2021-2022学年河北省邢台市南和一中高二（下）第四次月考数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年河北省邢台市南和一中高二（下）第四次月考数学试卷（Word解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省邢台市南和一中高二（下）第四次月考数学试卷 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）函数的极大值点是(    )A.  B.  C.  D. 某班有名同学，一次数学考试满分分的成绩服从正态分布，若，则本班在分以上的人数约为(    )A.  B.  C.  D. 的展开式中的系数为(    )A.  B.  C.  D. 已知是定义在上的可导函数，若，则(    )A.  B.  C.  D. 一位爸爸带着三个孩子买玩具，每个孩子从四种不同的玩具中任选一个，每种玩具至少有三个，则不同的选法有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种已知，则“”是“的密度曲线的峰值比的密度曲线的峰值高”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件某研究机构采访了“一带一路”沿线国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前的关键词为高铁，移动支付，网购，共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”若将这个关键词平均分成组，且各组都包含“新四大发明”关键词．则不同的分法种数为(    )A.  B.  C.  D. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白球各个，甲、乙两人依次从袋中有放回地随机摸取球，记事件为“甲和乙至少一人摸到红球”，事件为“甲和乙摸到的球颜色不同”，则(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）已知，则(    )A.  B.  C.  D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值可能是(    )A.  B.  C.  D. 中国长征系列运载火箭包括长征一号，长征二号、长征三号，长征四号等多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力．其中长征三号系列火箭因其人轨精度高，轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”现假设长征三号系列火箭需要运送颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送颗或颗卫星，且每次都能成功发射．则(    )A. 若分次发射，则不同的方法种数为
B. 若分次发射，则不同的方法种数为
C. 若前次每次只发射颗，共发射次，则不同的方法种数为
D. 若前次共发射颗，则不同的方法种数为已知，则(    )A.  B.
C.  D.  三、填空题（本大题共4小题，共20分）曲线在点处的切线方程为______．已知，，若，则______．已知展开式的各二项式系数的和为，则______；若，则______．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”若把“祖率”小数点后的位数字，，，，，，随机排列，整数部分不变，则得到的所有不同小数的个数为______． 四、解答题（本大题共6小题，共72分）已知在正方体中，，，分别是棱，，的中点．
证明：与平面不平行；
求直线与平面所成角的正弦值．
已知等差数列的前项和为．
求的通项公式；
求数列的前项和．已知函数．
若在上不单调，求的取值范围；
若的最小值为，求．足球比赛全场比赛时间为分钟，若在分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行分钟的加时赛；若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：两队应各派名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；若在踢满轮前，一队的进球数已多于另一队踢满次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第轮结束时，双方进球数比为：，则不需再踢第轮了；若前轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第轮起，双方每轮各派人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜．
已知小明在点球训练中踢进点球的概率是在一次赛前训练中，小明踢了次点球，且每次踢点球互不影响，记为踢进点球的次数，求的分布列与期望．
现有甲、乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为，每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲队在点球大战中比赛轮并以：获得冠军的概率．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项摸球过关领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有个红球．个白球，这些球除颜色外完全相同，参与者每一轮从口袋中一次性取出个球，记录其中的红球个数后，将摸出的球全部放回袋中，当参与者完成第轮游戏时，将记录的红球总个数记为得分，若其前轮的累计得分恰好为，则游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏：若参与者第轮仍未过关，则游戏也结束．
求随机变量的分布列及数学期望；
求甲参加该项游戏能够领到纪念品的概率．已知椭圆：的离心率，且椭圆经过点
求椭圆的方程．
不过点的直线：与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：函数，导数，
令，可得或，
导数在的左侧大于，右侧小于，故为极大值；
导数在的左侧小于，右侧大于，故为极小值．  
函数的极大值点是
故选B．
令，可得或，根据导数在和两侧的符号，判断故为极大值，从而得到极大值点．
本题考查函数在某点取得极值的条件，利用，判断导数在极值点处左侧大于，右侧小于，是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：成绩服从正态分布，，
，
所以本班在分以上的人数约为．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：展开式中含的项为，
所以的系数为，
故选：．
根据二项式定理求出展开式中含的系数，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，
，即．
故选：．
根据已知条件，结合导数的定义，即可求解．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由题意可知，每个孩子都有种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法．
故选：．
利用分步计数原理直接求解．
本题考查了分步计数原理，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：曲线的对称位置由确定，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”，
故“”是“的密度曲线的峰值比的密度曲线的峰值高”的充要条件．
故选：．
根据正态曲线的特点，即可得到“”与“的密度曲线的峰值比的密度曲线的峰值高”二者间的逻辑关系．
本题考查了正态分布的特点和充分必要条件，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：先将个“新四大发明”分成，，三组，有种不同的分法，
 再将余下的个分成，，三组，有种不同的分法，最后配成三组，所以共有种不同的分法．
故选：．
