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初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形综合与测试单元测试测试题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形综合与测试单元测试测试题，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版初中数学八年级上册第一章《全等三角形》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC 其中正确的有个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 下列说法正确的是( )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形的周长和面积都一样
C. 全等三角形是指形状相同的两个三角形
D. 全等三角形的边都相等
3. 如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
4. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=36°，AB=AC，AD=AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=∠AEB B. CD//AB
C. DE=GE D. CD=BE
5. 如图，∠ACB=90°，AC=CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E.若AB=2DE，则∠BAC的度数为( )
A. 45°
B. 30°
C. 22.5°
D. 15°
6. 如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为( )
A. 6
B. 22
C. 23
D. 32
7. 如图方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样三个顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有( )
A. 9个
B. 10个
C. 11个
D. 12个
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E，F是线段AB上的两个动点，且∠ECF=45°，过点E，F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为H，G.有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③△ACE∽△BFC；④AF+BE=EF.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE.下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF=DN，⑤AD//NE．
其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D.给出下列结论：①AF=AC；②DF=CF；③∠AFC=∠C；④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
11. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )
A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5
12. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，添加一个条件仍无法证明△ABC≌△DEF是( )
A. BC=EF B. BC//EF C. ∠A=∠EDF D. AD=CF
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在△ABC中，AB=BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD=CA，在射线CF上取点G，使CG=BA，连接AD、AG，若∠DAE=38°，∠EBC=20°，则∠GAB=______°.
14. 如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD.连接BD、CE，BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1=∠2，则图中全等的三角形有 对.
15. 如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=5cm，点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)．
(1)AP的长为___cm.(用含t的代数式表示)
(2)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t=___s．
16. 如图所示，∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN;②AF//EB;③∠FAN=∠EAM;④ΔACN≌ΔABM.其中正确的有________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，在ΔABC中，已知AB=AC，∠BAC=90∘，AH是ΔABC的高，AH=4cm，BC=8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)请直接写出CD、CE的长度(用含有t的代数式表示):CD= cm，CE= cm；
(2)当t为多少时，ΔABD的面积为12cm2？
(3)请利用备用图探究，当t为多少时，ΔABD≅ΔACE？并简要说明理由．
18. 已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．
19. 在三角形ABC中，点D在线段AB上，DE//BC交AC于点E，点F在直线BC上，作直线EF，过点D作直线DH//AC交直线EF于点H．
(1)在如图1所示的情况下，求证：∠HDE=∠C；
(2)若三角形ABC不变，D，E两点的位置也不变，点F在直线BC上运动．
①当点H在三角形ABC内部时，说明∠DHF与∠FEC的数量关系；
②当点H在三角形ABC外部时，①中结论是否依然成立？若不成立，∠DHF与∠FEC又有怎样的数量关系？请在图2中画图探究，并说明理由．
20. 已知：如图，直线：y=−43x+4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90∘；直线l2经过点C与点D(4,0)，且与直线l1在x轴下方相交于点E．
(1)请求出直线l2的函数关系式；
(2)求出△ADE的面积；
(3)在直线l2上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由；
(4)在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=36°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E．
(1)当∠BDA=128°时，∠EDC=______，∠AED=______；
(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
22. 已知点A，D在直线l的同侧．
(1)如图1，在直线l上找一点C，使得线段AC+DC最小(请通过画图指出点C的位置)：
(2)如图2，在直线l上取两点B、E，恰好能使△ABC和△DCE均为等边三角形．M、N分别是线段AC、BC上的动点，连接DN交AC于点G，连接EM交CD于点F．
①当点M、N分别是AC、BC的中点时，判断线段EM与DN的数量关系，并说明理由；
②如图3，若点M、N分别从点A和B开始沿AC和BC以相同的速度向点C匀速运动，当M、N与点C重合时运动停止，判断在运动过程中线段GF与直线l的位置关系，并说明理由．
23. 如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A−B−C−D−A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t=3时，BP=______cm；
(2)当t为何值时，连接BD，AP，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；
(3)Q为AD边上的点，且DQ=5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
24. 已知：如图，Rt△ABC中，AC>BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B.求证：AE=BC．
25. 如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA=ED．
(1)如图1，若∠A=60°，∠CDE=120°，且CD+AB=BC.求证：CE平分∠BCD；
(2)如图2，∠A与∠D互补，∠DEA=2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD=23AB=4.求点E到BC的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．
根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相等得出BD=CD，BE=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DE⊥BC，则∠BED=90°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠A=∠BED=90°，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，从而可判断∠C，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出BE=CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出BD=CD，但A、D、C可能不在同一直线上，所以AD+CD可能不等于AC，据此判断⑤.
