2022年新高考数学二轮提升数列专题第11讲《数列求和倒序相加法》（2份打包，解析版+原卷版）

第11讲 数列求和:倒序相加法

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．（2021秋•福建月考）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则　　

A． B．2021 C．4034 D．8068

【解答】解：用倒序相加法：

令①

则也有②

由，

，即有，

可得：，

于是由①②两式相加得，

所以．

故选：．

2．（2021•奉贤区二模）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则　　

A．2021 B．4036 C．2019 D．4038

【解答】解：正数数列是公比不等于1的等比数列，且，

可得，即，

即有，

，可得，

即有，

设，

又，

相加可得

，

解得．

故选：．

3．（2021•成都二模）已知函数，正项等比数列满足，则等于　　

A．99 B．101 C． D．

【解答】解：由可知，

因为正项等比数列满足，根据等比数列的性质得到：，

所以，且

根据得

故选：．

4．（2021春•江西月考）已知函数，若，，．则的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由函数的解析式可得：，

令，

则，

，得，

则，，令，则，

是圆心为，半径为 的圆上的点，直线 与圆有公共点，

则圆心到直线 的距离，由，得，

得，即，故，

，故 的最大值为，

故选：．

5．（2021春•武汉期中）已知函数，则　　

A．2021 B．2019 C．4036 D．4038

【解答】解：根据题意，函数，则，

则，

．

故选：．

6．（2021秋•广陵区校级期中）已知是上的奇函数，，，则数列的通项公式为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知：，即：，

函数关于点 对称，

令，则，

得到，

，

，

以上两式相加可得，

即，

故选：．

二．填空题（共1小题）

7．（2021秋•桃城区校级月考）已知函数，数列为等比数列，，且，则　　．

【解答】解：，

，

数列是等比数列，

，

设①，

②，

①②得，

，

故选：．

三．解答题（共6小题）

8．（2021秋•北碚区校级月考）已知函数对任意都有．

（1）求的值；

（2）若数列满足，求数列的通项公式；

（3）设，，求数列的前项和．

【解答】解：（1）在中，

令得

（2）

根据，

（1），，

（3）

9．（2021秋•沙坪坝区校级月考）函数对任意都有成立．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）数列满足条件；，试证：数列是等差数列．

【解答】解：（Ⅰ）对任意都有成立

，令，则有，即

（Ⅱ）

两式相加可得，．

所以数列 是等差数列．

10．（2016春•汇川区校级月考）已知函数对任意都有．

（1）求和的值；

（2）数列满足，，求证：是等差数列．

（3）在（2）的情况下，令，，若，对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）对任意都有．

当时，．

则，

令，则，即，

（2）证明：对任意都有．

则令，则，

，

（1），

则两式相加得（1）（1），

则，

则，为常数，

是等差数列．

（3），则易知，

则

所以单调递增．

所以（2），

故

所以，

于是，恒成立

于是．

11．（2021•江门模拟）已知，当、且时，总有．

（1）求的值；

（2）设数列满足，求的通项公式；

（3）对，恒成立，求的取值范围（其中且．

【解答】解：（1）依题意，取，

得，

即，

所以．

当时，、，，

有，

所以．

（2），

两式相加，并由已知得，

所以．

（3）由，

得，

，，

等号当且仅当时成立，

所以的取值范围是．

12．函数，、，当时，．

（1）求的值；

（2）数列，已知（1），求．

【解答】解：（1）由，得，

．

，．

或．

，

而时，．

．

（2）（1），

（1）．

（1）（1）．

．

13．（2021秋•雁峰区校级月考）已知函数．

（Ⅰ）求证：存在定点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；

（Ⅱ）定义，其中且，求；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，求证：对于任意都有．

【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为．

设点的坐标为，则若点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上

必有，对于恒成立，

，．，

．

所以存在定点，，使得函数的图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

①

②

①②，得，

，

故．

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知

于是等价于．（10分）

令，则，

当，时，，即函数在，上单调递增，又．

于是，当时，恒有，即恒成立．（12分）

故当时，有成立，

取，则有成立．（14分）