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2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之二次函数
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这是一份2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之二次函数，共41页。试卷主要包含了之间的函数关系如图所示等内容，欢迎下载使用。
2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之二次函数
一．选择题（共14小题）
1．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
3．（2020•枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
5．（2018•潍坊）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
6．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
8．（2020•威海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为a﹣b+c
B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0
D．2a+b＝0
9．（2019•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2020•济南）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
11．（2019•莱芜区）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12
12．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2
13．（2018•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜ B．﹣1＜t≤ C．﹣≤t＜ D．﹣1＜t＜
二．填空题（共5小题）
15．（2019•泰安）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 ．
16．（2021•淄博）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
17．（2021•泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
18．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
19．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
三．解答题（共3小题）
20．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质： ；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．
21．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
22．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．
2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
2．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3时，得到﹣2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0时，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3．
【解答】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，
∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
3．（2020•枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；模型思想；应用意识．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正确；
由x＝﹣＝1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象与系数的关系是正确判断的前提．
4．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【考点】二次函数的应用． 版权所有
【专题】二次函数的应用．
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．
5．（2018•潍坊）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2＝﹣1，
解得：h1＝1，h2＝3（舍去）；
当2≤h≤5时，y＝﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2＝﹣1，
解得：h3＝4（舍去），h4＝6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
6．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y＝0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【考点】二次函数图象与几何变换． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x）+3
＝﹣[（x+1）2﹣1]+3
＝﹣（x+1）2+4，
∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当x＝1时，y＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故D选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
8．（2020•威海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为a﹣b+c
B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0
D．2a+b＝0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；模型思想；应用意识．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c 满足的关系进行综合判断即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题意；
抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
因此有：x＝﹣1＝﹣，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c 的关系是正确判断的前提．
9．（2019•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2﹣2|＞|x1﹣2|，所以⑤错误．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．（2020•济南）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3
【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，
解得≤m＜3，
当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为m≥．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．（2019•莱芜区）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】如图所示，过点B作直线y＝2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
12．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围
【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2．
由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．
①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．
将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2．
由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝2﹣≈0.6，x2＝2+≈3.4．
∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．
则当m＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．
∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】
答案图1（m＝1时） 答案图2（ m＝时）
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．
此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．
将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣0+4m﹣2．解得m＝．
此时抛物线解析式为y＝x2﹣2x．
当x＝1时，得y＝×1﹣2×1＝﹣＜﹣1．∴点（1，﹣1）符合题意．
当x＝3时，得y＝×9﹣2×3＝﹣＜﹣1．∴点（3，﹣1）符合题意．
综上可知：当m＝时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m＝不符合题．
∴m＞．
综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．
13．（2018•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴公式x＞﹣1，可得结论②错误；利用平方差公式，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④正确；
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵﹣＞﹣1，a＞0，
∴b＜2a，
∴2a﹣b＞0，故②错误，
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∴b2＞（a+c）2，故③正确，
∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，
观察图象可知y1＞y2，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜ B．﹣1＜t≤ C．﹣≤t＜ D．﹣1＜t＜
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b＝3a+，由二次函数的图象的顶点在第一象限，可得a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+＝3a+，
∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，
∴a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴a+＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
∴﹣1＜3a+＜，
∴﹣1＜t＜，
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用抛物线顶点坐标所在象限确定系数的取值范围，以及二次函数与方程之间的转换，方程根的代数意义的熟练运用．
二．填空题（共5小题）