【解答】
解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，BE=CE，
∴DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠A=∠BED=90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直线上
∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，
∵∠A=90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，
∴∠C≠30°，故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE=CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD>AC，
∴AD+BD>AC，故⑤不正确．
故选A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质；注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键．认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：∵全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A、C错误；
∵两个三角形全等，∴它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
全等三角形的对应边相等，故选项D错误；
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOB=∠A′OB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．
【解答】
解：∵O是AA′、BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
在△OAB和△OA′B′中，
AO=A′O∠AOB=∠A′OB′BO=B′O,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS)，
因此判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．
故选A．
4.【答案】C
【解析】解：A.∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠CAB−∠CAE=∠DAE−∠CAE，即∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
AD=AE∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB，故A选项不符合题意；
CD=BE，故D选项不符合题意；
B.∵△DAC≌△EAB，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠ACB=∠ABC=(180°−36°)÷2=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠ACD=∠ABE=36，
∵∠DCA=∠CBA=36°，
∴CD//AB(内错角相等，两直线平行)，
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意．
故选：C．
利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC=∠AEB，CD=BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD=∠ABE=36°，即可得∠ACD=∠CAB，进而可证明CD//AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：
连接AD，延长AC、DE交于M，
∵∠ACB=90°，AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM，
∵∠ABC=∠DBE，
∴由三角形内角和定理得：∠CAB=∠CDM，
在△ACB和△DCM中
∠CAB=∠CDMAC=CD∠ACB=∠DCM
∴△ACB≌△DCM(ASA)，
∴AB=DM，
∵AB=2DE，
∴DM=2DE，
∴DE=EM，
∵DE⊥AB，
∴AD=AM，
∴∠BAC=∠DAE=12∠DAC=12×45°=22.5°，
故选：C．
连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB=∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB=DM，求出AD=AM，根据等腰三角形的性质得出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=3，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，
∴AC=AH2+CH2=(3)2+(3)2=6，
∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，
∴△BFD≌△CKD(AAS)，
∴BF=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△ACN中，AN
综上所述，AE+BF的最大值为6．
故选：A．
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】如图所示，与△DEF全等的格点三角形共有11个，分别为△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW， △CGR，△IKW．
8.【答案】C
【解析】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
则AB=AC2+BC2=2，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠ACB=∠MBC，
∴MG//BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴F是AB的中点
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=12AC=MH=12，故②正确；
③如图2所示，
将△ACF绕点C顺时针旋转90°至△BCD，连接DE，
∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC．
故③正确．
④∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
∵将△ACF顺时针旋转90°至△BCD
∴CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
CF=CD∠2=∠DCECE=CE，
∴△ECF≌△ECD(SAS)，
∴EF=ED．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故④错误；
故选：C．
①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG//BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③根据AA可证△ACE∽△BFC；
④如图2所示，可证△ECF≌△ECD(SAS)，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断．
本题考查了相似三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
9.【答案】D
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；③错误，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°−67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD(ASA)，
∴DF=DN，故④正确；
∵∠BAM=∠BNM=67.5°，
∴BA=BN，
∵∠EBA=∠EBN，BE=BE，
∴△EBA≌△EBN(SAS)，
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴∠ENC=∠ADC=90°，
∴AD//EN.故⑤正确，
故选：D．
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，即可判断①③；由M为EF的中点且AE=AF可判断②；证△FBD≌△NAD可判断④，证明△EBA≌△EBN(SAS)，推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断⑤．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在△ABC与△AEF中，
AB=AE∠B=∠EBC=EF，
∴△AEF≌△ABC(SAS)，
∴AF=AC，
∴∠AFC=∠C；
由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，
可知：△ADE∽△FDB；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAD=∠CAF，
由△ADE∽△FD，B可得∠EAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠CAF．
综上可知：①③④正确．
故选：B．
先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定与性质及三角形面积，作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，进而得出一组三角形全等，将△EDF的面积转化为△DNM的面积来求即可。
【解答】
解：如图，过D作DN⊥AC于点N，在AC上取一点M，连接DM，使DM=DE，
∵DE=DG，∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，∠EAD=∠MAD，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
DE=DM,DF=DN,
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL)，
∴∠FED=∠NMD，
∴∠AED=∠AMD，
又∠EAD=∠MAD，AD=AD，
∴△AMD≌△AED，
∴S△AMD=SAED，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG−S△ADM=S△ADG−S△AED=50−39=11，
∴S△DNM=S△EDF=12S△MDG=12×11=5.5．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：若添加：BC=EF．
∵AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；
若添加：BC//EF，则∠ACB=∠F，
∵AB=DE，∠B=∠E，∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
若添加：∠A=∠EDF，
∵AB=DE，∠B=∠E，∠A=∠EDF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
若添加：AD=CF，则无法证明△ABC≌△DEF；
故选：D．
已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边，即可得到结论．
本题主要考查了全等三角形的判定，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13.【答案】58
【解析】解：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABD和△GCA中
BD=AC∠ABE=∠ACFAB=CG，
∴△ABD≌△GCA(SAS)，
∴∠AGC=∠BAD，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE=90°，
∴∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38°=58°，
即∠GAB=58°，
