2021-2022学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果实数，满足，那么(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 口袋中装有编号为、的个红球和编号为、、、、的个黑球，小球除颜色、编号外形状、大小完全相同．现从中取出个小球，记事件为“取到的小球的编号为”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是(    )

A. 与互斥 B. 与对立 C.  D.

7. 已知向量，是非零向量，，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知复数，则下列说法正确的是(    )

A. 复数
B. 复数为纯虚数
C. 复数在复平面内对应的点在第一象限
D. 复数的模为

10. 关于平面向量，，，下列说法中错误的是(    )

A. 若，为非零向量且，则，的夹角为钝角
B. 若为非零向量，则表示为与同方向的单位向量
C. 若，则
D. 若，，则

11. 已知实数，满足，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为

12. 如图，在平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，连接，翻折过程中，下列说法正确的是(    )

A. 存在某个位置，使得与所成角为锐角
B. 棱上总恰有一点，使得平面
C. 当三棱锥的体积最大时，
D. 一定是二面角的平面角

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中抽取人进行问卷调查，则高三抽取的人数是______．
14. 已知，则的值为______．
15. 已知在中，，则外接圆的半径是______．
16. 已知三棱锥，，，平面，且，则此三棱锥的外接球的体积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 某高校的入学面试中有道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是，若每位面试者都有三次机会，每次抽一道且不重复，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止．用表示答对题目，用表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．
    用树状图的方法列出所有可能的面试情况；
    求李明最终通过面试的概率．
18. 已知是平面直角坐标系的原点，，，记，．
    求在上的投影数量；
    若四边形为平行四边形，求点的坐标．
19. 某校高一年级名学生某次数学考试成绩的频率分布直方图如图所示．每组为左闭右开的区间
    求频率分布直方图中的值；
    根据频率分布直方图计算名学生数学考试成绩的平均数；
    若该校高一有名学生，估计成绩落在中的学生人数．

20. 如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点．
    求证：平面；
    求证：平面平面．

21. 已知向量，，函数．
    求函数在上的值域；
    若的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积．
22. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
    求，的值；
    判断在上的单调性，并用定义证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
直接利用交集运算的概念得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的虚部是．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，则，
故选：．
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，给，，赋予特殊值，即，，
选项A、、都不正确
故选：．
根据，给，，赋予特殊值，即，，，代入即可判定选项真假．
本题主要考查了不等关系与不等式，以及赋值法运用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数大小的求法，注意对数函数和指数函数性质的合理运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：事件为“取到的小球的编号为”，事件为“取到的小球是黑球”，
又“取到编号为的黑球”，故A与不互斥，也不对立，故A、错，
又，故C错，
又“取到的球编号为或者为黑球”则，故D正确，
故选：．
利用互斥事件，对立事件定义可求．
本题考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：“”“”，
，，
两边平方得：，
，，
或，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由“”，得到“”，根据，得到，两边平方化简即可得或，由此能求出结果．
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，矩形，，，
则，
如图：原图矩形中，，，
，
则四边形的周长；
故选：．
根据题意，作出原图矩形，分析原图中、的值，进而计算可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对于，，故A正确，
对于，，故B正确，
对于，复数在复平面内对应的点在第一象限，故C正确，
对于，，故D错误．
故选：．
对于，结合共轭复数的定义，即可求解，
对于，结合纯虚数的定义，即可求解，
对于，结合复数的几何意义，即可求解，
对于，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数和纯虚数的定义，复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对，当，的夹角为时也满足，为非零向量且，故A错误；
对，若为非零向量，则表示为与同方向的单位向量，故B正确；
对，根据数量积的求解，则，不能得出，故C错误；
对，当为零向量时，不一定成立，故D错误；
故选：．
对，举反例判断即可；
对，根据单位向量的定义判断即可；
对，根据平面向量的数量积运算判断即可；
对，举反例判断即可．
本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，，，A正确，
，当且仅当，时取等号，
的最小值为，B错误，
，，当且仅当，时取等号，的最小值为，C错误，D正确，
故选：．
利用对数的运算法则求出，进而得到，再利用基本不等式求最值判断即可．
本题考查对数的运算法则，基本不等式求最值，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对，取中点，连接，，如图，因是正三角形，有，
而是的中点，有，
而，则，，，平面，
于是得平面，平面，所以，不正确；
对，取的中点，连，因是的中点，则，
平面，平面，所以平面，B正确；
对，因，要三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面距离最大，
由选项A知，点到直线的距离是二面角的平面角，
当时，平面，
即当到平面距离最大为时，三棱锥的体积最大，此时，有，
而，，，平面，则有平面，平面，
所以，C正确；
对，若是二面角的平面角，则，因为为中点，故CA，
这不一定成立，故D错误．
故选：．
对，证明即可；
对，取的中点，由推理；
对，三棱锥的体积最大时确定点位置；
对，假设是二面角的平面角，再根据二面角的性质推出矛盾即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得高三占总人数比例为，所以共抽取人中高三有人．
故答案为：．
通过高一人、高二人、高三人可求得高三人数占的比例，再结合共抽取人进行问卷调查，可求得高三抽取的人数．
本题考查分层抽样应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：中，，整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，，
所以可得，
设三角形的外接圆的半径为，
则，所以，
故答案为：．
由题意整理，再由余弦定理可得角的余弦值，在三角形中可得角的值，再由正弦定理可得三角形的外接圆的值．
本题考查三角形的正余弦定理的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为，

