第11讲 圆的方程-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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第11讲 圆的方程
【知识点梳理】
知识点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
知识点诠释：
(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：
(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
知识点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.
知识点诠释：
由方程得
(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.
知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.
(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
知识点五：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
【题型归纳目录】
题型一：圆的标准方程
题型二：圆的一般方程
题型三：点与圆的位置关系
题型四：二元二次曲线与圆的关系
题型五：圆过定点问题
题型六：轨迹问题

【典型例题】
题型一：圆的标准方程
1．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）与圆C：关于直线对称的圆的方程为（          ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可.
【详解】
圆C：的圆心，半径．
设点关于直线的对称点为，
则，
所以圆C关于直线的对称圆的方程为，
故选:C．
2．（2022·江苏·高二）圆：关于直线对称的圆的方程为（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两圆心的中点在直线上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得.
【详解】
解：表示以为圆心，以1为半径的圆．
设关于直线对称的点为，则有，解得：，，
所以：关于直线对称的圆的方程为．
故选：A．
3．（2022·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得外接圆的方程即可进行选择.
【详解】
设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
4．（2022·江苏·高二）若直线是圆的一条对称轴，则（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
5．（2022·全国·模拟预测）已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求得圆和原点为圆心的圆的圆心坐标，求得直线的斜率为，即的中点坐标为，结合题意，求得直线的方程，代入中点坐标，即可求解.
【详解】
由题意，圆，可得圆心坐标为，
以原点为圆心的圆的圆心坐标为，
可得直线的斜率为，且的中点坐标为，
因为圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，
所以，即，
将点代入直线，可得.
故选：A.
6．（2022·全国·高二课时练习）方程表示的曲线是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
整理得，再根据圆的方程即可得答案.
【详解】
解：对两边平方整理得，
所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足.
故选：A
（多选题）7．（2022·江苏·高二）圆，则（       ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误.
【详解】
对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确；
对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确；
对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确；
对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误.
故选：ABC.
8．（2022·江苏·高二）的圆心坐标为______，半径长为______．
【答案】         
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程直接求解即可.
【详解】
解：因为圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径为.
故答案为：；.
9．（2022·江苏·高二）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】
解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
10．（2022·全国·高二课时练习）圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件确定圆心和半径，再求圆的方程.
【详解】
设圆的圆心，半径为，
由条件可知，所以圆的方程是.
故答案为：
11．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求得线段PQ的中点坐标和长度即可.
【详解】
解：因为，
所以线段PQ的中点为（0,0），，
所以以为直径的圆的方程为，
故答案为：
12．（2022·天津·二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得过点与直线垂直的直线方程，以及线段的垂直平分线的方程，联立方程组求得圆心坐标为，再求得，得到圆的半径，即可求解圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为，
因为圆与直线相切于点，
可得过点与直线垂直的直线方程为，
又由，可得线段的垂直平分线的方程，
联立方程组，解得，即圆心坐标为，
又由，即圆的半径为，
所以圆的方程为.
故答案为：.
13．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C过三点，，，则圆C的方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得圆心在直线上，设圆心坐标，则有，解可得的值，即可得圆心坐标，求出圆的半径，由圆的标准方程可得答案．
【详解】
根据题意，因为圆过点，，故圆心在直线上，
设圆心坐标，圆过点，，
则，变形有，
解得，即圆心为，
故其半径,
故圆方程为：,
故答案为：
14．（2022·江苏·高二）求下列圆的方程
(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由对称性确定圆心为，由此可得圆的标准方程；
（2）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程.
(1)
点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为.
(2)
两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，的垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为.
15．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.
(1)
设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
(2)
设圆的标准方程为，由题意得，；
又因为点在圆上，所以．
所以所求圆的标准方程为．
(3)
设圆心为．
因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，
解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的方程为．
(4)
设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．
又该圆经过A、B两点，所以．
所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．