故答案为：58．
首先证明△ABD≌△GCA可得∠AGC=∠BAD，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38°=58°，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△GCA．
14.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
【解答】
解： ①在△AEO与△ADO中，
{AE=AD∠1=∠2OA=OA(公共边),
∴△AEO≌△ADO(SAS)；
②∵△AEO≌△ADO，
∴OE=OD，∠AEO=∠ADO，
∴∠BEO=∠CDO．
在△BEO与△CDO中，
{∠BEO=∠CDOOE=OD∠BOE=∠COD(对顶角相等),
∴△BEO≌△CDO(ASA)；
③∵△BEO≌△CDO，
∴BE=CD，BO=CO，OE=OD，
∴CE=BD．
在△BEC与△CDB中，
{BE=CD∠BEC=∠CDBCE=BD,
∴△BEC≌△CDB(SAS)；
④在△AEC与△ADB中，
AE=AD∠AEC=∠ADB,CE=BD
则△AEC≌△ADB(SAS)；
⑤∵△AEC≌△ADB，
∴AB=AC．
在△AOB与△AOC中，
AB=ACOB=OCOA=OA,
∴△AOB≌△AOC(SSS)．
综上所述，图中全等三角形共5对．
故答案为：5．
15.【答案】(1)2t(0≤t≤52)；
(2)53．
【解析】解：(1)∵点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动，设点P的运动时间为t(s)．
∴AP的长为2t(0≤t≤52)cm．
故答案为：2t(0≤t≤52)；
(2)在△ABC和△EDC中，
AC=EC∠ACB=∠ECDBC=DC，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴AB=ED=5cm，∠A=∠E，
当线段PQ经过点C时，
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=EC∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，
∵AP的长为2tcm(0≤t≤52).DQ=t cm，
∴2t=5−t，
解得：t=53．
故答案为：53．
(1)根据点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动即可得AP=2t；
(2)由SAS证明△ABC≌△EDC(SAS)，即可得AB=ED=5cm，证△ACP≌△ECQ(ASA)，得AP=EQ=2t，当0≤t≤52时，2t=5−t，解出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】
【分析】
此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL.学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．
【解答】
解：在△ABE和△ACF中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，
∴∠EAB−∠MAN=∠FAC−∠NAM，即∠EAM=∠FAN，
在△AEM和△AFN中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，
∴△AEM≌△AFN，
∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；
在△ACN和△ABM中，
∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM(公共角)，
∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；
若AF//EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，
则正确的选项有：①③④．
故答案为①③④．
17.【答案】解：(1)3t；t；
(2)∵S△ABD=12BD⋅AH=12，AH=4，
∴AH×BD=24，
∴BD=6．
若D在B点右侧，则CD=BC−BD=2，t=23；
若D在B点左侧，则CD=BC+BD=14，t=143；
综上所述：当t为23s或143s时，△ABD的面积为12 cm2；
(3)动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：如图所示：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=8−3t
∴t=8−3t，
∴t=2，
∵在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠ACE=45∘BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=3t−8，
∴t=3t−8，
∴t=4，
∵在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠ABD=∠ACE=135∘BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，三角形面积等内容，掌握相关知识并能够熟练应用是解题关键．
(1)根据路程=速度×时间，即可得出结果；
(2)首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值即可；
(3)假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【解答】
解：(1)根据题意得：CD=3tcm，CE=tcm；
故答案为3t；t；
(2)见答案；
(3)见答案．
18.【答案】(1)证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
OB=OCOE=OF，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，OE=OF.∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中
OB=OCOE=OF，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)，
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(3)不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC.(如示例图)
【解析】(1)求证AB=AC，就是求证∠B=∠C，可通过构建全等三角形来求．过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，那么可以用斜边直角边定理(HL)证明Rt△OEB≌Rt△OFC来实现；
(2)首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，进而得出AB=AC；
(3)不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC．
本题的关键是通过辅助线来构建全等三角形．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
19.【答案】解：(1)证明：
∵DE//BC，
∴∠1=∠C，
∵DH//AC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
即∠HDE=∠C；
(2)①∠DHF+∠FEC=180°，理由如下：
∵DH//AC，
∴∠DHE=∠FEC，
∵∠DHF+∠DHE=180°，
∴∠DHF+∠FEC=180°；
②当点H在三角形ABC外部时，①中结论不成立，∠DHF=∠FEC．
理由如下：
①′如图2−1，当点H在直线DE上方时，
∵DH//AC，
∴∠DHF=∠FEC；
②′如图2−2，当点H在直线DE下方时，
∵DH//AC，
∴∠DHF=∠FEC，
综上所述，当点H在三角形ABC外部时，∠DHF=∠FEC．
【解析】本题考查了作图−复杂作图和平行线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(1)利用平行线的性质即可证明∠HDE=∠C；
(2)①.∠DHF+∠FEC=180°，由平行线的性质可得∠DHE=∠FEC，由此得证；
②.①中结论不成立，分两种情况讨论即可．
20.【答案】解：(1)∵直线y=−43x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
令x=0，则y=4，
∴B0,4．
令y=0，则x=3，
∴A3,0．
过点C作CM⊥x轴于点M，
则∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠ACM
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°
∴AB=AC
在△BOA与△AMC中
∠AOB=∠CMA∠BAO=∠ACMAB=AC ，
∴ΔBOA≌ΔAMCAAS，
∴AM=BO=4，CM=OA=3，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴C7,3，
又∵D4,0，
设直线l2的解析式为y=kx+b，则有7k+b=34k+b=0
解得：k=1b=−4
∴直线的l2解析式为：y=x−4．
(2)联立方程组y=x−4y=−43x+4,
解得：x=247y=−47,
∴E247,−47．
∴SΔADE=12AD⋅yE=12×1×47=27．
(3)存在．
∵ΔADP与ΔADE面积相等，且底AD相等，
∴底边AD上的高相等，
∴P点的纵坐标为47，
∴在y=x−4中，令y=47，则x−4=47，
∴x=327，
∴点P坐标为327,47．
(4)存在．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=5
S四边形ABCD=S梯形BOMC−S▵AOB−S▵CDM ，
=12(3+4)×7−12×3×4−12×3×3 ，
=14．
①当点F在y轴上时，设F点坐标为(0,y)，如图，
∵ΔBCF的面积与四边形ABCD的面积相等，
∴12y−4×7=14，
解得：y=8或y=0，
∴F坐标为0,8或0,0；
②当点F在x轴上时，设F点坐标为(m,0)，
若F点在O点左侧，则m<0，如图，
则S△BCF=S△AOB+S梯形BOMC−S△FCM=14，
∴12×4×(−m)+12×(4+3)×7−12×3×(7−m)=14，
解得：m=0(不合题意，舍去)
若点F在线段OM上(包括两个端点)，即0≤m≤7，如图，
则S△BCF=S梯形BOMC−S△FOB−S△FCM=14，
∴12×(4+3)×7−12×4×m−12×3×(7−m)=14，
解得：m=0
∴点F坐标为0,0；
若点F位于点M的右侧，则m>7，如图，
则S△BCF=S梯形BOMC+S△FCM−S△FOB=14，
∴12×(4+3)×7+12×3×(7−m)−12×4×m=14，
解得：m=6(不合题意)，
此时点F不存在；
或S△BCF=S△FOB−S△FCM−S梯形BOMC=14，
∴12×4×m−12×3×(m−7)−12×(4+3)×7=14，
解得：m=56
∴点F坐标为56,0；
综上所述，满足条件的点F坐标为0,8或0,0或56,0．
．
【解析】本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
(1)先求得A、B两点坐标，然后过点C作CM⊥x轴于点M，利用AAS可证明△BOA≌△AMC，确定点C的坐标，再用待定系数法求函数解析式；
(2)联立方程组求得点E的坐标，利用三角形面积公式即可求得面积；
(3)结合两个三角形的面积相等的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求得结果；
(4)易求得四边形ABCD的面积，分点F在x轴或y轴上两种情况，在x轴上又分三种情况，设点F的坐标，结合三角形和四边形面积相等列方程求解．
21.【答案】解：(1)16°，52°；
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB=2，DC=2，
∴AB=DC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠DEC+∠EDC=144°，
∵∠ADE=36°，
∴∠ADB+∠EDC=144°，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC，
∴△ABD≌△DCE(AAS)；