在中，，，
由正弦定理得，所以，即，
又面，，
球心到的外接圆圆心的距离，
球的半径，
三棱锥外接球的体积．
故答案为：．
设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，在中，由正弦定理可得，再由勾股定理可得，代入球的体积公式即可得答案．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：用树状图的方法列出所有可能的面试情况如下，

则可能的面试情况为，，，．
李明未通过面试的概率为，
李明最终通过面试的概率为． 

【解析】由题意列出树状图，即得到可能的面试情况．
先利用相互独立事件概率乘法公式求出李明未通过面试的概率，即可求解．
本题考查树状图的列法，相互独立事件概率乘法公式的运用，属于基础题．
 

18.【答案】解：是平面直角坐标系的原点，，，记，，
，，
，，，
，，
在上的投影为：，；
四边形为平行四边形，设，
，
，
，可得且，
故C． 

【解析】直接求解即可，
根据，进而求解结论．
本题主要考查向量的投影数量以及点的坐标的求解，属于基础题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图中小矩形的面积之和为知，
，
解得；
由题意知，名学生数学考试成绩的平均数为，
；
样本中成绩落在中的频率为；
故估计成绩落在中的学生人数为人． 

【解析】由频率分布直方图中小矩形的面积之和为列方程求解；
利用频率分布直方图中平均数公式求解即可；
先求样本中成绩落在中的频率，再求总体中的人数即可．
本题考查了频率分布直方图的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解证明：取的中点，连、．
为的中点，
且．
平面，平面，
，．
又，．
四边形为平行四边形，则．
平面，平面，
平面．
为等边三角形，为的中点，
．
平面，平面，
．
又，故AF平面．
，
平面．
平面，
平面平面． 

【解析】取的中点，连结、由已知条件推导出四边形为平行四边形，由此能证明平面．
由等边三角形性质得，由线面垂直得，从而平面，由平行线性质得平面，由此能证明平面平面
本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

21.【答案】解：依题意，，
由得，．
所以在上的值域为．
由得，，，则有，解得．
在中，由余弦定理得，．
所以
所以面积为． 

【解析】利用数量积的坐标表示求出函数并化简，再根据三角函数的性质求值域作答．
由求出，借助余弦定理求出，即可求解．
本题主要考查向量的数量积公式和三角恒等变换，属于基础题．
 

22.【答案】解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，则，
又由，则，则，
故，；
在上为增函数，
证明：设，则，
又由，则，，
则，
函数在上为增函数． 

【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，可得，又由可得，解可得的值，即可得答案；
根据题意，利用作差法分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，属于基础题．