初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试单元测试课时练习

苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为(    )

A. 或 B. 或或 C. 或或 D. 或或

2. 如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若中，，高，则的长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

4. 如图，在中，，，边上的中线，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，线段，，将线段绕点任意旋转时，线段的长度也随之改变，则下列结论：
   
   的最小值是，最大值是；
   当时，是等腰三角形；
   当时，是等腰三角形；
   当时，是直角三角形；
   当时，是直角三角形．
   其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，为的角平分线，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，分别以的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，再按图的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内，则下列结论不成立的是(    )

A.
B. 以，，为三边的三角形是直角三角形
C.
D. 四边形的面积与的面积相等

8. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面则旗杆的高度滑轮上方的部分忽略不计为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 在活动课上，同学们用张图所示的纸片拼出了两个不同的六边形图，图中的空白部分，将两个六边形分割，图形Ⅰ，Ⅱ均为正方形．已知，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为．(    )

A.                                       B.                                 
C.   D.  

11. 如图，长方体的底面邻边长分别是和，高为，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点点为棱的中点，那么所用细线最短为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，一个长方体的长宽高分别是米、米、米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点到点所经过的最短路线长为 (    )

A.   B.   C.  D. 以上都不对

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 把两个相同大小的含角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，另外三角板的锐角顶点，，在同一直线上，若，则______．

14. 如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是        ．

15. 如图，在中，，，边上的中线，则的面积是______．

16. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点距离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短距离是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在正方形网格上有一个，三个顶点都在格点上，网格上的最小正方形的边长为．
    作关于直线的对称图形不写作法
    求的长．
    求的面积．

18. 已知，点，分别在射线，上．

如图，若，，，，求的长．

如图，若，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的长．

如图，若，分别以，为直角边，为直角顶点在外侧做等腰直角和等腰直角，连结交于点，当点由点出发沿射线移动时，的长度是否发生改变？若不变，直接写出的长：若变化，直接写出的取值范围．

___________________________

19. 在中，，、、所对的边分别是、、．
    填表：

若，则猜想______用含的代数式表示，不必证明．

20. 如图，边长为的正方形中，是的中点，是上一点，且，求证：．
     

21. 已知：如图，四边形，，，，，且求四边形的面积．

22. 如图，已知，，，，求图中阴影部分的面积．

23. 如图，若河岸的两边平行，河宽米，河岸上，两点之间的距离为米．一只船由河岸的处沿直线方向开往对岸的处，船的速度为米分钟，求船从到处需多少时间？

24. 如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点．
    若米，米．
    竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？
    竹竿的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离保留根号．
    若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小．

25. 今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
    求的度数；
    海港受台风影响吗？为什么？
    若台风中心的移动速度为千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求出的长度，继而可求得值．
【解答】
解：，，，
．
当时，
当时，，则．
当时， ，，，
在中，，
，解得．
综上，当为等腰三角形时，或或，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，关键是推出．
根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线定义和对顶角相等得出，即可得出，再利用全等三角形的判定与性质及勾股定理得出答案．
【解答】
解：过点作于点，

，，
，
，，
平分，
，
，
，
平分，，
，
又，
≌，
，，
，
，，，
，
在中，，
即，
解得：，
即的长为．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC；
钝角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC的长为．
故选：．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
延长到，使，连接，由为的中点，得到，再由一对对顶角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即垂直于，的面积等于的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：延长到，使，连接，

为的中点，
，
在与中，

≌，
．
又，，，
，
，
则．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：当点在线段上时，最小，最小值为，
当点在线段的延长线上时，最大，最大值为，错误；
当时，，
则是等腰三角形，正确；
当时，，不存在，
是等腰三角形错误，错误；
当时，，，
，
是直角三角形，正确；
当时，，，
，
是直角三角形，正确，
故选：．
根据题意求出的最小值和最大值是，判断即可；
根据等腰三角形的定义得到是等腰三角形；
根据三角形的三边关系得到不存在；
根据勾股定理的逆定理计算，得到是直角三角形；
根据勾股定理的逆定理计算，得到是直角三角形．
本题考查的是等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据角平分线的性质可知，过作于，利用定理可知≌在中，设为，则，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：，，，
，
，
过作于，

平分，
．
又、，
．
在与中，

≌，
，，
，
，
设为，，在中，，
，
即，
解得，
．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：设的边，，，其中，
则，，，．
，，为等腰直角三角形，
，，
，
，
．
选项正确；
，，，
，，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
选项正确；
，
，
．
选项错误；
四边形的面积