题型二：圆的一般方程
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知圆方程的圆心为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；
【详解】
解：因为，即，
所以圆心坐标为；
故选：C
2．（2022·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】
先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.
故选：D.
3．（2022·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.
【详解】
，，，
为锐角三角形，
的外接圆就是它的最小覆盖圆，
设外接圆方程为，
则   解得
的最小覆盖圆方程为，即，
的最小覆盖圆的半径为.
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设出圆的一般式，根据求出，然后将点带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为，
由题意得，解得，
所以，
又因为点在圆上，所以，即.
故选：C.
5．（2022·山东淄博·模拟预测）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知，则可求得斜率，进而求得直线方程.
【详解】
由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是.
故选：B.
6．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，直线过圆心，进而有，又，从而利用均值不等式即可求解的最大值.
【详解】
解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，
所以直线过圆心，
所以，又，
所以即当取最大值为，
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝（　　）
A．－1 B．±1 C．－2 D．±2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心到y轴的距离建立方程求解.
【详解】
因为圆心坐标为，
所以，解得.
故选：D
8．（2022·江苏·高二）圆过点，，则周长最小的圆的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断为直径时，圆周长最小，进而求出圆心半径，写出圆的方程即可.
【详解】
显然当为直径时，圆周长最小，此时圆心为，即，半径为，
故圆的方程为，即.
故答案为：.
9．（2022·江苏·高二）求圆关于点对称的圆的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出圆的圆心和半径，再求出关于点对称的点，即可写出对称圆的方程.
【详解】
圆化为标准方程为：.所以，半径.
故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.
由中点坐标公式求得: ,
所以对称圆的方程为：.
故答案为：
10．（2022·江苏·高二）若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得参数D，再去求C的半径即可解决.
【详解】
圆的圆心为
则有，则，则C的半径为
故答案为：
11．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知圆经过点，，.
(1)求圆的方程；
(2)求直线截圆所得两段弧长之比.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）设圆的一般方程，把三个点代入即可解出答案.
（2）圆心在直线上，即可得出答案.
(1)
设圆的一般方程为，把三个点代入得
，得
所以圆的方程为   
即.
(2)
由于圆心在直线上，故直线截圆所得两段弧长之比为.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是､，求它的外接圆的方程.
【答案】或.
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的几何特点，求得顶点坐标，设出所求圆的一般方程，待定系数即可求得结果.
【详解】
由题意得，等腰三角形顶点的坐标为或.
当顶点坐标为时，设三角形外接圆的方程为，
则解得
所以圆的方程为.
当顶点坐标是时，同理可得圆的方程为.
综上，它的外接圆的方程为或.
13．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：
(1)经过点和，圆心在x轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点；
(3)经过，两点，且圆心在直线上；
(4)经过，，三点．
【答案】(1)，图形见解析；
(2)，图形见解析；
(3)，图形见解析；
(4)，图形见解析.
【解析】
【分析】
根据题意，利用待定系数法、直接法分别求出圆的方程，结合圆的标准方程确定圆心坐标和半径，进而即可画出对应的图形.
(1)
圆心在x轴上，设圆的方程为：，
将点代入圆的方程，
得，解得，
所以圆的方程为：，其图形如下：

(2)
圆心为点，设圆的方程为：，
由，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
因为圆过交点，所以，解得，
所以圆的方程为：，其图形如下：

(3)
设圆的方程为：，
圆心坐标为，在直线上，所以①，
又圆过点，
所以②，③，
联立①②③，得，
所以圆的方程为：，其图形如下：

(4)
设圆的方程为：，
因为圆经过点，
则，解得，
所以圆的方程为：，
即，其图形如下：

14．（2022·全国·高三专题练习）一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
【答案】x2＋y2－2x－12＝0．
【解析】
【分析】
利用待定系数法设出圆的一般方程，将两个点的坐标代入建立两个关系式，再根据在两坐标轴上的四个截距和为2建立一个关系式，只需解三元一次方程组即可解出圆的方程．
【详解】
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D．
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E．
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0．①
又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0．②
1＋9－D＋3E＋F＝0．③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．