15．（2019•泰安）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 x1＝2，x2＝4 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得x1＝2，x2＝4．
故答案为：x1＝2，x2＝4．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，一元二次方程等知识，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．
16．（2021•淄博）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 b≤﹣ ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据题意得到4a2﹣4（a+b）≥0，求得a2﹣a的最小值，即可得到b的取值范围．
【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到b≤a2﹣a是解题的关键．
17．（2021•泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 ②④ （将所有正确结论的序号都填入）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当y＝﹣1时，x的值有2个．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2+bx+c+1＝0的根的个数，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0有2个不相等的实数根．
故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，函数思想，数形结合等．关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右，（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
18．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ACD ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入y＝ax2+bx﹣2，求得抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，再根据对称轴直线x＝﹣求解即可得到A选项是正确的；
由抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0）和（2，0），从而判断出B选项不正确；
令关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2﹣t＝0的根的判别式当Δ＞0，解得t＞﹣，从而得到C选项正确；
根据抛物线图象的性质由n＜0，推出3＜m+4＜6，从而推出h＞0，得到D选项正确．
【解答】解：当抛物线图象经过点A和点B时，
将A（1，﹣2）和B（2，﹣2）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，不符合题意；
当抛物线图象经过点B和点C时，
将B（2，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，此时无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，
将A（1，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，
综上，抛物线经过点A和点C，其解析式为y＝x2﹣x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
故A选项正确；
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（2，0），
故B选项不正确；
由ax2+bx﹣2＝t得ax2+bx﹣2﹣t＝0，
方程根的判别式Δ＝b2﹣4a（﹣2﹣t），
当a＝1，b＝﹣1时，Δ＝9+4t，
当Δ＞0时，即9+4t＞0，解得t＞﹣，
此时关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根，
故C选项正确；
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且其图象开口向上，
若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上y＝x2﹣x﹣2的点且n＜0，
∵n＜0，
∴﹣1＜m＜2，
∴3＜m+4＜6，
∴yx＝m+4＞yx＝2，
即h＞0，
故D选项正确．
故答案为：ACD．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法．
19．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
【解答】解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共3小题）
20．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质： 抛物线的顶点坐标为（2，7） ；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．
【考点】二次函数综合题． 版权所有
【专题】代数几何综合题；待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）根据表格中数据的特征可得顶点坐标；
（2）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式；
（3）①利用已知得出C2的顶点坐标与解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到b的取值范围；
②利用点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，设点P（m，﹣m2﹣4m），利用待定系数法求得直线AP的解析式，从而得到点Q的坐标；利用直角三角形的边角关系求得∠ABO和∠QDO的正切值，再利用同位角相等，两直线平行得出结论．
【解答】解：（1）∵表中的数据关于（2，7）对称，
∴该抛物线的顶点为（2，7）．
故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）（答案不唯一）；
（2）由题意抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：
，
解得：．
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3．
（3）①由（1）知：抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3，
∴将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为（﹣2，4）．
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．
由题意得：或，
∴﹣x2+4x+3＝x+b或﹣x2﹣4x＝x+b．
即2x2﹣7x+2b﹣6＝0或x2+x+b＝0．
∵当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，
∴72﹣4×2×（2b﹣6）＝0或（）2﹣4×1×b＝0．
解得：b＝或b＝．
∵直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，
∴＜b＜．
②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣4x，
∴令y＝0，则﹣x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣4．
∵抛物线C2与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），
∴B（﹣4，0），C（0，0）．
∴OB＝4．
由①知：抛物线C2的顶点为A（﹣2，4）．
∴AE＝4，OE＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝2．
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝2．
∵点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，
∴设点P（m，﹣m2﹣4m），则m＜0，﹣m2﹣4m＞0．
∵PD⊥x轴，
∴OD＝﹣m．
设直线AP的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m+2）x﹣2m．
令x＝0，则y＝﹣2m．
∴Q（0，﹣2m）．
∴OQ＝﹣2m．
在Rt△ODQ中，tan∠QDO＝＝＝2．
∴tan∠ABE＝tan∠QDO．
∴∠ABE＝∠QDO．
∴AB∥DQ．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线平移的性质，解直角三角形，平行线的判定．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【考点】二次函数的应用． 版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2﹣y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1﹣y2，然后进行比较判断即可．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
22．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．
【考点】二次函数综合题． 版权所有
【专题】代数几何综合题；待定系数法；配方法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
（2）利用△DAC是以AC为底的等腰三角形，求出点D的坐标，利用待定系数法确定直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得到点P的坐标；
（3）由（2）中的条件求得线段CP，AB的长；由已知判定出△EPC∽△FEA，得出比例式，设AF＝x，AE＝y，
利用比例式求得AF的最大值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4）．
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．
∴OA＝OE，AC＝＝2．
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC．
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO．
∴．
∴．
∴OD＝4．
∴D（4，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝﹣．
∴，
解得：，．
∴P（）．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，
则OH＝，PH＝，
∵OD＝4，
∴HD＝OD﹣OH＝，
∴PD＝＝．
∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．
由（2）知：AC＝2．
设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C．
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE．
∴△CEP∽△AFE．
∴．
∴．
∴x＝﹣+y＝﹣+．
∴当y＝时，x即AF有最大值．
∵OA＝1，
∴OF的最大值为﹣1＝．
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标的特征，函数图象交点的坐标的特征，二元方程组的解法，勾股定理，三角形相似的判定与性质，函数极值的确定．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
9．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
14．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之二次函数
一．选择题（共14小题）
