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2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数
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2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数
一．选择题（共11小题）
1．（2012•阿坝州）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2011•清远）一次函数y＝x+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
4．（2018•深圳）把函数y＝x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
5．（2016•广州）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
6．（2020•广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．（2019•深圳）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019•广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
9．（2018•广东）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
11．（2021•罗湖区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
二．填空题（共6小题）
12．（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为 ．
13．（2014•梅州）已知直线y＝kx+b，若k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线不经过第 象限．
14．（2013•广州）一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．（2013•珠海）已知，函数y＝3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）
16．（2021•深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 ．
17．（2021•罗湖区）以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为 ．
三．解答题（共3小题）
18．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ ．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围： ．
19．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
20．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2012•阿坝州）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象． 版权所有
【专题】数形结合．
【分析】根据一次函数的性质，易得其图象过（0，﹣1）和（1，0）；比较可得答案．
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象，易得直线y＝x﹣1，过点（0，﹣1）和（1，0），比较可得答案为D．
故选：D．
【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
2．（2011•清远）一次函数y＝x+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象． 版权所有
【专题】数形结合．
【分析】根据一次函数y＝x+2与x轴和y轴的交点，结合一次函数图象的性质便可得出答案．
【解答】解：一次函数y＝x+2，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝﹣2，
故一次函数y＝x+2图象经过（0，2）（﹣2，0）；
故根据排除法可知A选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
3．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
【考点】规律型：点的坐标． 版权所有
【专题】规律型；平面直角坐标系．
【分析】由OA4n＝2n知OA2017＝+1＝1009，据此得出A2A2018＝1009﹣1＝1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：由题意知OA4n＝2n，
∵2018÷4＝504…2，
∴OA2017＝+1＝1009，
∴A2A2018＝1009﹣1＝1008，
则△OA2A2018的面积是×1×1008＝504m2，
故选：A．
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
4．（2018•深圳）把函数y＝x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】根据平移的性质得出解析式，进而解答即可．
【解答】解：∵该直线向上平移3的单位，
∴平移后所得直线的解析式为：y＝x+3；
把x＝2代入解析式y＝x+3＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（2016•广州）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
【考点】一次函数与一元一次不等式． 版权所有
【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故A错误，
a﹣b＜0，故B错误，
a2+b＞0，故C正确，
a+b不一定大于0，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．
6．（2020•广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x1+1＜x1+2即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），且x1＜x1+1＜x1+2，
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（2019•深圳）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax+b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
8．（2019•广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
9．（2018•广东）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象． 版权所有
【专题】数形结合．
【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y＝AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C和D不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y＝AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y＝PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项B正确；
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．
10．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；反比例函数的性质． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，通过证得△COE∽△OAD得到＝，则OE＝2AD，CE＝2OD，设A（m，）（m＞0），则C（﹣，2m），由OE＝0﹣（﹣）＝得到m﹣（﹣）＝，解分式方程即可求得A的坐标．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴＝（）2，
∴＝2，
∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），
经检验，m＝是方程的解，
∴A（，2），
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．
11．（2021•罗湖区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝，
∴•ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOE＝9，
∴S△FME＝S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝，
∴k＝12．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题）
12．（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为 y＝6+0.3x ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式． 版权所有
【分析】根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．
【解答】解：因为初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，
所以k＝0.3，b＝6，
根据题意可得：y＝6+0.3x（0≤x≤5），
故答案为：y＝6+0.3x．
【点评】此题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时0.3米的速度匀速上升列出关系式．
13．（2014•梅州）已知直线y＝kx+b，若k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线不经过第 一 象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系． 版权所有
【分析】首先根据k+b＝﹣5、kb＝6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．
【解答】解：∵k+b＝﹣5，kb＝6，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．
14．（2013•广州）一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系． 版权所有
【分析】根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，
∴m+2＞0，
解得，m＞﹣2．
故答案是：m＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．
函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；
函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．
15．（2013•珠海）已知，函数y＝3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1 ＞ y2（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【分析】分别把点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2）代入函数y＝3x，求出点y1，y2的值，并比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2）是函数y＝3x上的点，
∴y1＝﹣3，y2＝﹣6，
∵﹣3＞﹣6，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
16．（2021•深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 （4，﹣7） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据反比例函数的对称性求得B的坐标，过点B作x轴的平行线l，过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则D（2，﹣3），利用“一线三垂直”易证得△ABD≌△BEC，即可求得BE＝AD＝6，CE＝BD＝4，从而求得C的坐标为（4，﹣7）．
【解答】解：∵A点坐标（2，3），直线AB经过原点，
∴B（﹣2，﹣3）
过点B作x轴的平行线l过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则D（2，﹣3），
∵∠ABD+∠CBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD，
在△ABD与△BCE 中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝6，CE＝BD＝4，
∴C（4，﹣7），
故答案为（4，﹣7）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，求得点的坐标是解题的关键．
17．（2021•罗湖区）以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为 ．
【考点】反比例函数综合题． 版权所有
【专题】压轴题；数形结合；方程思想．
