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2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式
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这是一份2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式，共29页。
2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式
一．选择题（共14小题）
1．（2021•郴州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．ab＞0 D．a+b＞0
2．（2021•郴州）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×108m B．7×10﹣8m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣9m
3．（2021•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．m3÷m2＝m B．（a3）2＝a5 C．x2•x3＝x6 D．3a3﹣a2＝2a
4．（2021•湘西州）2021的相反数是（ ）
A．1202 B．﹣2021 C． D．﹣
5．（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
6．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（ ）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
8．（2021•长沙）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．π D．4
9．（2020•衡阳）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
10．（2020•益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
11．（2020•邵阳）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
12．（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
13．（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
14．（2019•张家界）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（ ）美元．
A．6×1010 B．0.6×1010 C．6×109 D．0.6×109
二．填空题（共7小题）
15．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
16．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝ .（用含n的式子表达）
17．（2021•永州）若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（ ）x+y；
（2）+＝ ．
18．（2021•娄底）已知t2﹣3t+1＝0，则t+＝ ．
19．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 ．
20．（2020•邵阳）在如下方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为 ．
3
2
1
6
3
21．（2020•张家界）观察下面的变化规律：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…
根据上面的规律计算：＝ ．
三．解答题（共3小题）
22．（2020•邵阳）已知：|m﹣1|+＝0，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．
23．（2020•张家界）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．
24．（2020•株洲）计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．
2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2021•郴州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．ab＞0 D．a+b＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．版权所有
【专题】计算题；数据分析观念；运算能力．
【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故A项不符合题意；
B．由数轴可知|a|＞|b|，故B项符合题意；
C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故C项不符合题意；
D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故D项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断a，b的正负，以及绝对值的大小．
2．（2021•郴州）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×108m B．7×10﹣8m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣9m
【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴7nm＝7×10﹣9m．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2021•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．m3÷m2＝m B．（a3）2＝a5 C．x2•x3＝x6 D．3a3﹣a2＝2a
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】A．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；
B．直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；
C．直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
D．直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：A．m3÷m2＝m，故此选项符合题意；
B．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；
C．x2•x3＝x5，故此选项不合题意；
D.3a3与a2无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2021•湘西州）2021的相反数是（ ）
A．1202 B．﹣2021 C． D．﹣
【考点】相反数．版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．
根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
故选：B．
【点评】本题属于基础简单题，考查相反数的定义，即绝对值相等，符号相反的两个数叫做互为相反数．
5．（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】A．直接合并同类项判断结果是否正确；
B．直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确；
C．直接利用同底数幂的除法运算法则判断结果是否正确；
D．直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确．
【解答】解：A．3a﹣2a＝a，故此选项不合题意；
B．3a•2a＝6a2，故此选项不合题意；
C．a3÷a2＝a，故此选项符合题意；
D．（2a）3＝8a3，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（ ）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．版权所有
【专题】二次根式；符号意识．
【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴+
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2021•长沙）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．π D．4
【考点】实数大小比较．版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜π＜4，
∴最大的数是4，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
9．（2020•衡阳）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
【考点】分式有意义的条件．版权所有
【专题】分式；符号意识．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
10．（2020•益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．版权所有
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式得出答案．
【解答】解：A、a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）2，故此选项错误；
B、a2﹣9b2＝（a﹣3b）（a+3b），故此选项错误；
C、a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，正确；
D、a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1），故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
11．（2020•邵阳）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法．版权所有
【专题】计算题；整式；分式；二次根式；运算能力．
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
【解答】解：A.，故A选项不合题意；
B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项不合题意；
D.，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式、整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【考点】平方差公式的几何背景．版权所有
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】列代数式．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；
②设在乙处建总仓库，则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；
③设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；
进行比较运费最少的即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，
∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3，
设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，
设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；
②设在乙处建总仓库，
∵a+d＝5y，b+c＝7y，
∴a+d＜b+c，
则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式并比较大小；设出未知数，求出各个运费是解题的关键．
14．（2019•张家界）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（ ）美元．
A．6×1010 B．0.6×1010 C．6×109 D．0.6×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有
【专题】实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：600亿＝600×108＝6×1010．
故选：A．
【点评】本题运用了科学记数法的知识点，掌握好n与数位之间的关系是解此题的关键．
二．填空题（共7小题）
15．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【考点】二次根式有意义的条件．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．
16．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝ .（用含n的式子表达）
【考点】规律型：图形的变化类；数学常识．版权所有
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2＝3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．
【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，
第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，
第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，
第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，
....．
第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．
17．（2021•永州）若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（ 2021 ）x+y；
（2）+＝ 1 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算；
（2）由（1）知43xy•47xy＝2021（x+y），43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y即可求．
【解答】解：（1）43xy•47xy＝（43x）y•（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，
故答案为：2021；
（2）由（1）知，43xy•47xy＝2021（x+y），
∵43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，
∴xy＝x+y，
∴+＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子进行相应的换算是解题的关键．
18．（2021•娄底）已知t2﹣3t+1＝0，则t+＝ 3 ．
【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据方程的解的定义得到t≠0，根据等式的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵t2﹣3t+1＝0，