(3)当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=12180°−36°=72°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=72°+36°=108°；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=36°，
∴∠DAE=108°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=36°，
∴∠BDA=∠EAD+∠C=36°+36°=72°；
综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)根据三角形内角和定理和等腰三角形的定义，三角形外角的性质，得到答案；
(2)当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=144°，∠ADB+∠EDC=144°，得到∠ADB=∠DEC，根据AB=DC=2，∠C=∠B，证明△ABD≌△DCE；
(3)分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形内角和定理和三角形外角性质计算．
【解答】
解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∵∠ADE=36°，∠BDA=128°，
∵∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=16°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=16°+36°=52°，
故答案为：16°；52°；
(2)(3)见答案．
22.【答案】解：(1)如图1所示，点C就是所求作；
(2)①EM=DN，理由：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=12AC，CN=12BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ECM=120°，CM=CN，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠NCD=120°，
在△CDN和△CEM中，
CD=CE∠DCN=∠ECM=120°CN=CM，
∴△CDN≌△CEM(SAS)，
∴EM=DN；
②FG//l，理由：如图3，连接FG，
由运动知，AM=BN，
∵AC=BC，
∴CM=CN，
在△CDN和△CEM中，
CD=CE∠DCN=∠ECM=120°CN=CM，
∴△CDN≌△CEM(SAS)，
∴∠CDN=∠CEM，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°=∠DCE，
在△DCG和△ECF中，
∠DCG=∠ECFCD=CE∠CDG=∠CEF,
∴△DCG≌△ECF(ASA)，
∴CF=CG，
∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG=60°=∠ECF，
∴FG//BC，
即：FG//l．
【解析】此题是三角形综合题，主要考查了中垂线的作法，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，判断出△CDN≌△CEM是解本题的关键．
(1)先作出点A关于直线l的对称点A′连接DA′交直线l于点C；
(2)①先判断出CM=CN，∠DCN=∠ECM=120°，进而判断出△CDN≌△CEM，即可得出结论；
②同①的方法判断出△CDN≌△CEM，得出∠CDN=∠CEM，进而判断出△DCG≌△ECF，得出CF=CG，得出△CFG是等边三角形即可得出结论．
23.【答案】解：(1)当t=3时，点P走过的路程为：2×3=6，
∵AB=4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP=6−4=2，
故答案为：2；
(2)∵矩形ABCD的面积=4×6=24，
∴三角形ABP的面积=13×24=8，
∵AB=4，
∴△ABP的高为：8×2÷4=4，
如图，
当点P在BC上时，BP=4，
∴t=(4+4)÷2=4，
当点P在AD上时，AP=4，
∴t=(4+6+4+2)÷2=8，
∴当t=4 s或8 s时，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；
(3)根据题意，如图，连接CQ，则AB=CD=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90o，DQ=5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到P1时，CP1=DQ=5，此时△DCQ≌△CDP1，
∴点P的路程为：AB+BP1=4+1=5，
∴t=5÷2=2.5，
②当点P运动到P2时，BP2=DQ=5，此时△CDQ≌△ABP2，
∴点P的路程为：AB+BP2=4+5=9，
∴t=9÷2=4.5，
③当点P运动到P3时，AP3=DQ=5，此时△CDQ≌△ABP3，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3=4+6+4+1=15，
∴t=15÷2=7.5，
④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4=DQ=5，此时△CDQ≌△CDP4，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4=4+6+4+5=19，
∴t=19÷2=9.5，
综上所述，时间的值可以是：t=2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
【解析】(1)当t=3时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
(2)由△ABP的面积为长方形面积的三分之一，分为点P在BC上和点P在AD上两种情况讨论，即可得到答案；
(3)根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
24.【答案】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在△ADF与△BDC中，
AD=BD∠ADF=∠BDCDF=DC，
∴△ADF≌△BDC，
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵∠AED=∠F，
∴AE=AF，
∴AE=BC．
【解析】延长CD到F使DF=CD，连接AF，由CD是△ABC的中线，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCD，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：延长CD到T，使得DT=BA，连接ET．
∵∠CDE=120°，
∴∠EDT=180°−120°=60°，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠EDT，
在△EAB和△EDT中，
AE=DE∠A=∠EDTAB=DT，
∴△EAB≌△EDT(SAS)，
∴EB=ET，
∴CB=CD+BA=CD+DT=CT，
在△ECB和△ECT中，
EC=ECEB=ETCB=CT，
∴△ECB≌△ECT(SSS)，
∴∠ECB=∠ECD，
∴CE平分∠BCD．
(2)解：延长CD到Q，使得∠QED=∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．
∵∠A+∠CDE=180°，∠CDE+∠EDQ=180°，
∴∠A=∠EDQ，
在△AEB和△DEQ中，
∠AEB=∠DEQEA=ED∠A=∠EDQ，
∴△AEB≌△DEQ(ASA)，
∴EB=EQ，
∵∠AED=2∠BEC，
∴∠AEB+∠CED=∠BEC，
∴∠CED+∠DEQ=∠BEC，
∴∠CEB=∠CEQ，
在△CEB和△CEQ中，
EB=EQ∠BEC=∠CEQEC=EC，
∴△ECB≌△ECQ(SAS)，
∵S五边形ABCDE=S四边形EBCQ=2S△EBC=30，
∴S△EBC=15，
∵CD=23AB=4，
∴AB=6，CD=4，
∴BC=CD+QD=CD+AB=10，
∴12×10×EH=15，
∴EH=3，
∴点E到BC的距离为3．
【解析】(1)延长CD到T，使得DT=BA，连接ET.证明△EAB≌△EDT(SAS)，△ECB≌△ECT(SSS)，可得结论．
(2)延长CD到Q，使得∠QED=∠AEB，过点E作EH⊥BC于H.证明△AEB≌△DEQ(ASA)，△ECB≌△ECQ(SAS)，由题意S五边形ABCDE=S四边形EBCQ=2S△EBC=30，推出S△EBC=15，再利用三角形面积公式求出EH即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
苏科版初中数学八年级上册第一章《全等三角形》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC 其中正确的有个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 下列说法正确的是( )
A. 全等三角形是指周长和面积都一样的三角形
B. 全等三角形的周长和面积都一样
C. 全等三角形是指形状相同的两个三角形
D. 全等三角形的边都相等
3. 如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
4. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=36°，AB=AC，AD=AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=∠AEB B. CD//AB
C. DE=GE D. CD=BE
5. 如图，∠ACB=90°，AC=CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E.若AB=2DE，则∠BAC的度数为( )
A. 45°
B. 30°
C. 22.5°
D. 15°
6. 如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为( )
A. 6
B. 22
C. 23
D. 32
7. 如图方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样三个顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有( )
A. 9个
B. 10个
C. 11个
D. 12个
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E，F是线段AB上的两个动点，且∠ECF=45°，过点E，F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为H，G.有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③△ACE∽△BFC；④AF+BE=EF.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE.下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF=DN，⑤AD//NE．
其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D.给出下列结论：①AF=AC；②DF=CF；③∠AFC=∠C；④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
11. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )
A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5
12. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，添加一个条件仍无法证明△ABC≌△DEF是( )
A. BC=EF B. BC//EF C. ∠A=∠EDF D. AD=CF
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在△ABC中，AB=BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD=CA，在射线CF上取点G，使CG=BA，连接AD、AG，若∠DAE=38°，∠EBC=20°，则∠GAB=______°.