，
，
四边形的面积与的面积相等．
选项正确．
综上，结论不成立的是：．
故选：．
设的边，，，其中，则，，，利用等腰直角三角形的性质可得，，；利用勾股定理通过计算对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，利用拼接前后的图形全等不变性解答是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查勾股定理的意义，在用勾股定理解决实际问题时，首先应根据实际问题抽象出数学图形，即画出符合题意的几何图形，构造直角三角形，然后根据勾股定理就可以顺利求出边长．

【解答】

解：如图所示，作于点，则，
设，则，，
在中，，
即，解得．
即旗杆的高度为．
故选D．

9.【答案】 

【解析】分析：
本题注意考查的是勾股定理的应用和线段的求解，难度较大．
利用三角形全等以及勾股定理，即可判断．
解答：

解：如图所示，过点做的垂线交与点，交与点。
由图Ⅰ，Ⅱ均为正方形，可知图为直角三角形，
且的长度与图 图形Ⅰ的正方形的边长相等，的长度与图 图形Ⅱ的正方形边长相等，
所以与图的三角形全等，
所以，
则四边形为正方形。
因为，，则
因为，，
设，则
可得，化解可得
所以，所以
则．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，平面展开最短路径问题．关键是找出最短路线．
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．

【解答】
解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，

过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
 

，，

，

，，

在中，由勾股定理得：，

故选A．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【解答】
解：将长方体展开，连接、，

则，，
根据两点之间线段最短，．

故选C．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查平面的最短路径问题，关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视或正视和侧视，或俯视和侧视二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
【解答】
解：如图所示，

路径一：；
路径二：；
路径三：；
，
为最短路径．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
在中，，
是等腰直角三角形，
，，
两个同样大小的含角的三角尺，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
故答案为：．
过点作于，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和的值是关键．根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解．
【解答】

解：根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，

即，
则．

则．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：延长到点，使，连接，

是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
，
，
即为直角三角形，
的面积，
故答案为：．
延长到点，使，连接，可证明≌，所以，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即：为直角三角形，进而可求出的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
 

16.【答案】 

【解析】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图：

长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图：

长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图：

长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
 

17.【答案】解：如图所示：即为所求；

在网格中构建，
在中，，，


；

的面积为：

． 

【解析】直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用勾股定理得出的长；
利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法、勾股定理等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
 

18.【答案】解：，
，
又，，
；
当点在上方时，连结，作于，

，
又，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
当点在下方时，连结，作交反向延长线于，

，
可证≌，
，，
，
，
综上，的长为或；
． 

【解析】

【分析】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由勾股定理解答即可；
分两种情况：当点在上方时，连结，作于；当点在下方时，连结，作交反向延长线于，分别根据全等三角形的判定与性质与勾股定理即可求得的长；
作于，根据全等三角形的判定与性质可得结果．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图示，作于，

可证≌，
，，
又，
，
，，
≌，
，
．
故答案为．  

19.【答案】解：，，；
． 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的相关知识，在完成证明时用到了完全平方公式，是一道中档考题．
分别求出每个直角三角形的面积和周长，计算面积与周长的比即可；
根据求得的与值，总结其规律，写出即可；用、的式子表示出、，分别表示出其周长及面积，用面积除以周长即可完成证明．
【解答】
解：，
，
，
同理可得其他两空分别为，；
；
证明：，
，
，
又，
，
，
．  

20.【答案】解：设，
，
，，
在正方形中，
，
是的中点，
，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
． 

【解析】本题主要考查了勾股定理、勾股逆定理，掌握勾股定理、勾股逆定理的综合应用，其中勾股逆定理的应用是解题关键．
设，根据正方形性质得出，再根据勾股定理表示、、，再根据勾股逆定理判断．
 

21.【答案】解：连接．
，，，
，
在中，，
是直角三角形，
，
，
．
故四边形的面积为． 

【解析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，，，，
，
取正值．
在中，，．
，
为直角三角形，．



答：图中阴影部分的面积为． 

【解析】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形．先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再根据即可得出结论．
 

23.【答案】解：由题意得米，米，，
米，
分钟．
答：船从到处需要分钟． 

【解析】由勾股定理可求解的长，再利用时间路程速度可求解．
本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，米，米，
，
米，
米，
米，
在中，米，
，
米，
米，
答：点将向外移动米；
相等．
米，，
，
，，
，
解得或舍去，
故竹竿的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离会相等，移动距离为米；
不相等．
当时，米，
在中，，
，
解得，
在中，，
即，
解得，
，
故顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 

【解析】利用勾股定理可求解的长，即可求得的长，再利用勾股定理可求解，进而可求解；
利用勾股定理列式，计算可求解的长，即可求解；
利用勾股定理可求解，的长，再利用勾股定理列式，计算可得，进而可求解．
本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，，
，
是直角三角形，；
海港受台风影响，理由：过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米小时，
小时．
答：台风影响该海港持续的时间为小时． 

【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；
利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．