题型三：点与圆的位置关系
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可
【详解】
由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
2．（2022·江苏·高二）点在圆上，则实数的值是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
将点的坐标代入圆的方程求即可.
【详解】
因为点在圆上，
所以，故或，
故答案为：或，
3．（2022·全国·高二课时练习）若直线与的交点在圆上，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先联立方程求出两直线的交点坐标，再代入圆的方程进行求解.
【详解】
联立，得，
即直线与的交点为，
因为两直线的交点在圆上，
所以，解得.
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）若方程的曲线经过点，则m的值为______．
【答案】或##1或-3
【解析】
【分析】
根据点在曲线上即可求解.
【详解】
因为方程的曲线经过点，
所以，即，解得或，
所以m的值为或.
故答案为：或.
5．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)在圆上，理由见解析；
(2)在圆外，理由见解析；
(3)在圆内，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系的判断方法即可求解.
(1)
解：因为圆的标准方程为，又，
所以点在圆上；
(2)
解：因为圆的标准方程为，又，
所以点在圆外；
(3)
解：因为圆的标准方程为，又，
所以点在圆内.
6．（2022·全国·高二课时练习）判断点与圆的位置关系．
【答案】A在圆内，B在圆上，C在圆外.
【解析】
【分析】
由题设可得圆的标准方程为，将点坐标代入方程左侧，比较与9的大小关系，即可知点与圆的位置关系.
【详解】
由题设，圆的标准方程为，
将代入圆中，，故A在圆内；
将代入圆中，，故B在圆上；
将代入圆中，，故C在圆外；
7．（2022·全国·高二课时练习）已知，点Q是圆上任意一点，求的最大值．
【答案】6
【解析】
【分析】
由点与圆的圆心之间的距离加半径求解.
【详解】
因为 ，
所以点在圆外，
又点与圆的圆心之间的距离为：
，
所以点与圆上任意一点Q之间的距离的最大值为．
8．（2022·江苏·高二课时练习）设a为实数，若点在圆的内部，求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
由点与圆的位置关系建立不等关系，解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为点在圆的内部，
所以，解得，
所以a的取值范围为.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标原点不在圆的内部，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系可得，即可得范围.
【详解】
由题设，若点不在圆的内部，即，
所以，原点不在圆的内部，则，可得.

题型四：二元二次曲线与圆的关系
1．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】
或.
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可
【详解】
由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
3．（2022·江苏·高二）方程表示圆，则的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
由方程表示圆得到不等式，直接求解即可.
【详解】
由题意知：，即，解得或.
故答案为：或.
4．（2022·江苏·高二）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得，再解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为方程表示一个圆
所以，，即，解得或.
所以，实数的取值范围是
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示圆，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
整理可得，根据其表示圆，可得，即可得答案
【详解】
由，整理可得，
因为其表示圆，所以，解得.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）方程表示圆，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
配凑原方程，根据其表示圆，列出关于的不等关系式，即可求得参数范围.
【详解】
方程，即，
若其表示圆，则，解得，即的取值范围为：.
故答案为：.
7．（2022·广东东莞·高二期末）曲线围成的图形的面积为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】
将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.

当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析；
(5)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据二次项系数不相等可判断方程不表示圆；
（2）配方后可观察是否为圆，若是根据标准方程求圆心与半径；
（3）根据方程形式可以直接判断;
（4）配方后可判断方程表示圆，并得到圆心半径；
（5）配方后方程右边为负数可判断方程不表示圆.
(1)
因为的二次项的系数不相等，
所以方程不表示圆.
(2)
由可化为，
所以方程表示圆心为，半径为的圆.
(3)
因为不是二元二次方程，
所以方程不表示圆.
(4)
由可化为，
所以方程表示圆心为，半径为的圆.
(5)
由可化为，
所以方程不表示圆.
9．（2022·江苏·高二课时练习）画出方程表示的曲线．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，，两边平方后得到圆的方程，故得到方程表示的曲线为以为圆心，半径为1的圆的右半部分.
【详解】
由题意得：，，方程两边平方得：，
如图所示：实线为所求

方程表示的曲线为以为圆心，半径为1的圆的右半部分.

题型五：圆过定点问题
1．（2022·河北沧州·高二期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.
【详解】
设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，
由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，
由得：，以为直径的圆恒过定点.
故选：D.
2．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（          ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】
【分析】
设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】
设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
3．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（       ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【答案】A
【解析】
【分析】
把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】
将代入圆方程，得，解得或0，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意.
故选：C．
4．（2021·全国·高二课时练习）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案.
【详解】
方程可化为.
曲线恒过定点，，解得或.
点在第三象限，，代入直线的方程，
可得.
故选：.
【点睛】
本题主要考查曲线过定点，属于中档题.
5．（2019·浙江·高二学业考试）已知圆和两坐标轴的公共点分别为，则的面积为
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以令解出以及令解出，然后求出圆在轴上截得的弦长以及与轴的公共点，最后求出的面积．
【详解】
令，得，解得，
令，得，解得
所以圆在轴上截得的弦长为，与轴的公共点为，
所以的面积为，故选D．
6．（2022·上海·高三专题练习）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______（其坐标与无关）
【答案】和
【解析】
【分析】
设出的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有），分析此方程可得圆所过定点．
【详解】
二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则
，
①－②得，，∴，从而，
代入③得，
∴圆方程为，
整理得，
由得或．
∴圆过定点和．
【点睛】
本题考查圆的一般方程，考查韦达定理，圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点．
7．（2021·全国·高二课时练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【答案】、
【解析】
【分析】
将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
【详解】
由由得，故，解得或.
故填：、.
【点睛】
本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.
8．（2021·全国·高二课时练习）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.
【答案】
【解析】
【分析】
将已知圆的方程整理得到，联立，即可求出结果.
【详解】
由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.
由，解得
即定点坐标为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查圆恒过定点的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线：．
（1）当取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．
（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；
（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；
（3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果．
【详解】
解：（1）当时，方程为表示一条直线．
当时，，
整理得，
由于，
所以时方程表示圆．
（2）证明：方程变形为．
由于取任何值，上式都成立，则有．
解得或
所以曲线必过定点，，
即无论为何值，曲线必过两定点.
（3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大），
从而以为直径的圆的方程为，
所以，解得．