14. 如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD.连接BD、CE，BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1=∠2，则图中全等的三角形有 对.
15. 如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=5cm，点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)．
(1)AP的长为___cm.(用含t的代数式表示)
(2)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t=___s．
16. 如图所示，∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN;②AF//EB;③∠FAN=∠EAM;④ΔACN≌ΔABM.其中正确的有________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，在ΔABC中，已知AB=AC，∠BAC=90∘，AH是ΔABC的高，AH=4cm，BC=8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)请直接写出CD、CE的长度(用含有t的代数式表示):CD= cm，CE= cm；
(2)当t为多少时，ΔABD的面积为12cm2？
(3)请利用备用图探究，当t为多少时，ΔABD≅ΔACE？并简要说明理由．
18. 已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．
19. 在三角形ABC中，点D在线段AB上，DE//BC交AC于点E，点F在直线BC上，作直线EF，过点D作直线DH//AC交直线EF于点H．
(1)在如图1所示的情况下，求证：∠HDE=∠C；
(2)若三角形ABC不变，D，E两点的位置也不变，点F在直线BC上运动．
①当点H在三角形ABC内部时，说明∠DHF与∠FEC的数量关系；
②当点H在三角形ABC外部时，①中结论是否依然成立？若不成立，∠DHF与∠FEC又有怎样的数量关系？请在图2中画图探究，并说明理由．
20. 已知：如图，直线：y=−43x+4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90∘；直线l2经过点C与点D(4,0)，且与直线l1在x轴下方相交于点E．
(1)请求出直线l2的函数关系式；
(2)求出△ADE的面积；
(3)在直线l2上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由；
(4)在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=36°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E．
(1)当∠BDA=128°时，∠EDC=______，∠AED=______；
(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
22. 已知点A，D在直线l的同侧．
(1)如图1，在直线l上找一点C，使得线段AC+DC最小(请通过画图指出点C的位置)：
(2)如图2，在直线l上取两点B、E，恰好能使△ABC和△DCE均为等边三角形．M、N分别是线段AC、BC上的动点，连接DN交AC于点G，连接EM交CD于点F．
①当点M、N分别是AC、BC的中点时，判断线段EM与DN的数量关系，并说明理由；
②如图3，若点M、N分别从点A和B开始沿AC和BC以相同的速度向点C匀速运动，当M、N与点C重合时运动停止，判断在运动过程中线段GF与直线l的位置关系，并说明理由．
23. 如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A−B−C−D−A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t=3时，BP=______cm；
(2)当t为何值时，连接BD，AP，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；
(3)Q为AD边上的点，且DQ=5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
24. 已知：如图，Rt△ABC中，AC>BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B.求证：AE=BC．
25. 如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA=ED．
(1)如图1，若∠A=60°，∠CDE=120°，且CD+AB=BC.求证：CE平分∠BCD；
(2)如图2，∠A与∠D互补，∠DEA=2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD=23AB=4.求点E到BC的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．
根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相等得出BD=CD，BE=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DE⊥BC，则∠BED=90°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠A=∠BED=90°，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，从而可判断∠C，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出BE=CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出BD=CD，但A、D、C可能不在同一直线上，所以AD+CD可能不等于AC，据此判断⑤.
