第08讲 直线的倾斜角与斜率-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第08讲 直线的倾斜角与斜率

【知识点梳理】

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.

规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．

知识点诠释：

1.要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②轴正向；

③小于的角.

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.

4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.

知识点二：直线的斜率

1．定义：

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

知识点诠释：

(1)当直线与x轴平行或重合时，，；

(2)直线与x轴垂直时，，k不存在.

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

2．直线的倾斜角与斜率之间的关系

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．

知识点三：斜率公式

已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.

知识点诠释：

1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；

(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

(1)由、点的坐标求的值；

(2)已知及中的三个量可求第四个量；

(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；

(4)证明三点共线.

知识点四：两直线平行的条件

设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即 .

因此，若，则.

反之，若，则.

知识点诠释：

1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；

2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.

知识点五：两直线垂直的条件

设两条直线的斜率分别为.若，则.

知识点诠释：

1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

【题型归纳目录】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

题型五：直线平行

题型六：直线垂直

题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用

【典型例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

1．（2022·全国·高二单元测试）下列命题中正确的是（       ）．

A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为

B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

C．平行于x轴的直线的倾斜角为

D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为

2．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是(       )

A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大

B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角

C．和轴平行的直线，它的倾斜角为

D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率

3．（2022·天津南开·高二期末）直线的倾斜角为（       ）．

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高二课时练习）下列命题中，错误的是______．（填序号）

①若直线的倾斜角为，则；

②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；

③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．

5．（2022·全国·高二课时练习）当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为______．

6．（2022·全国·高二期中）若过两点、的直线的倾斜角为60°，则y＝______．

7．（2022·全国·高二课时练习）常值函数所表示直线的斜率为______．

8．（2022·全国·高二课时练习）若函数所表示直线的倾斜角为，则的值为______．

9．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为_________．

10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.

11．（2022·全国·高二课时练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

1．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（       ）．

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高二课时练习）若直线l经过第二､三､四象限，其倾斜角为，斜率为k，则（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高二期末）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（       ）

A． B．

C． D．

（多选题）4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.

6．（2022·全国·高二课时练习）当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为______．

7．（2022·全国·高二课时练习）直线l的斜率为，将直线l绕其与轴交点逆时针旋转所得直线的斜率是______．

8．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角的正弦值为，则它的斜率为___________.

9．（2022·江苏南通·高二期末）经过点，的直线的倾斜角为___________.

10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.

11．（2022·全国·高二课时练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．

12．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；

（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.

13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过两点､，求直线l的倾斜角的取值范围.

14．（2022·全国·高二课时练习）已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，且，探索其倾斜角，，的大小关系．

15．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l的斜率的取值范围为[－1， 1]，求其倾斜角的取值范围．

16．（2022·江苏·高二课时练习）过点A(2，1)，B(m， 3)的直线的倾斜角α的范围是，求实数m的取值范围．

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

1．（2022·浙江·高二阶段练习）经过，两点的直线的倾斜角为（       ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）过点，的直线的斜率等于2，则的值为（       ）

A．0 B．1 C．3 D．4

（多选题）3．（2022·全国·高二课时练习）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．

该研究小组得到以下结论，正确的是（       ）

A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高

B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高

C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高

D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低

4．（2022·上海市控江中学高二期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.

5．（2022·全国·高二课时练习）直线经过点，，则直线的斜率为______．

6．（2022·全国·高二课时练习）若､､三点共线，则实数m的值为___________.

7．（2022·全国·高二课时练习）斜率为3的直线l过点，，则______．

8．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则___________.

9．（2022·全国·高二课时练习）若三点、、共线，则实数n的值为______．

10．（2022·全国·高二课时练习）已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为___________.

11．（2022·全国·高二课时练习）（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；

（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.

12．（2022·湖南·高二课时练习）在函数的图象上取两点、，求直线的斜率.

13．（2022·全国·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线的斜率，并写出各条直线的斜率.

14．（2022·全国·高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标．

15．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，且直线PQ的斜率为1，求实数m的值．

16．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，求实数x和y的值．

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

1．（2022·全国·高二课时练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ）

A．或 B．或

C． D．

2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）

A．或 B．

C． D．

3．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高二课时练习）经过点作直线l，若直线l与连接，的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高二课时练习）已知，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

（多选题）6．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（       ）

A． B．1 C．2 D．4

7．（2022·全国·高二课时练习）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．

8．（2022·全国·高二课时练习）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.

9．（2022·全国·高二单元测试）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．

10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．

11．（2022·全国·高二课时练习）若过原点的直线与连接，两点的线段相交，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．

12．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点，，.

（1）求直线，，的斜率和倾斜角；

（2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.

题型五：直线平行

1．（2022·全国·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（       ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分又非必要

2．（2022·江苏·高二）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.

3．（2022·全国·高二课时练习）已知过点、的直线与过点、的直线平行，则m的值为______．

4．（2022·全国·高二课时练习）判断三点是否共线，并说明理由．

5．（2022·江苏·高二课时练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：

(1)，，，；

(2)，，，；

(3)，，，；

(4)，，，．

题型六：直线垂直

1．（2022·江苏·高二课时练习）以点，，为顶点的三角形是（       ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（       ）

A．平行 B．重合

C．相交但不垂直 D．垂直

3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率，直线的斜率，则与(      )

A．平行          B．垂直          C．重合          D．非以上情况

4．（2022·江苏·高二）已知三点，则△ABC为__________ 三角形.

5．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别是，则是______．（填的形状）

6．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．

7．（2022·江苏·高二）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=_____．

8．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是______.

9．（2022·江苏·高二课时练习）证明：如果两条直线斜率的乘积等于，那么它们互相垂直．

10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线AB的方程为：，点，在直线AB上求一点D，使得．

11．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点分别为、、，若为直角三角形，求实数m的值．

12．（2022·全国·高二课时练习）当m为何值时，过两点、的直线与过两点、的直线垂直．

题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用

1．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高二课时练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（       ）

A．平行四边形 B．直角梯形

C．等腰梯形 D．以上都不对

3．（2022·福建·浦城县教师进修学校高二期中）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题

4．（2022·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.

5．（2022·全国·高二课时练习）已知，，.

（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；

（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.

6．（2022·全国·高二课时练习）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2022·宁夏·银川二中高一期中）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.

8．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.

9．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．

10．（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.