∴t≠0，
等式两边同时除以t，得t﹣3+＝0，
解得：t+＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握方程的解的定义、等式的性质是解题的关键．
19．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 m2﹣m ．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．版权所有
【专题】规律型；运算能力；创新意识．
【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．
【解答】解：由题意得：
2100+2101+2102+…+2199，
＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），
＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），
＝（2100）2﹣2100，
＝m2﹣m，
故答案为：m2﹣m．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用m的代数式表示出结果是解题的关键．
20．（2020•邵阳）在如下方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为 ．
3
2
1
6
3
【考点】实数的运算．版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【解答】解：设方格中两个空格代表的实数分别为x，y．
由题意可得：xy＝，
xy＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
21．（2020•张家界）观察下面的变化规律：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…
根据上面的规律计算：＝ ．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．版权所有
【专题】规律型；数据分析观念；推理能力．
【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【解答】解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．
故
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
三．解答题（共3小题）
22．（2020•邵阳）已知：|m﹣1|+＝0，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．
【考点】整式的混合运算—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．版权所有
【专题】实数；整式；运算能力．
【分析】（1）根据非负数的和为0的性质进行解答便可；
（2）根据整式乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项后，最后再代值计算．
【解答】解：（1）根据非负数得：m﹣1＝0且n+2＝0，
解得：m＝1，n＝﹣2，
（2）原式＝m2﹣3mn+m2+4mn+4n2﹣4n2＝2m2+mn，
当m＝1，n＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0．
【点评】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．
23．（2020•张家界）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+1﹣4
＝﹣1﹣+1﹣4
＝﹣4．
【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．
24．（2020•株洲）计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．
【解答】解：原式＝4+1﹣×
＝4+1﹣3
＝2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数等知识，熟记相关知识是解题关键．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
6．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
7．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
8．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
10．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
11．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
12．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
13．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
14．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
15．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
17．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
18．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
19．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
20．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
21．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
22．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
23．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
24．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
25．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
26．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
27．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
28．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
29．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
30．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
31．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
32．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
33．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
34．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
35．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
36．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
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2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式
一．选择题（共14小题）
1．（2021•郴州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．ab＞0 D．a+b＞0
2．（2021•郴州）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×108m B．7×10﹣8m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣9m
3．（2021•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．m3÷m2＝m B．（a3）2＝a5 C．x2•x3＝x6 D．3a3﹣a2＝2a
4．（2021•湘西州）2021的相反数是（ ）
A．1202 B．﹣2021 C． D．﹣
5．（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
6．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（ ）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
8．（2021•长沙）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．π D．4
9．（2020•衡阳）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
10．（2020•益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
11．（2020•邵阳）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
12．（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
13．（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
14．（2019•张家界）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（ ）美元．
A．6×1010 B．0.6×1010 C．6×109 D．0.6×109
二．填空题（共7小题）
15．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
16．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝ .（用含n的式子表达）
17．（2021•永州）若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（ ）x+y；
（2）+＝ ．
18．（2021•娄底）已知t2﹣3t+1＝0，则t+＝ ．
19．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 ．
20．（2020•邵阳）在如下方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为 ．
3
2
1
6
3
21．（2020•张家界）观察下面的变化规律：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…
根据上面的规律计算：＝ ．
三．解答题（共3小题）
22．（2020•邵阳）已知：|m﹣1|+＝0，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．
23．（2020•张家界）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．
24．（2020•株洲）计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．
2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2021•郴州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．ab＞0 D．a+b＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．版权所有
【专题】计算题；数据分析观念；运算能力．
【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故A项不符合题意；
B．由数轴可知|a|＞|b|，故B项符合题意；
C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故C项不符合题意；
D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故D项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断a，b的正负，以及绝对值的大小．
2．（2021•郴州）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×108m B．7×10﹣8m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣9m
【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴7nm＝7×10﹣9m．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2021•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．m3÷m2＝m B．（a3）2＝a5 C．x2•x3＝x6 D．3a3﹣a2＝2a
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】A．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；
B．直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；
C．直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
D．直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：A．m3÷m2＝m，故此选项符合题意；
B．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；
C．x2•x3＝x5，故此选项不合题意；
D.3a3与a2无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2021•湘西州）2021的相反数是（ ）
A．1202 B．﹣2021 C． D．﹣
【考点】相反数．版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．
根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
故选：B．
【点评】本题属于基础简单题，考查相反数的定义，即绝对值相等，符号相反的两个数叫做互为相反数．
5．（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】A．直接合并同类项判断结果是否正确；
B．直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确；
C．直接利用同底数幂的除法运算法则判断结果是否正确；
D．直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确．
【解答】解：A．3a﹣2a＝a，故此选项不合题意；
B．3a•2a＝6a2，故此选项不合题意；