【解答】
解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，BE=CE，
∴DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠A=∠BED=90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直线上
∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，
∵∠A=90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，
∴∠C≠30°，故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE=CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD>AC，
∴AD+BD>AC，故⑤不正确．
故选A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的定义及性质；注意重合应包括形状和大小两方面重合，找出每个选项正误的理由是正确解答本题的关键．认真阅读各选项提供的已知条件应用全等三角形的定义及性质验证每个选项的正误，找出理由．
【解答】
解：∵全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形，故答案A、C错误；
∵两个三角形全等，∴它们的周长和面积都相等，故选项B正确；
全等三角形的对应边相等，故选项D错误；
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOB=∠A′OB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．
【解答】
解：∵O是AA′、BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
在△OAB和△OA′B′中，
AO=A′O∠AOB=∠A′OB′BO=B′O,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS)，
因此判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．
故选A．
4.【答案】C
【解析】解：A.∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠CAB−∠CAE=∠DAE−∠CAE，即∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
AD=AE∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB，故A选项不符合题意；
CD=BE，故D选项不符合题意；
B.∵△DAC≌△EAB，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠ACB=∠ABC=(180°−36°)÷2=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠ACD=∠ABE=36，
∵∠DCA=∠CBA=36°，
∴CD//AB(内错角相等，两直线平行)，
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意．
故选：C．
利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC=∠AEB，CD=BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD=∠ABE=36°，即可得∠ACD=∠CAB，进而可证明CD//AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：
连接AD，延长AC、DE交于M，
∵∠ACB=90°，AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM，
∵∠ABC=∠DBE，
∴由三角形内角和定理得：∠CAB=∠CDM，
在△ACB和△DCM中
∠CAB=∠CDMAC=CD∠ACB=∠DCM
∴△ACB≌△DCM(ASA)，
∴AB=DM，
∵AB=2DE，
∴DM=2DE，
∴DE=EM，
∵DE⊥AB，
∴AD=AM，
∴∠BAC=∠DAE=12∠DAC=12×45°=22.5°，
故选：C．
连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB=∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB=DM，求出AD=AM，根据等腰三角形的性质得出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=3，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，
∴AC=AH2+CH2=(3)2+(3)2=6，
∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，
∴△BFD≌△CKD(AAS)，
∴BF=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△ACN中，AN
综上所述，AE+BF的最大值为6．
故选：A．
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】如图所示，与△DEF全等的格点三角形共有11个，分别为△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW， △CGR，△IKW．
8.【答案】C
【解析】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
则AB=AC2+BC2=2，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠ACB=∠MBC，
∴MG//BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴F是AB的中点
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=12AC=MH=12，故②正确；
③如图2所示，
将△ACF绕点C顺时针旋转90°至△BCD，连接DE，
∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC．
故③正确．
④∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
∵将△ACF顺时针旋转90°至△BCD
∴CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
CF=CD∠2=∠DCECE=CE，
∴△ECF≌△ECD(SAS)，
∴EF=ED．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故④错误；
故选：C．
①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG//BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③根据AA可证△ACE∽△BFC；
④如图2所示，可证△ECF≌△ECD(SAS)，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断．
本题考查了相似三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
9.【答案】D
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；③错误，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°−67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD(ASA)，
∴DF=DN，故④正确；
∵∠BAM=∠BNM=67.5°，
∴BA=BN，
∵∠EBA=∠EBN，BE=BE，
∴△EBA≌△EBN(SAS)，
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴∠ENC=∠ADC=90°，
∴AD//EN.故⑤正确，
故选：D．
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，即可判断①③；由M为EF的中点且AE=AF可判断②；证△FBD≌△NAD可判断④，证明△EBA≌△EBN(SAS)，推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断⑤．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在△ABC与△AEF中，
AB=AE∠B=∠EBC=EF，
∴△AEF≌△ABC(SAS)，
∴AF=AC，
∴∠AFC=∠C；
由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，
可知：△ADE∽△FDB；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAD=∠CAF，
由△ADE∽△FD，B可得∠EAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠CAF．
综上可知：①③④正确．
故选：B．
先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定与性质及三角形面积，作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，进而得出一组三角形全等，将△EDF的面积转化为△DNM的面积来求即可。
【解答】
解：如图，过D作DN⊥AC于点N，在AC上取一点M，连接DM，使DM=DE，
∵DE=DG，∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，∠EAD=∠MAD，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
DE=DM,DF=DN,
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL)，
∴∠FED=∠NMD，
∴∠AED=∠AMD，
又∠EAD=∠MAD，AD=AD，
∴△AMD≌△AED，
∴S△AMD=SAED，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG−S△ADM=S△ADG−S△AED=50−39=11，
∴S△DNM=S△EDF=12S△MDG=12×11=5.5．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：若添加：BC=EF．
∵AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；
若添加：BC//EF，则∠ACB=∠F，
∵AB=DE，∠B=∠E，∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