1．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
3．（2020•枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
5．（2018•潍坊）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
6．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
8．（2020•威海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为a﹣b+c
B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0
D．2a+b＝0
9．（2019•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2020•济南）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
11．（2019•莱芜区）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12
12．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2
13．（2018•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜ B．﹣1＜t≤ C．﹣≤t＜ D．﹣1＜t＜
二．填空题（共5小题）
15．（2019•泰安）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 ．
16．（2021•淄博）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
17．（2021•泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
18．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
19．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
三．解答题（共3小题）
20．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质： ；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．
21．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
22．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．
2017-2021年山东中考数学真题分类汇编之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2021•东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
2．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3时，得到﹣2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0时，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3．
【解答】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，
∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
3．（2020•枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；模型思想；应用意识．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正确；
由x＝﹣＝1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象与系数的关系是正确判断的前提．
4．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【考点】二次函数的应用． 版权所有
【专题】二次函数的应用．
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．
5．（2018•潍坊）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2＝﹣1，
解得：h1＝1，h2＝3（舍去）；
当2≤h≤5时，y＝﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2＝﹣1，
解得：h3＝4（舍去），h4＝6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
6．（2021•滨州）对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y＝0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【考点】二次函数图象与几何变换． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x）+3
＝﹣[（x+1）2﹣1]+3
＝﹣（x+1）2+4，
∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当x＝1时，y＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故D选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
8．（2020•威海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为a﹣b+c
B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0
D．2a+b＝0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；模型思想；应用意识．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c 满足的关系进行综合判断即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题意；
抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
因此有：x＝﹣1＝﹣，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c 的关系是正确判断的前提．
9．（2019•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2﹣2|＞|x1﹣2|，所以⑤错误．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．（2020•济南）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3
【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，
解得≤m＜3，
当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为m≥．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．（2019•莱芜区）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】如图所示，过点B作直线y＝2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
12．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围
【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2．
由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．
①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．
将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2．
由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝2﹣≈0.6，x2＝2+≈3.4．
∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．
则当m＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．
∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】
答案图1（m＝1时） 答案图2（ m＝时）
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．
此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．
将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣0+4m﹣2．解得m＝．
此时抛物线解析式为y＝x2﹣2x．
当x＝1时，得y＝×1﹣2×1＝﹣＜﹣1．∴点（1，﹣1）符合题意．
当x＝3时，得y＝×9﹣2×3＝﹣＜﹣1．∴点（3，﹣1）符合题意．
综上可知：当m＝时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m＝不符合题．
∴m＞．
综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．
13．（2018•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴公式x＞﹣1，可得结论②错误；利用平方差公式，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④正确；
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵﹣＞﹣1，a＞0，
∴b＜2a，
∴2a﹣b＞0，故②错误，
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∴b2＞（a+c）2，故③正确，
∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，
观察图象可知y1＞y2，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜ B．﹣1＜t≤ C．﹣≤t＜ D．﹣1＜t＜
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b＝3a+，由二次函数的图象的顶点在第一象限，可得a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+＝3a+，
∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，
∴a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴a+＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
∴﹣1＜3a+＜，
∴﹣1＜t＜，
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用抛物线顶点坐标所在象限确定系数的取值范围，以及二次函数与方程之间的转换，方程根的代数意义的熟练运用．
二．填空题（共5小题）
15．（2019•泰安）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为 x1＝2，x2＝4 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得x1＝2，x2＝4．
故答案为：x1＝2，x2＝4．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，一元二次方程等知识，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．