【分析】首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可求得点E的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得点F的坐标；最后结合锐角三角函数的定义求得答案．
【解答】解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．
∵CD＝BD，
∴S△CDO＝＝S矩形ABCD，
∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，
∴AE＝EB，
∵C′（2，4），
∴AE＝EB＝4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝42+（m﹣2）2，
∴m＝5，
∴E（5，4），
∴B（5，8），则BC＝5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G＝2，CG＝4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2，
∴FG＝，
∴CF＝4﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题（共3小题）
18．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ 不存在 （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ 存在 ．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围： k≥ ．
【考点】反比例函数综合题． 版权所有
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【分析】（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）①设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；
②a：根据图象得出结论；
b：结合①中结果，画出图象表达；
c：利用Δ求k得取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，
联立，得：2x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
②a：从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
b：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，
联立，得：2x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
从图象看来，函数y＝﹣x+2.5和函数y＝图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
c：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，
联立，得：x2﹣5kx+6k＝0，
∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，
设方程的两根为x1，x2，
当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0，
解得：k≥或k≤0（舍），
∴k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．
故答案为：k≥．
【点评】本题以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式Δ的值可以快速得到结果．
19．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；应用意识．
【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2．
（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2）．
（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）
∴C（9，0），
∴OC＝9，OA＝＝5，
∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ 2 ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【考点】反比例函数综合题． 版权所有
【专题】数形结合；数据分析观念．
【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则k＝s•t＝st＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y＝﹣，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解答】解：（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则k＝s•t＝st＝2，
故答案为2；
（2）连接OD，
则△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD＝×8﹣×2＝3；
（3）设点D（m，），则点B（4m，），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，），
设直线DE的表达式为：y＝px+n，将点D、E的坐标代入上式得并解得，
直线DE的表达式为：y＝﹣，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
又∵FG∥BD，
故四边形BDFG为平行四边形．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，综合性强，难度适中．
考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
5．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
6．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
7．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
8．根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
9．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
10．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
11．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
14．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数
一．选择题（共11小题）
1．（2012•阿坝州）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2011•清远）一次函数y＝x+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
4．（2018•深圳）把函数y＝x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
5．（2016•广州）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
6．（2020•广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．（2019•深圳）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019•广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
9．（2018•广东）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
11．（2021•罗湖区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
二．填空题（共6小题）
12．（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为 ．
13．（2014•梅州）已知直线y＝kx+b，若k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线不经过第 象限．
14．（2013•广州）一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．（2013•珠海）已知，函数y＝3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）
16．（2021•深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 ．
17．（2021•罗湖区）以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为 ．
三．解答题（共3小题）
18．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ ．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围： ．
19．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
20．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之一次函数和反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2012•阿坝州）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象． 版权所有
【专题】数形结合．
【分析】根据一次函数的性质，易得其图象过（0，﹣1）和（1，0）；比较可得答案．
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象，易得直线y＝x﹣1，过点（0，﹣1）和（1，0），比较可得答案为D．
故选：D．
【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
2．（2011•清远）一次函数y＝x+2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象． 版权所有
【专题】数形结合．
【分析】根据一次函数y＝x+2与x轴和y轴的交点，结合一次函数图象的性质便可得出答案．
【解答】解：一次函数y＝x+2，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝﹣2，
故一次函数y＝x+2图象经过（0，2）（﹣2，0）；
故根据排除法可知A选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
3．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
【考点】规律型：点的坐标． 版权所有
【专题】规律型；平面直角坐标系．
【分析】由OA4n＝2n知OA2017＝+1＝1009，据此得出A2A2018＝1009﹣1＝1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：由题意知OA4n＝2n，
∵2018÷4＝504…2，
∴OA2017＝+1＝1009，
∴A2A2018＝1009﹣1＝1008，
则△OA2A2018的面积是×1×1008＝504m2，
故选：A．
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
4．（2018•深圳）把函数y＝x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（ ）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】根据平移的性质得出解析式，进而解答即可．
【解答】解：∵该直线向上平移3的单位，
∴平移后所得直线的解析式为：y＝x+3；
把x＝2代入解析式y＝x+3＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（2016•广州）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
【考点】一次函数与一元一次不等式． 版权所有
【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故A错误，
a﹣b＜0，故B错误，
a2+b＞0，故C正确，
a+b不一定大于0，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．
6．（2020•广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x1+1＜x1+2即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），且x1＜x1+1＜x1+2，
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（2019•深圳）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax+b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
8．（2019•广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
9．（2018•广东）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象． 版权所有
【专题】数形结合．