若添加：∠A=∠EDF，
∵AB=DE，∠B=∠E，∠A=∠EDF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
若添加：AD=CF，则无法证明△ABC≌△DEF；
故选：D．
已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边，即可得到结论．
本题主要考查了全等三角形的判定，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13.【答案】58
【解析】解：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABD和△GCA中
BD=AC∠ABE=∠ACFAB=CG，
∴△ABD≌△GCA(SAS)，
∴∠AGC=∠BAD，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE=90°，
∴∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38°=58°，
即∠GAB=58°，
故答案为：58．
首先证明△ABD≌△GCA可得∠AGC=∠BAD，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38°=58°，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△GCA．
14.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
【解答】
解： ①在△AEO与△ADO中，
{AE=AD∠1=∠2OA=OA(公共边),
∴△AEO≌△ADO(SAS)；
②∵△AEO≌△ADO，
∴OE=OD，∠AEO=∠ADO，
∴∠BEO=∠CDO．
在△BEO与△CDO中，
{∠BEO=∠CDOOE=OD∠BOE=∠COD(对顶角相等),
∴△BEO≌△CDO(ASA)；
③∵△BEO≌△CDO，
∴BE=CD，BO=CO，OE=OD，
∴CE=BD．
在△BEC与△CDB中，
{BE=CD∠BEC=∠CDBCE=BD,
∴△BEC≌△CDB(SAS)；
④在△AEC与△ADB中，
AE=AD∠AEC=∠ADB,CE=BD
则△AEC≌△ADB(SAS)；
⑤∵△AEC≌△ADB，
∴AB=AC．
在△AOB与△AOC中，
AB=ACOB=OCOA=OA,
∴△AOB≌△AOC(SSS)．
综上所述，图中全等三角形共5对．
故答案为：5．
15.【答案】(1)2t(0≤t≤52)；
(2)53．
【解析】解：(1)∵点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动，设点P的运动时间为t(s)．
∴AP的长为2t(0≤t≤52)cm．
故答案为：2t(0≤t≤52)；
(2)在△ABC和△EDC中，
AC=EC∠ACB=∠ECDBC=DC，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴AB=ED=5cm，∠A=∠E，
当线段PQ经过点C时，
在△ACP和△ECQ中，
∠A=∠EAC=EC∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，
∵AP的长为2tcm(0≤t≤52).DQ=t cm，
∴2t=5−t，
解得：t=53．
故答案为：53．
(1)根据点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动即可得AP=2t；
(2)由SAS证明△ABC≌△EDC(SAS)，即可得AB=ED=5cm，证△ACP≌△ECQ(ASA)，得AP=EQ=2t，当0≤t≤52时，2t=5−t，解出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】
【分析】
此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL.学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．
【解答】
解：在△ABE和△ACF中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，
∴∠EAB−∠MAN=∠FAC−∠NAM，即∠EAM=∠FAN，
在△AEM和△AFN中，
∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，
∴△AEM≌△AFN，
∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；
在△ACN和△ABM中，
∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM(公共角)，
∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；
若AF//EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，
则正确的选项有：①③④．
故答案为①③④．
17.【答案】解：(1)3t；t；
(2)∵S△ABD=12BD⋅AH=12，AH=4，
∴AH×BD=24，
∴BD=6．
若D在B点右侧，则CD=BC−BD=2，t=23；
若D在B点左侧，则CD=BC+BD=14，t=143；
综上所述：当t为23s或143s时，△ABD的面积为12 cm2；
(3)动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：如图所示：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=8−3t
∴t=8−3t，
∴t=2，
∵在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠ACE=45∘BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=3t−8，
∴t=3t−8，
∴t=4，
∵在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠ABD=∠ACE=135∘BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，三角形面积等内容，掌握相关知识并能够熟练应用是解题关键．
(1)根据路程=速度×时间，即可得出结果；
(2)首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值即可；
(3)假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【解答】
解：(1)根据题意得：CD=3tcm，CE=tcm；
故答案为3t；t；
(2)见答案；
(3)见答案．
18.【答案】(1)证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
OB=OCOE=OF，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，OE=OF.∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中
OB=OCOE=OF，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)，
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(3)不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC.(如示例图)
【解析】(1)求证AB=AC，就是求证∠B=∠C，可通过构建全等三角形来求．过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，那么可以用斜边直角边定理(HL)证明Rt△OEB≌Rt△OFC来实现；
(2)首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，进而得出AB=AC；
(3)不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC．
本题的关键是通过辅助线来构建全等三角形．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
19.【答案】解：(1)证明：
∵DE//BC，
∴∠1=∠C，
∵DH//AC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
即∠HDE=∠C；
(2)①∠DHF+∠FEC=180°，理由如下：
∵DH//AC，
∴∠DHE=∠FEC，
∵∠DHF+∠DHE=180°，
∴∠DHF+∠FEC=180°；
②当点H在三角形ABC外部时，①中结论不成立，∠DHF=∠FEC．
理由如下：
①′如图2−1，当点H在直线DE上方时，
∵DH//AC，
∴∠DHF=∠FEC；
②′如图2−2，当点H在直线DE下方时，
∵DH//AC，
∴∠DHF=∠FEC，
综上所述，当点H在三角形ABC外部时，∠DHF=∠FEC．
【解析】本题考查了作图−复杂作图和平行线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(1)利用平行线的性质即可证明∠HDE=∠C；
(2)①.∠DHF+∠FEC=180°，由平行线的性质可得∠DHE=∠FEC，由此得证；
②.①中结论不成立，分两种情况讨论即可．
20.【答案】解：(1)∵直线y=−43x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
令x=0，则y=4，
∴B0,4．
令y=0，则x=3，
∴A3,0．
过点C作CM⊥x轴于点M，
则∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠ACM
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°
∴AB=AC
在△BOA与△AMC中
∠AOB=∠CMA∠BAO=∠ACMAB=AC ，
∴ΔBOA≌ΔAMCAAS，
∴AM=BO=4，CM=OA=3，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴C7,3，
又∵D4,0，
设直线l2的解析式为y=kx+b，则有7k+b=34k+b=0
解得：k=1b=−4
∴直线的l2解析式为：y=x−4．
(2)联立方程组y=x−4y=−43x+4,
解得：x=247y=−47,
∴E247,−47．
∴SΔADE=12AD⋅yE=12×1×47=27．
(3)存在．
∵ΔADP与ΔADE面积相等，且底AD相等，
∴底边AD上的高相等，
∴P点的纵坐标为47，
∴在y=x−4中，令y=47，则x−4=47，
∴x=327，
∴点P坐标为327,47．
(4)存在．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=5
S四边形ABCD=S梯形BOMC−S▵AOB−S▵CDM ，
=12(3+4)×7−12×3×4−12×3×3 ，
=14．
①当点F在y轴上时，设F点坐标为(0,y)，如图，
∵ΔBCF的面积与四边形ABCD的面积相等，
∴12y−4×7=14，