16．（2021•淄博）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 b≤﹣ ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据题意得到4a2﹣4（a+b）≥0，求得a2﹣a的最小值，即可得到b的取值范围．
【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到b≤a2﹣a是解题的关键．
17．（2021•泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 ②④ （将所有正确结论的序号都填入）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当y＝﹣1时，x的值有2个．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2+bx+c+1＝0的根的个数，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0有2个不相等的实数根．
故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，函数思想，数形结合等．关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右，（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
18．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ACD ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入y＝ax2+bx﹣2，求得抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，再根据对称轴直线x＝﹣求解即可得到A选项是正确的；
由抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0）和（2，0），从而判断出B选项不正确；
令关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2﹣t＝0的根的判别式当Δ＞0，解得t＞﹣，从而得到C选项正确；
根据抛物线图象的性质由n＜0，推出3＜m+4＜6，从而推出h＞0，得到D选项正确．
【解答】解：当抛物线图象经过点A和点B时，
将A（1，﹣2）和B（2，﹣2）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，不符合题意；
当抛物线图象经过点B和点C时，
将B（2，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，此时无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，
将A（1，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，
综上，抛物线经过点A和点C，其解析式为y＝x2﹣x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
故A选项正确；
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（2，0），
故B选项不正确；
由ax2+bx﹣2＝t得ax2+bx﹣2﹣t＝0，
方程根的判别式Δ＝b2﹣4a（﹣2﹣t），
当a＝1，b＝﹣1时，Δ＝9+4t，
当Δ＞0时，即9+4t＞0，解得t＞﹣，
此时关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根，
故C选项正确；
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且其图象开口向上，
若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上y＝x2﹣x﹣2的点且n＜0，
∵n＜0，
∴﹣1＜m＜2，
∴3＜m+4＜6，
∴yx＝m+4＞yx＝2，
即h＞0，
故D选项正确．
故答案为：ACD．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法．
19．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
【解答】解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共3小题）
20．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质： 抛物线的顶点坐标为（2，7） ；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．
【考点】二次函数综合题． 版权所有
【专题】代数几何综合题；待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）根据表格中数据的特征可得顶点坐标；
（2）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式；
（3）①利用已知得出C2的顶点坐标与解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到b的取值范围；
②利用点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，设点P（m，﹣m2﹣4m），利用待定系数法求得直线AP的解析式，从而得到点Q的坐标；利用直角三角形的边角关系求得∠ABO和∠QDO的正切值，再利用同位角相等，两直线平行得出结论．
【解答】解：（1）∵表中的数据关于（2，7）对称，
∴该抛物线的顶点为（2，7）．
故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）（答案不唯一）；
（2）由题意抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：
，
解得：．
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3．
（3）①由（1）知：抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3，
∴将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为（﹣2，4）．
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．
由题意得：或，
∴﹣x2+4x+3＝x+b或﹣x2﹣4x＝x+b．
即2x2﹣7x+2b﹣6＝0或x2+x+b＝0．
∵当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，
∴72﹣4×2×（2b﹣6）＝0或（）2﹣4×1×b＝0．
解得：b＝或b＝．
∵直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，
∴＜b＜．
②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣4x，
∴令y＝0，则﹣x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣4．
∵抛物线C2与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），
∴B（﹣4，0），C（0，0）．
∴OB＝4．
由①知：抛物线C2的顶点为A（﹣2，4）．
∴AE＝4，OE＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝2．
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝2．
∵点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，
∴设点P（m，﹣m2﹣4m），则m＜0，﹣m2﹣4m＞0．
∵PD⊥x轴，
∴OD＝﹣m．
设直线AP的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m+2）x﹣2m．
令x＝0，则y＝﹣2m．
∴Q（0，﹣2m）．
∴OQ＝﹣2m．
在Rt△ODQ中，tan∠QDO＝＝＝2．
∴tan∠ABE＝tan∠QDO．
∴∠ABE＝∠QDO．
∴AB∥DQ．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线平移的性质，解直角三角形，平行线的判定．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【考点】二次函数的应用． 版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2﹣y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1﹣y2，然后进行比较判断即可．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
22．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．
【考点】二次函数综合题． 版权所有
【专题】代数几何综合题；待定系数法；配方法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
（2）利用△DAC是以AC为底的等腰三角形，求出点D的坐标，利用待定系数法确定直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得到点P的坐标；
（3）由（2）中的条件求得线段CP，AB的长；由已知判定出△EPC∽△FEA，得出比例式，设AF＝x，AE＝y，
利用比例式求得AF的最大值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4）．
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．
∴OA＝OE，AC＝＝2．
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC．
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO．
∴．
∴．
∴OD＝4．
∴D（4，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝﹣．
∴，
解得：，．
∴P（）．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，
则OH＝，PH＝，
∵OD＝4，
∴HD＝OD﹣OH＝，
∴PD＝＝．
∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．
由（2）知：AC＝2．
设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C．
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE．
∴△CEP∽△AFE．
∴．
∴．
∴x＝﹣+y＝﹣+．
∴当y＝时，x即AF有最大值．
∵OA＝1，
∴OF的最大值为﹣1＝．
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标的特征，函数图象交点的坐标的特征，二元方程组的解法，勾股定理，三角形相似的判定与性质，函数极值的确定．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
9．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
14．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
相关试卷
2017-2021年四川中考数学真题分类汇编之二次函数： 这是一份2017-2021年四川中考数学真题分类汇编之二次函数，共43页。
2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之二次函数： 这是一份2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之二次函数，共39页。
2017-2021年江苏中考数学真题分类汇编之二次函数： 这是一份2017-2021年江苏中考数学真题分类汇编之二次函数，共33页。