【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y＝AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C和D不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y＝AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y＝PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项B正确；
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．
10．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；反比例函数的性质． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，通过证得△COE∽△OAD得到＝，则OE＝2AD，CE＝2OD，设A（m，）（m＞0），则C（﹣，2m），由OE＝0﹣（﹣）＝得到m﹣（﹣）＝，解分式方程即可求得A的坐标．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴＝（）2，
∴＝2，
∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），
经检验，m＝是方程的解，
∴A（，2），
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．
11．（2021•罗湖区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝，
∴•ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOE＝9，
∴S△FME＝S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝，
∴k＝12．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题）
12．（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为 y＝6+0.3x ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式． 版权所有
【分析】根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．
【解答】解：因为初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，
所以k＝0.3，b＝6，
根据题意可得：y＝6+0.3x（0≤x≤5），
故答案为：y＝6+0.3x．
【点评】此题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时0.3米的速度匀速上升列出关系式．
13．（2014•梅州）已知直线y＝kx+b，若k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线不经过第 一 象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系． 版权所有
【分析】首先根据k+b＝﹣5、kb＝6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．
【解答】解：∵k+b＝﹣5，kb＝6，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．
14．（2013•广州）一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系． 版权所有
【分析】根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，
∴m+2＞0，
解得，m＞﹣2．
故答案是：m＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．
函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；
函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．
15．（2013•珠海）已知，函数y＝3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1 ＞ y2（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【分析】分别把点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2）代入函数y＝3x，求出点y1，y2的值，并比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2）是函数y＝3x上的点，
∴y1＝﹣3，y2＝﹣6，
∵﹣3＞﹣6，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
16．（2021•深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 （4，﹣7） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据反比例函数的对称性求得B的坐标，过点B作x轴的平行线l，过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则D（2，﹣3），利用“一线三垂直”易证得△ABD≌△BEC，即可求得BE＝AD＝6，CE＝BD＝4，从而求得C的坐标为（4，﹣7）．
【解答】解：∵A点坐标（2，3），直线AB经过原点，
∴B（﹣2，﹣3）
过点B作x轴的平行线l过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则D（2，﹣3），
∵∠ABD+∠CBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD，
在△ABD与△BCE 中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝6，CE＝BD＝4，
∴C（4，﹣7），
故答案为（4，﹣7）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，求得点的坐标是解题的关键．
17．（2021•罗湖区）以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为 ．
【考点】反比例函数综合题． 版权所有
【专题】压轴题；数形结合；方程思想．
【分析】首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可求得点E的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得点F的坐标；最后结合锐角三角函数的定义求得答案．
【解答】解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．
∵CD＝BD，
∴S△CDO＝＝S矩形ABCD，
∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，
∴AE＝EB，
∵C′（2，4），
∴AE＝EB＝4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝42+（m﹣2）2，
∴m＝5，
∴E（5，4），
∴B（5，8），则BC＝5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G＝2，CG＝4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2，
∴FG＝，
∴CF＝4﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题（共3小题）
18．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ 不存在 （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ 存在 ．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围： k≥ ．
【考点】反比例函数综合题． 版权所有
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【分析】（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）①设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；
②a：根据图象得出结论；
b：结合①中结果，画出图象表达；
c：利用Δ求k得取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，
联立，得：2x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
②a：从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
b：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，
联立，得：2x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
从图象看来，函数y＝﹣x+2.5和函数y＝图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
c：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，
联立，得：x2﹣5kx+6k＝0，
∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，
设方程的两根为x1，x2，
当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0，
解得：k≥或k≤0（舍），
∴k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．
故答案为：k≥．
【点评】本题以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式Δ的值可以快速得到结果．
19．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质． 版权所有
【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；应用意识．
【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2．
（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2）．
（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）
∴C（9，0），
∴OC＝9，OA＝＝5，
∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ 2 ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【考点】反比例函数综合题． 版权所有
【专题】数形结合；数据分析观念．
【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则k＝s•t＝st＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y＝﹣，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解答】解：（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则k＝s•t＝st＝2，
故答案为2；
（2）连接OD，
则△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD＝×8﹣×2＝3；
（3）设点D（m，），则点B（4m，），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，），
设直线DE的表达式为：y＝px+n，将点D、E的坐标代入上式得并解得，
直线DE的表达式为：y＝﹣，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
又∵FG∥BD，
故四边形BDFG为平行四边形．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，综合性强，难度适中．
考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
5．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
6．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
7．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
8．根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
9．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
10．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
11．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
14．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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