题型六：轨迹问题
1．（沪教版（2020）选修第一册新课改一课一练第2章圆与圆的位置关系）古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（       ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
直接设点P，根据可以求得点P的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得或．
【详解】
设点P
∵即
整理得：
∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，
∵圆的为圆心，半径的圆
由题意可得：或
∴或
故选：C．
2．（沪教版（2020）选修第一册新课改一课一练期中测试A）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设出点A、P坐标，根据中点坐标公式得到其关系，借助A点在已知曲线上代入可得.
【详解】
设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为.
故答案为：
3．（沪教版（2020）选修第一册新课改一课一练第2章圆的一般方程）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
用向量数量积的坐标运算表示已知等式化简即得轨迹方程，由方程可判断轨迹．
【详解】
，
，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：
故答案为：
4．（沪教版（2020）选修第一册新课改一课一练第2章圆的标准方程）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程．
【详解】
设，即，整理得：即．
故答案为：．
5．（上海市控江中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题）已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由得点轨迹为；由可知当三点共线且在线段上时取得最小值，联立圆的方程和直线方程即可求得结果.
【详解】
设，则，整理可得：；

，
当三点共线且在线段上时，取得最小值，
又直线方程为：，即，
由得：或，
又在线段上，.
故答案为：.
6．（陕西省宝鸡市陈仓区虢镇中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题）已知圆过三个点.
(1)求圆的方程；
(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设圆的方程为，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；
（2）根据题意得到，得出在以为直径的圆上，得到以为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点的轨迹方程.
(1)
解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即.
(2)
解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为.
7．（四川省资阳市雁江区伍隍中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（理）试题）如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和，高为3．

(1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；
(2)若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等腰梯形的对称性，可确定圆心在y轴上，利用圆心到B，C点的距离相等可确定圆心和半径，即可得圆E的方程；
（2）因为P是MN的中点，将点P设出，然后利用点M的在圆E上的特点，求点P的轨迹方程.
(1)
设，
由已知可得：，
由得：
，
∴圆的圆心为，半径为，
∴圆的方程为：．
(2)
设，
∵为线段的中点，∴，
代入点所在圆的方程得：
，
∴点的轨迹方程为．
8．（沪教版（2020）选修第一册领航者第2章2.5曲线与方程第1课时求轨迹的方程）等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？
【答案】（点和除外）；
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．
【解析】
【分析】
设点C的坐标为，根据列出方程并化简可得答案.
【详解】
设另一端点C的坐标为，依题意，得，
由两点间距离公式，得,
化简，得，
因为A、B、C三点不共线，而的方程为，
联立或，
故点C的轨迹方程为（点和除外）,
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．
9．（沪教版（2020）选修第一册领航者第2章2.5曲线与方程第1课时求轨迹的方程）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
构建平面直角坐标系，设、，确定坐标，写出直线方程，将直线整理消去参数t，即可得P的轨迹方程，注意x、y的范围．
【详解】
分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，

设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
10．（沪教版（2020）选修第一册新课改一课一练第2章直线与圆的位置关系）已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【答案】条件选择见解析，答案见解析.
【解析】
【分析】
选①，设出点M坐标，利用圆的性质结合平面向量数量积求解作答；选②，设出点M坐标，利用圆的性质结合直线的点斜式求解作答.
【详解】
选择条件①，设点，令定点为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，
由点M在圆C内，得且，
所以AB中点M的轨迹方程是：(且).
选择条件②，设点，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，
则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，
由解得或，而点M在圆C内，则有，
所以AB中点M的轨迹方程是：.