2022年新高考数学二轮提升数列专题第16讲《数列不等式的范围与最值问题》（2份打包，解析版+原卷版）

第16讲 数列不等式的范围与最值问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．（2021秋•武昌区期末）已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，当时，．

当时，

，

，．

则．

设数列的前项和，则

．

对任意的，不等式恒成立，

对任意的，不等式恒成立，

即对任意的，不等式恒成立．

构造数列：令，．

，．

数列是单调递增数列．

数列的最小值为．

．

故选：．

2．（2021•潮南区模拟）已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为　　

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：设公差为，

由，，得，解得，，

，

故，

令，

则，

是递减数列，

最大，为，

根据题意，，，，

的最小值为4．

故选：．

3．（2021•宣城二模）等比数列的首项为正数，，，若对满足的任意，都成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：由题意有可得，，．又，，

公比，，故满足的的最小值等于9．

，在，上是增函数，

故取最小值9时，有最小值为，由题意可得，即实数的取值范围是，，

故选：．

二．填空题（共4小题）

4．（2021秋•淮安期中）已知数列，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围　　．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

数列前3项单调递增，从第3项起单调递减，

当时，数列有最大值，

故．

故答案为：．

5．（2021秋•广东月考）已知数列的前项和，设数列满足：为非零常数，，存在整数，使得对任意，都有，则　　．

【解答】解：，

，解得．

时，，

化为：，

变形为：，

数列是等差数列，首项为1，公差为1．

，

．

为非零常数，，

，

，

存在整数，使得对任意，都有，

，

化为：，

时，．

时，．

．为非0整数．则．

故答案为：．

6．（2021•沈河区校级四模）数列满足：，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为　10　．

【解答】解：数列满足：，，

数列是以4为公差、以1为首项的等差数列，

易得：，令，

而，为减数列，

所以：，而为正整数，所以，

7．（2021•江西模拟）已知函数，点为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则使得恒成立的实数的取值范围为　　．

【解答】解：根据题意得，是直线的倾斜角，

；

；

要使恒成立，

则实 数的取值范围是．

故答案为：．

三．解答题（共16小题）

8．已知的前项和为

（1）求的通项公式；

（2）若，求的前项和；

（3）若对于任意的  ，不等式恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，即，

当时，，

故，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

则求的通项公式为；

（2）由（1）知，

，

所以

，

则的前项和为

；

（3）由（1）知，

所以，

从而不等式

等价于，

又，则上式整理

可得，

则△

，

解得．

9．（2021•温州模拟）已知等差数列满足，，数列的前项和，．

（1）求数列、的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若存在正数，使对一切恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）数列是等差数列，，，

由，得，．

又，，则；

，则，

当时，，

当时，，

验证时成立，

；

（2）由（1）得，，

，

，

两式作差可得：

，

．

对一切恒成立，

对一切恒成立，即对一切恒成立，

令，则，当且仅当时等号成立．

．

故实数的取值范围是．

10．（2021春•浙江期中）已知数列满足，，且．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；

（2）求数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）证明：，

，

又，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，

即，，，．

等式两边同时相加得，则，

又也适合上式，

；

（2）解：①，

②，

由①②得

，

又，

，

令，

由，

当时，；当时，，

，

．

11．（2021秋•沙河口区校级期中）已知数列满足，等比数列满足，．

（1）求数列、数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）在（2）的条件下，当时恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）数列满足，时，；时，．

时也满足，．

设等比数列的公比为，，．，，解得，．

（2）．

数列的前项和，

，

，

．

（3）在（2）的条件下，当时恒成立，等价于：恒成立．

时，，当且仅当时取等号．

，

的取值范围是．

12．（2021春•青秀区校级期末）已知数列的前项和，数列为等差数列，且满足，．

（1）分别求数列、的通项公式；

（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）数列的前项和，时，．

时，．时满足上式，．

设等差数列的公差为，，．，，解得，．

．

（2）．

．

，

，

可得：．

不等式，即不等式，化为：．

，当且仅当时取等号．

存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，

．

即的取值范围为．

13．（2021•宝山区一模）已知数列的前项和为，，为正整数）．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若对任意正整数，恒成立，求的取值范围？

（3）已知集合，，若以为首项，为公比的等比数列前项和记为，问是否存在实数使得对于任意的，均有．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意知，当时，两式相减变形得：

