的长轴长，注意化椭圆为标准方程，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键，属于基础题．
根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．

【解答】

解：，
，
对应的点为，位于第一象限．
故答案选：．

3.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
利用空间向量的夹角余弦值公式，即可求得．
本题主要考查空间向量的夹角余弦值公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的单调性的求法，函数的导数的应用，注意函数的定义域．
求出函数的定义域，利用导函数的符号列出不等式求解即可．
【解答】
解：函数的定义域为：．
函数的导函数为：，
令并且，解得．
函数的单调递减区间为．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：若“”，则、均不为，方程，可化为，
若“”，、异号，方程中，两个分母异号，则其表示双曲线，
故“”是方程“表示双曲线”的充分条件；
反之，若表示双曲线，则其方程可化为，
此时有、异号，则必有，
故“”是方程“表示双曲线”的必要条件；
综合可得：“”是方程“表示双曲线”的充要条件；
故选：．
先证明充分性，把方程化为，由“”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“”是方程“表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得，由此可得“”是方程“表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．
本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程表示双曲线条件．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查两个计数原理的综合应用，排列组合，是基础题．
“至少门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有门相同，利用分步计数原理，求解即可．
【解答】
解：甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法可以分为两类：
甲、乙所选的课程中门均不相同，
甲先从门中任选门，乙选取剩下的门，有种．
甲、乙所选的课程中有且只有门相同，
从门中先任选一门作为相同的课程，甲从剩余的门中任选门，乙从最后剩余的门中任选门，由分步计数原理，此时共有种．
综上，甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有种．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：连接交于，若是的中点，连接，，

为直棱柱，各侧面四边形为矩形，是的中点，
，直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，面，面，则，
而，又，，面，面，
又面，，
，，
在中，由余弦定理，得．
故直线与直线夹角的余弦值为．
故选：．
连接交于，若是的中点，连接，，易得，即直线与直线夹角为或补角，进而求其余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，即，
当时，；
当时，．
，，
故选：．
根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系，求出的范围即可．
查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系进行求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
所以，即．
设，，所以由椭圆的定义可得：．
因为，所以由数量积的公式可得：，
所以．
在中，
所以由余弦定理可得：，
由可得：，所以．
故选A．
先根据椭圆的方程求得，进而求得，设，，再根据条件求出，然后利用余弦定理可求得的值，利用三角形面积公式求解．
解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义，熟练利用数量积求向量的夹角以及利用解三角形的知识求解面积问题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由，利用随机变量的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
【解答】
解：，
由随机变量的分布列得：
，解得，，
．
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：设在双曲线的左支上，
且，，
则的坐标为，
代入双曲线方程可得，
，
可得，
，
即有．
故选：．
设在双曲线的左支上，由题意可得的坐标为，代入双曲线方程可得，再由离心率公式即可得到所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得的坐标是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．
由题意可得有负根，函数为增函数，由此能求出的取值范围．
【解答】
解：由题意可得：存在，
满足，
即有负根，
当趋近于负无穷大时，
也趋近于负无穷大，
且函数为增函数，
若，，，
此时有负根，符合题意，
若，则，
，
，
的取值范围是，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式通项公式为，，，，，
当时，，当时，，
所以含的项为，
故的系数为，
故答案为：．
根据二项式定理求出含的项，即可得其系数．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
由得，设，，
则，，，
；
故答案为：．
由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去整理成关于的一元二次方程，设出、两点坐标，，由韦达定理可以求得答案．
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，转为一元二次方程根与系数的关系的问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，．
所以．
当时，则，只有一个零点为．
设，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，取满足且，则，故存在两个零点．
设，由得或．
若，则，故当时，，
因此在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；
当时，因此在上单调递减，
在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．综上可得的取值范围为．
故答案为：．
首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．
本题考查了函数的函数、转化思想、分类讨论思想及导数的综合运用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意，双曲线上两点，，
若点、关于直线：对称，设直线的方程是，代入双曲线方程，化简得：，
则，且，解得，且，
又，设的中点是，
所以，．
因为的中点在直线：上，
所以，所以，又，
所以，即，，所以，
所以，整理得，
解得：，
实数的取值范围为：．
故答案为：．
设双曲线上两点，，直线的方程是，代入双曲线方程化简得，的中点是，利用判别式大于，韦达定理结合的中点在直线：上，转化求解的范围即可．
本题考查双曲线的方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，
故列联表：

，
有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，
的所有可能取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：

故． 

【解析】根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断．
首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：设点坐标为，由题知，
整理得点的轨迹方程为；
设点坐标为，点坐标为，
由中点坐标公式得，即，
将代入，
得点的轨迹方程为：． 

【解析】设点坐标，根据题意直接列方程可得；
由相关点法可得．
本题考查了轨迹方程的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：取中点，连接，，，
因为，所以，
因为侧面底面，且平面底面，
所以底面，可知，，，
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，


则，
因为为中点，所以，
所以，
所以平面的法向量为，
因为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
所以，
由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为；
解：设，
由可知，
设，则，
又因为，
所以，即，
所以在平面中，，
所以平面的法向量为，
又因为平面，所以，
即，解得，
所以当时，即，平面． 

【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值；
设，，推导出，利用向量法能求出当时，平面．
本题考查了二面角的计算和线面平行的证明，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
，
可得曲线在点处的切线斜率为，
，切点为，
曲线在点处的切线方程为；
，
，
令，
，
当，可得，
即有在上单调递减，
可得，即，
则在上单调递减，
即有函数在区间上的最大值为；
最小值为． 

【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键，属于中等题．
求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；
求出的导数，再令，求出的导数，可得在区间的单调性和最大值，即可得到的单调性，进而得到的最值．
 

21.【答案】解：选：由上顶点，即，
由，且，可得，
所以椭圆的方程为；
选：由题设，，即，而，
所以，故，
所以椭圆的方程为；
联立：与，
并整理可得：，则，，
所以，，
由，，
所以
，
故，故且不共线，故为锐角，
所以在以为直径的圆外． 

【解析】根据所选条件及，结合椭圆参数关系求出椭圆方程；
联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求、，利用向量的数量积的坐标运算判断符号，即可判断点圆的位置关系．
本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ，
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
Ⅱ即为，即，
设，则，
易知函数在上单调递增，
而，所以，即，当时，即为，
设，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
，
，即的最大值为． 

【解析】Ⅰ对求导，然后分及讨论得出单调性情况；
Ⅱ原不等式可转化为，设，求出的单调性，可知当时，，设，求出的最小值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查构造函数思想，考查运算求解能力，属于中档题．