C．a3÷a2＝a，故此选项符合题意；
D．（2a）3＝8a3，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（ ）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．版权所有
【专题】二次根式；符号意识．
【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴+
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2021•长沙）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．π D．4
【考点】实数大小比较．版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜π＜4，
∴最大的数是4，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
9．（2020•衡阳）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
【考点】分式有意义的条件．版权所有
【专题】分式；符号意识．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
10．（2020•益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．版权所有
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式得出答案．
【解答】解：A、a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）2，故此选项错误；
B、a2﹣9b2＝（a﹣3b）（a+3b），故此选项错误；
C、a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，正确；
D、a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1），故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
11．（2020•邵阳）下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法．版权所有
【专题】计算题；整式；分式；二次根式；运算能力．
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
【解答】解：A.，故A选项不合题意；
B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项不合题意；
D.，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式、整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【考点】平方差公式的几何背景．版权所有
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】列代数式．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；
②设在乙处建总仓库，则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；
③设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；
进行比较运费最少的即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，
∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3，
设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，
设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；
②设在乙处建总仓库，
∵a+d＝5y，b+c＝7y，
∴a+d＜b+c，
则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；
④设在丁处建总仓库，
则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式并比较大小；设出未知数，求出各个运费是解题的关键．
14．（2019•张家界）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（ ）美元．
A．6×1010 B．0.6×1010 C．6×109 D．0.6×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有
【专题】实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：600亿＝600×108＝6×1010．
故选：A．
【点评】本题运用了科学记数法的知识点，掌握好n与数位之间的关系是解此题的关键．
二．填空题（共7小题）
15．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【考点】二次根式有意义的条件．版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．
16．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝ .（用含n的式子表达）
【考点】规律型：图形的变化类；数学常识．版权所有
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2＝3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．
【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，
第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，
第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，
第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，
....．
第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．
17．（2021•永州）若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（ 2021 ）x+y；
（2）+＝ 1 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算；
（2）由（1）知43xy•47xy＝2021（x+y），43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y即可求．
【解答】解：（1）43xy•47xy＝（43x）y•（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，
故答案为：2021；
（2）由（1）知，43xy•47xy＝2021（x+y），
∵43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，
∴xy＝x+y，
∴+＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子进行相应的换算是解题的关键．
18．（2021•娄底）已知t2﹣3t+1＝0，则t+＝ 3 ．
【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据方程的解的定义得到t≠0，根据等式的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵t2﹣3t+1＝0，
∴t≠0，
等式两边同时除以t，得t﹣3+＝0，
解得：t+＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握方程的解的定义、等式的性质是解题的关键．
19．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 m2﹣m ．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．版权所有
【专题】规律型；运算能力；创新意识．
【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．
【解答】解：由题意得：
2100+2101+2102+…+2199，
＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），
＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），
＝（2100）2﹣2100，
＝m2﹣m，
故答案为：m2﹣m．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用m的代数式表示出结果是解题的关键．
20．（2020•邵阳）在如下方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为 ．
3
2
1
6
3
【考点】实数的运算．版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【解答】解：设方格中两个空格代表的实数分别为x，y．
由题意可得：xy＝，
xy＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
21．（2020•张家界）观察下面的变化规律：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…
根据上面的规律计算：＝ ．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．版权所有
【专题】规律型；数据分析观念；推理能力．
【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【解答】解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．
故
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
三．解答题（共3小题）
22．（2020•邵阳）已知：|m﹣1|+＝0，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．
【考点】整式的混合运算—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．版权所有
【专题】实数；整式；运算能力．
【分析】（1）根据非负数的和为0的性质进行解答便可；
（2）根据整式乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项后，最后再代值计算．
【解答】解：（1）根据非负数得：m﹣1＝0且n+2＝0，
解得：m＝1，n＝﹣2，
（2）原式＝m2﹣3mn+m2+4mn+4n2﹣4n2＝2m2+mn，
当m＝1，n＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0．
【点评】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．
23．（2020•张家界）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+1﹣4
＝﹣1﹣+1﹣4
＝﹣4．
【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．
24．（2020•株洲）计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．
【解答】解：原式＝4+1﹣×
＝4+1﹣3
＝2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数等知识，熟记相关知识是解题关键．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
6．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
7．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
8．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
10．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
11．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
12．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
13．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
14．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
15．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
17．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
18．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
19．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
20．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
21．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
22．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
23．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
24．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
25．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
26．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
27．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
28．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
29．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
30．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
31．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
32．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
33．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
34．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
35．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
36．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
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