又时，，于是（1分）

故是以为首项，公比的等比数列（4分）

（2）由得（5分）

当是偶数时，是的增函数，于是，故（7分）

当是奇数时，是的减函数，因为，故．（9分）

综上所述，的取值范围是（10分）

（3）①当时，，，若，则．得

此不等式组的解集为空集．

即当时，不存在满足条件的实数．（13分）

②当时，．

而是关于的增函数．

且．（15分）

因此对任意的，要使，只需解得．（18分）

14．（2021秋•葫芦岛期末）已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），，

，即；

（2），，

，，（常数），

又，也成立，

是以1为首项，3为公比的等比数列，

．

（3），

对恒成立，

即对恒成立，

令，，

当时，，当时，，

，故，

即的取值范围为．

15．（2021春•东湖区校级月考）已知数列满足：，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列 的前项和；

（3）若集合中含有4个元素，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得，

当时，，

又也满足上式，故；（3分）

（2）由（1）可得，①

②

①②，得，

所以．（7分）

（3）由（2）可得，

所以，即．

令．

则（1），，，，，

因为．

所以，当时，，即．

因为集合含有4个元素，所以，即的解的个数为4，

因为（2）（3）（4）（1）（5），

（5）（1），

16．（2021•天津校级二模）已知数列，，前项和满足，

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和；

（Ⅲ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，且，

当时，

，

也适合，

当时，，且也适合，

．

（Ⅱ），设，

当为偶数时，，

，

当为奇数时，，且也适合．

综上得

（Ⅲ），使数列是单调递减数列，

则，对都成立，

则，

，

当或2时，，

．

17．（2021春•天津校级月考）设数列为数列的前项和，且，，2，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和，若存在整数，使得对任意且都有成立，求的最大值

（Ⅲ）设，证明：

【解答】（Ⅰ）解：，

，

两式相减得：，

，

两边同时除以，可得：，

又，

，，

，

；

（Ⅱ）解：，

，

，

令，

则

，

即，

数列为递增数列，

当时，的最小值为，

由题意知，

，

的最大整数值为18；

（Ⅲ）证明：，

，

设，

则，

即．

18．已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，，数列满足，为数列的前项和．

（1）求数列的通项公式和数列的前项和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），，，

，，

，

；

（2）恒成立，

恒成立，

①当为奇数时，有恒成立，解得：；

②当为偶数时，有恒成立，解得：；

综合①②知：，

的取值范围为．

19．（2021春•齐齐哈尔期中）已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）数列满足，．

，

数列为等差数列，公差为1，首项为．

，可得：．

（2），

．

，．

①当为偶数时，．

令．

则．

，

（2）．

②当为奇数时，．

由①可知：单调递减，又当时，．

．

综上可得：．

20．（2018春•定州市校级期中）已知数列满足，前项和满足

（1）求的通项公式；

（2）求的通项公式；

（3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围

【解答】解：（1），

，

，

满足上式，

（2）时，

当时，符合上式，

（3），

是递减数列，，即，

只需设数列的通项公式，

，

时，，即

当时，

所以的最大项为，

．

21．（2021秋•下城区校级期中）已知数列满足，且对一切，有，其中为数列的前项和．

（1）求证：对一切，有；

（2）求数列的通项公式；

（3）求证：．

【解答】（1）证明：，，

两式作差可得：，

，即，

又，得，则，

；

（2）解：当时，由及，

得，

，，

当时，，，可得；

当时，，得到，又，解得，

，满足，

则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，其通项公式为；

（3）证明：要证不等式成立，

即证，

设，，

，，即，

则成立．

22．（2021•广东二模）已知数列满足．

（1）若数列是等差数列，求的值；

（2）当时，求数列的前项和；

（3）若对任意，都有成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）若数列是等差数列，则，．

由，得，即，，解得，．

（2）由，得．

两式相减，得．

所以数列是首项为，公差为4的等差数列．

数列是首项为，公差为4的等差数列．

由，，得．

所以．

①当为奇数时，，．

．

②当为偶数时，．

所以．

（3）由（2）知，．

①当为奇数时，，．

由，得．

令．

当或时，，所以．

解得或．

②当为偶数时，，．

由，得．

令．

当时，，所以．

解得或．

综上所述，的取值范围是，，．

23．（2021•天津校级二模）设数列满足，且，数列满足，已知，，其中

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，

，

又，

，解得，

数列的公比，

当时，，

，①

，②

②①得，

，

．

（Ⅱ），

，

恒成立，

，

，

当为奇数时，，，

当为偶数时，，．

的最大值为，最小值为，

，解得．即所求实数的取值范围是，