先将个“新四大发明”分成，，三组，再将余下的个分成，，三组最后求得结果．
本题考查了排列组合的混合问题，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：袋中有个球，其中红、黄、蓝、白球各个，甲、乙两人依次从袋中有放回地随机摸取球，
记事件为“甲和乙至少一人摸到红球”，事件为“甲和乙摸到的球颜色不同”，
由题意可知，事件为“甲、乙只有一人摸到红球”，
则．
因此，．
故选：．
事件为“甲、乙只有一人摸到红球”，利用条件概率能求出结果．
本题考查概率的运算，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 9.【答案】 【解析】解：因为，所以．
故选：．
根据二项分布的期望、方差公式计算可得．
本题考查了二项分布的期望、方差公式，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：令，，
两边同除以得，令，，
，由得，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且当时：，，故时，，，比更快，
故此时；当时，；，
故要使原函数恰有两个零点，只需．
故选：．
令，再将两边同除以，然后将问题转化为在上恰有两个零点的问题，利用导数研究的单调性、极值情况，并构造出关于的不等式组求解．
本题考查函数零点的个数的判断问题，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，因为每次发射运送颗或颗，分次发射，则有次只发射运送颗，所以不同的方法种数为，故A错误；
对于，因为每次发射运送颗或颗，若分次发射，则有次只发射运送颗，所以不同的方法种数为，故B正确；
对于，因为每次发射运送颗或颗，若前次每次只发射颗，共发射次，则后次共发射颗卫星，且后次中有次只发射颗，所以不同的方法种数为，故C正确；
对于，因为每次发射运送颗或颗，若前次共发射颗，则前次中有次只发射颗，所以有种不同的方法，还有颗卫星，可以分次或次发射有种不同的方法，所以共有种不同方法，故D正确．
故选：．
求分次发射不同的方法种数，即可判断选项A；
求分次发射不同的方法种数，即可判断选项B；
求前次每次只发射颗，共发射次，不同的方法种数，即可判断选项C；
求前次共发射颗不同的方法种数，即可判断选项D．
本题考查了排列组合的混合问题，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：由二项式定理，是以展开，所以应化为，
从而得到，
选项A，，该选项正确；
选项B，中赋值，令得，，该选项正确；
选项C，根据二项展开式的通项公式第四项为，其系数为，该选项正确；
选项D，中令得，，解得，该选项错误；
故选：．
首先按展开式的特点，对式子变形，然后运用二项式定理及二项式系数的性质求解．
本题考查了二项式定理、通项公式及二项式系数的性质，并能根据需要灵活运用赋值法，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由点在曲线上，得，则切点为，
由，得，
曲线在点处的切线的斜率，
故所求切线方程为，即．
故答案为：．
把切点坐标代入曲线方程求得值，求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
由，，，得．
本题考查概率的求法，考查并事件的概率计算公式、事件的包含等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 15.【答案】   【解析】解：由二项式系数和公式可得，则，
令，则，
令，则，
所以，
故答案为：；．
利用二项式系数和公式即可求出的值，再分别令，，建立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：根据题意，假设小数部分有个位置，分两类进行分析：
当两个”排在一起时，有种不同的排法；
当两个“”不排在一起时，先排其他数字，有种不同的排法，再将两个“”插入个空中的个空，有种不同的排法，所以有种不同的排法．
故共有个不同的小数．
故答案为：．
根据题意，假设小数部分有个位置，分两类进行分析：当两个“”排在一起及当两个“”不排在一起时，最后相加即可．
本题考查了排列组合的混合问题，结合插空法，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题．
 17.【答案】证明：以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，
因为，
所以与平面不平行．
解：由可得，
所以，
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成的角为．
 【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，计算的值后，即可得结论；
求出与平面的法向量夹角的余弦值后，可得线面角的正弦值．
本题考查线面角的求法，线面平行的判定，熟练掌握利用空间向量判断线面平行，求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：设等差数列的公差为，则，由恒等式得，
，解得，，，的通项公式；
由得，
 【解析】运用等差数列的通项公式、前项和公式直接计算；运用裂项法求和．
本题考查等差数列的基本公式，以及裂项法求和，是基础题．
 19.【答案】解：因为．
若在上单调，则在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即．
因为在上不单调，
所以的取值范围是；
．
若，则，在上单调递增，此时无最值．
若，令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值是，
则．
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以方程只有一个根．
由，得，
即的值为． 【解析】求导，根据导数与函数单调性的关系求得在上恒成立时的范围，即可求得在上不单调时的取值范围．
求导，分，，分别利用导数研究函数的最小值，再根据的最小值为，即可求出的值．
本题考查了利用反证法求参数的范围，利用导数确定函数的单调性及最值求参数的值，也考查了分类讨论思想，属于中档题．
 20.【答案】解：由题意可知小明踢进点球的次数的取值可能是，，，，
；
；
；
；
所以的分布列为： ．

设“甲队在点球大战中比赛轮并以：获得冠军”为事件．
当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球，
；
当甲队前三个点球有一个没进时；
所以． 【解析】由题意可知小明踢进点球的次数的取值可能是，，，，求出每个对应的概率，即可求出分布列和期望；
设“甲队在点球大战中比赛轮并以：获得冠军”为事件事件分为两种情况：当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球和当甲队前三个点球有一个没进，分别计算出概率即可求出答案．
本题考查随机变量的概率分布列和数学期望以及相互独立事件的概率，是中档题．
 21.【答案】解：随机变量的所有可能取值为，，，，，，，
则，，，，
，，，
故随机变量的分布列为：                ．
设甲参加该项游戏能够领到纪念品为事件．
甲第一轮领到纪念品的概率，甲第二轮领到纪念品的概率，
所以． 【解析】由红球个数得随机变量的所有可能取值为，，，，，，，分别求得各概率得分布列，由期望公式计算期望．
分别求出甲第一轮领到纪念品和第二轮领到纪念品的概率，然后相加即得．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了独立事件的概率乘法公式，以及古典概型的概率公式，属于中档题．
 22.【答案】解：因为，所以，所以．
因为椭圆过，所以，
所以，，故椭圆的标准方程为．
因为直线不过，且直线，的斜率存在，所以且．
设，，
联立方程组得，
则，．
由，得且．
因为，
所以，
即为定值，且． 【解析】根据已知条件求得，，由此求得椭圆的方程．
联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，从而计算出为定值．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点定值问题等知识，属于中等题．