解得：y=8或y=0，
∴F坐标为0,8或0,0；
②当点F在x轴上时，设F点坐标为(m,0)，
若F点在O点左侧，则m<0，如图，
则S△BCF=S△AOB+S梯形BOMC−S△FCM=14，
∴12×4×(−m)+12×(4+3)×7−12×3×(7−m)=14，
解得：m=0(不合题意，舍去)
若点F在线段OM上(包括两个端点)，即0≤m≤7，如图，
则S△BCF=S梯形BOMC−S△FOB−S△FCM=14，
∴12×(4+3)×7−12×4×m−12×3×(7−m)=14，
解得：m=0
∴点F坐标为0,0；
若点F位于点M的右侧，则m>7，如图，
则S△BCF=S梯形BOMC+S△FCM−S△FOB=14，
∴12×(4+3)×7+12×3×(7−m)−12×4×m=14，
解得：m=6(不合题意)，
此时点F不存在；
或S△BCF=S△FOB−S△FCM−S梯形BOMC=14，
∴12×4×m−12×3×(m−7)−12×(4+3)×7=14，
解得：m=56
∴点F坐标为56,0；
综上所述，满足条件的点F坐标为0,8或0,0或56,0．
．
【解析】本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
(1)先求得A、B两点坐标，然后过点C作CM⊥x轴于点M，利用AAS可证明△BOA≌△AMC，确定点C的坐标，再用待定系数法求函数解析式；
(2)联立方程组求得点E的坐标，利用三角形面积公式即可求得面积；
(3)结合两个三角形的面积相等的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求得结果；
(4)易求得四边形ABCD的面积，分点F在x轴或y轴上两种情况，在x轴上又分三种情况，设点F的坐标，结合三角形和四边形面积相等列方程求解．
21.【答案】解：(1)16°，52°；
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB=2，DC=2，
∴AB=DC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠DEC+∠EDC=144°，
∵∠ADE=36°，
∴∠ADB+∠EDC=144°，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC，
∴△ABD≌△DCE(AAS)；
(3)当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=12180°−36°=72°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=72°+36°=108°；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=36°，
∴∠DAE=108°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=36°，
∴∠BDA=∠EAD+∠C=36°+36°=72°；
综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)根据三角形内角和定理和等腰三角形的定义，三角形外角的性质，得到答案；
(2)当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=144°，∠ADB+∠EDC=144°，得到∠ADB=∠DEC，根据AB=DC=2，∠C=∠B，证明△ABD≌△DCE；
(3)分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形内角和定理和三角形外角性质计算．
【解答】
解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∵∠ADE=36°，∠BDA=128°，
∵∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=16°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=16°+36°=52°，
故答案为：16°；52°；
(2)(3)见答案．
22.【答案】解：(1)如图1所示，点C就是所求作；
(2)①EM=DN，理由：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=12AC，CN=12BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ECM=120°，CM=CN，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠NCD=120°，
在△CDN和△CEM中，
CD=CE∠DCN=∠ECM=120°CN=CM，
∴△CDN≌△CEM(SAS)，
∴EM=DN；
②FG//l，理由：如图3，连接FG，
由运动知，AM=BN，
∵AC=BC，
∴CM=CN，
在△CDN和△CEM中，
CD=CE∠DCN=∠ECM=120°CN=CM，
∴△CDN≌△CEM(SAS)，
∴∠CDN=∠CEM，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°=∠DCE，
在△DCG和△ECF中，
∠DCG=∠ECFCD=CE∠CDG=∠CEF,
∴△DCG≌△ECF(ASA)，
∴CF=CG，
∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG=60°=∠ECF，
∴FG//BC，
即：FG//l．
【解析】此题是三角形综合题，主要考查了中垂线的作法，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，判断出△CDN≌△CEM是解本题的关键．
(1)先作出点A关于直线l的对称点A′连接DA′交直线l于点C；
(2)①先判断出CM=CN，∠DCN=∠ECM=120°，进而判断出△CDN≌△CEM，即可得出结论；
②同①的方法判断出△CDN≌△CEM，得出∠CDN=∠CEM，进而判断出△DCG≌△ECF，得出CF=CG，得出△CFG是等边三角形即可得出结论．
23.【答案】解：(1)当t=3时，点P走过的路程为：2×3=6，
∵AB=4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP=6−4=2，
故答案为：2；
(2)∵矩形ABCD的面积=4×6=24，
∴三角形ABP的面积=13×24=8，
∵AB=4，
∴△ABP的高为：8×2÷4=4，
如图，
当点P在BC上时，BP=4，
∴t=(4+4)÷2=4，
当点P在AD上时，AP=4，
∴t=(4+6+4+2)÷2=8，
∴当t=4 s或8 s时，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；
(3)根据题意，如图，连接CQ，则AB=CD=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90o，DQ=5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到P1时，CP1=DQ=5，此时△DCQ≌△CDP1，
∴点P的路程为：AB+BP1=4+1=5，
∴t=5÷2=2.5，
②当点P运动到P2时，BP2=DQ=5，此时△CDQ≌△ABP2，
∴点P的路程为：AB+BP2=4+5=9，
∴t=9÷2=4.5，
③当点P运动到P3时，AP3=DQ=5，此时△CDQ≌△ABP3，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3=4+6+4+1=15，
∴t=15÷2=7.5，
④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4=DQ=5，此时△CDQ≌△CDP4，
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4=4+6+4+5=19，
∴t=19÷2=9.5，
综上所述，时间的值可以是：t=2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
【解析】(1)当t=3时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
(2)由△ABP的面积为长方形面积的三分之一，分为点P在BC上和点P在AD上两种情况讨论，即可得到答案；
(3)根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
24.【答案】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在△ADF与△BDC中，
AD=BD∠ADF=∠BDCDF=DC，
∴△ADF≌△BDC，
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵∠AED=∠F，
∴AE=AF，
∴AE=BC．
【解析】延长CD到F使DF=CD，连接AF，由CD是△ABC的中线，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCD，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：延长CD到T，使得DT=BA，连接ET．
∵∠CDE=120°，
∴∠EDT=180°−120°=60°，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠EDT，
在△EAB和△EDT中，
AE=DE∠A=∠EDTAB=DT，
∴△EAB≌△EDT(SAS)，
∴EB=ET，
∴CB=CD+BA=CD+DT=CT，
在△ECB和△ECT中，
EC=ECEB=ETCB=CT，
∴△ECB≌△ECT(SSS)，
∴∠ECB=∠ECD，
∴CE平分∠BCD．
(2)解：延长CD到Q，使得∠QED=∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．
∵∠A+∠CDE=180°，∠CDE+∠EDQ=180°，
∴∠A=∠EDQ，
在△AEB和△DEQ中，
∠AEB=∠DEQEA=ED∠A=∠EDQ，
∴△AEB≌△DEQ(ASA)，
∴EB=EQ，
∵∠AED=2∠BEC，
∴∠AEB+∠CED=∠BEC，
∴∠CED+∠DEQ=∠BEC，
∴∠CEB=∠CEQ，
在△CEB和△CEQ中，
EB=EQ∠BEC=∠CEQEC=EC，
∴△ECB≌△ECQ(SAS)，
∵S五边形ABCDE=S四边形EBCQ=2S△EBC=30，
∴S△EBC=15，
∵CD=23AB=4，
∴AB=6，CD=4，
∴BC=CD+QD=CD+AB=10，
∴12×10×EH=15，
∴EH=3，
∴点E到BC的距离为3．
【解析】(1)延长CD到T，使得DT=BA，连接ET.证明△EAB≌△EDT(SAS)，△ECB≌△ECT(SSS)，可得结论．
(2)延长CD到Q，使得∠QED=∠AEB，过点E作EH⊥BC于H.证明△AEB≌△DEQ(ASA)，△ECB≌△ECQ(SAS)，由题意S五边形ABCDE=S四边形EBCQ=2S△EBC=30，推出S△EBC=15，再利用三角形面积公式求出EH即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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