2022年新高考数学二轮提升数列专题第22讲《数列中的插项问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第22讲 数列中的插项问题 一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）在和3之间插入n个数，使这个数组成和为的等差数列，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．72．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②③④其中，所有正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，在，之间插入n个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（    ）A．211 B．232 C．247 D．2564．（2021·全国·高二专题练习）在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（　　）A． B．C． D．5．（2021·全国·高二课时练习）等比数列的通项公式为，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列，那么162是新数列的   A．第5项 B．第12项 C．第13项 D．第6项 二、多选题6．（2021·吉林松原·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（    ）A． B．C． D．7．（2021·湖南·永州市第一中学高三月考）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ）A． B． C． D．8．（2021·全国·高三月考）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数：，，使，，，成等差数列；…；在和出之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，…，记数列的前项和为，则（    ）A． B．C． D．9．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（    ）A．1 B．3 C．5 D．7  三、填空题10．（2021·全国·高二课时练习）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；……；第n次“扩展”，得到数列1，，，…，，4，并记，其中，．则数列的通项公式______．11．（2021·云南·富宁县第一中学高二月考（理））已知数列的前项和为，且对于任意，总有.若在与之间插入个数，使个数组成等差数列，则当公差满足时的值为_______________.12．（2021·江西省南城一中高一月考（文））在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，则插入的这个正数的积为_____.13．（2021·全国·模拟预测（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.14．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列，，，，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新数列的通项公式为________．15．（2021·全国·高二课时练习）在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则______________．16．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插个数，，，，使，，，，，成等差数列.这样得到新数列；，，，，，，，，，，记数列的前项和为，有下列判断：①；②；③；④，其中正确的判断序号是______.17．（2021·全国·高二单元测试）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第次得到数列1，，，…，，4，并记，其中，.则的通项___________.18．（2021·湖南望城·高二期末）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为__________.19．（2021·江西省石城中学高一月考（理））已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，….记数列的前n项和为，有下列判断：①；②；③；④.其中正确的判断序号是______.20．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）数列其中在第个1与第个1之间插入个，若该数列的前2020项的和为7891，则________.21．（2021·上海市复兴高级中学高二月考）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第次“扩展”后得到的数列为.并记，其中，，则数列的通项公式________． 四、解答题22．（2021·江苏苏州·高二期中）在①，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知数列的前项和为，且满足___________.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）23．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且对任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）设（），对每个正整数k，在与之间插入个1，得到一个新的数列，记数列的前m项和为.求使得成立的所有正整数m的值.24．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三月考）已知等差数列的首项为，公差为，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.25．（2020·北京·模拟预测）在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“扩展”．已知数列：1，2，3，该数列经过次“扩展”后得到数列：1，，，…，，3，数列的所有项之和为．（1）写出数列，；（2）求，的值；（3）求数列的前项和公式．26．（2020·浙江诸暨·高一期末）已知公差大于零的等差数列的前项和是，满足，；数列的前项和是，满足.（1）求数列、的通项公式；（2）在之间插入一个项，使得成等差数列，在之间插入两个项，使得成等差数列，，在之间插入个项，使得成等差数列.①求所有插入的数之和：；②求所有使得等式成立的正整数对.27．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且，其中．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和．29．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等差数列满足:，，成等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项和.30．（2021·江苏·常熟中学三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知数列的前n项和为，且满足___________.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，试比较与的大小关系，并说明理由.31．（2021·全国·高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，，，.（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，（i）求证；（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.32．（2021·山东·模拟预测）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值.33．（2021·江苏苏州·三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，且满足           ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：．34．（2021·湖南师大附中高三月考）设数列是以为首项，为公比的等比数列.在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之向插入个数，，使，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.（1）试写出，，；（2）求.35．（2021·江苏·苏州大学附属中学高二月考）数列的前n项和为，且（）（1）若数列不是等比数列，求；（2）若，在和（）中插入k个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数依次构成首项为1，公差为2的等差数列，求的前50项和．36．（2021·全国·高三专题练习）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，．（1）求数列的通项公式；（2）设，设数列的前项和为，，求的最大项和最小项．