2021-2022学年山东省聊城市莘县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省聊城市莘县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，将中国传统文化和奥林匹克元素巧妙结合．下面是历届奥运会会徽中的部分图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列各式的计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下面几种说法正确的(    )
   对角线互相垂直平分的四边形是菱形
   一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形
   两条对角线相等的平行四边形是矩形
   对角线相等且垂直的四边形是正方形

A.  B.  C.  D.

4. 在实数，，，，，，．，，中，无理数的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 下列不等式变形错误的是(    )

A. 若，则 B. 若，则 
C. 若，则 D. 若，则

6. 下列各式，，，，中，最简二次根式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 若直角三角形的两边长分别是和，则它的斜边长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 设，，为非零实数，则所有可能的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

9. 如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点下列结论：
   ；
   ；
   当时，则有；
   关于的方程的解是：；
   
   ．
   其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若不等式组无解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转，得到，把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

13. 不等式的解集是，则的取值范围为______．
14. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为点，则______．

15. 设的整数部分是，小数部分是，则的值是______．
16. 如图，“赵爽弦图”由个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为______．

17. 一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为          ．

三、解答题（本大题共8小题，共69分）

18. 解不等式组并写出它的所有整数解．
    计算：．
19. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接、．
    求证：四边形是菱形．

20. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．
    求点的坐标及直线的解析式；
    求四边形的面积．

21. 聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知，，，，若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

22. 在中，，，分别是，的中点．若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为．
    如图，当时，线段的长等于______，线段的长等于______；直接填写结果
    如图，当时，求证：．
     

23. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车店准备购进型和型两种不同型号的电动汽车共辆进行销售．

如果该店购进辆两种型号的电动汽车所花费成本为万元，那么购进、两种型号的电动汽车各多少辆？
如果为了保证该店购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，那么辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是多少？

24. 已知，如图为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
    当为何值时，的面积为？
    在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 阅读理解：
    ；
    ；
    ；
    
    两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
    例：．
    例：．
    问题解决：
    的有理化因式是______；
    化简：；
    化简：的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
B、与不是同类二次根式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式的加减运算，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；
一组对边平行一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故不符合题意；
两条对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；
对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
因此，无理数有，，，共个．
故选：．
根据无理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，
，
，正确，故本题选项不符合题意；
B、，
，正确，故本题选项不符合题意；
C、当时，根据不能得出，错误，故本题选项不符合题意；
D、，
，正确，故本题选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

7.【答案】 

【解析】解：当是斜边时，它的斜边长是；
当是直角边时，它的斜边长；
故它的斜边长是：或．
故选：．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．
 

8.【答案】 

【解析】解：当，时，原式，
当，时，原式，
当，时，原式，
当，时，原式，
综上所述，原式所有可能的值为或，
故选：．
分，；，；，；，四种情况，根据绝对值的性质、二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：正比例函数随增大而增大，
，错误，
直线中随增大而减小，
，正确．
，错误．
直线与轴交点在轴上方，
，正确．
由图象可得当时直线在直线上方，
时，，正确．
两直线交点横坐标为，
时，，
的解是，正确．
正确，
故选：．
由正比例函数的性质可判断经过原点的直线为，另一条直线为，由时随增大而增大，时随增大而减小可判断，由直线与轴交点位置可判断，由两直线交点横坐标为可得是的解，从而判断由时两条直线的位置可判断．
本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系，掌握一次函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于的不等式，解之可得．
【解答】
解：解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故选A．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
根据折叠的性质得到，，易证≌，即可得到结论；易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出．
【解答】
解：矩形沿对角线对折，使落在的位置，

，，
又四边形为矩形，
，
，
而，
在与中，
，
≌，
；
四边形为矩形，
，，
≌，
，
设，则，，
在中，，即，解得，
则．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：，，是等腰直角三角形，且，
．
把绕点顺时针旋转，得到，
．
同理可得出：，，，，
，为自然数．
，，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可找出点的坐标，结合旋转的性质即可找出点、、、、、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，为自然数”，依此规律即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据点的变化找出变化规律“，为自然数”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：等式的解集是，
，
解得：．
故答案为：．
根据已知解集，利用不等式的基本性质确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
矩形的面积为，，
，
对角线，交于点，
的面积为，
，，
，即，
，
，
，
故答案为：．
依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．
本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
整数部分，小数部分，

．
故本题答案为：．
将分母有理化，确定整数部分的值，再用这个数减，得的值，代入所求代数式计算．
本题考查了二次根式的化简，估算，代值计算问题．关键是求出已知二次根式的整数部分和小数部分．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
可得出和的值，从而得出的值，进而得出结果．
本题考查了勾股定理，完全平方公式等知识，解决问题的关键变形出的值．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象求解，当图象在上方时大于，在下方时小于．
当时，直线的图象在直线的上方，从而可得到不等式的解集．
【解答】
解：从图象可看出当，直线的图象在直线的上方，即满足不等式．
故答案为：．  

18.【答案】解：，
解得：；
解得：；
故不等式组的解集为：，
则它的所有整数解为：，，；

原式

． 

【解析】分别解不等式，进而得出不等式的解集，即可得出答案；
直接利用乘法公式、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

19.【答案】证明：垂直平分，
，，，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】由线段垂直平分线的性质得，，再证≌，得，则，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入得，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
把点代入得，
，
解得：，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：；
过点作，垂足为，

点的坐标为，
，
，，
，，
，
，
四边形的面积的面积的面积



，
四边形的面积为． 

【解析】先把代入中，求出直线的解析式，再求出点坐标，从而可求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解答；
过点作，垂足为，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
元，
答：绿化这片空地共需花费元． 

【解析】直接利用勾股定理得出，进而利用勾股定理逆定理得出，再利用直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，，分别是边，的中点，
，
等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，
当时，，，
，，
故答案为：，；
证明：如图，连接，

，
，
在和中

≌，
．
利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出的长和的长；
由“”可证≌，可得结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】解：设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进型电动汽车辆，型电动汽车辆；

设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，
购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，
，
即，
根据题意，得：，
．
，
时，利润最大，最大值为：万元，
购进辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是万元． 

【解析】设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆，由题意：该店购进辆两种型号的电动汽车所花费成本为万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，由题意：购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值，然后再求出利润的解析式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用；解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组；找出数量关系，列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：，点是的中点，
，，，
的面积为，
，
，
，
；
当点在线段上时，如图，

若四边形是菱形，
，
在中，，
，
，点的坐标为；
若四边形是菱形，
同理可得点，，
，点；
当点在射线上时，如图，

四边形是菱形，
，
在中，，
，
，点的坐标为． 

【解析】由三角形的面积公式可求解；
分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：的有理化因式是，
故答案为：；



；





．
根据有理化因式的定义进行求解即可；
利用有理化因式的定义去分母，再进行加减运算即可；
利用有理化因式的定义进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，平方差公式，解答的关键是理解清楚题意，找到存在的规律．