2022年新高考数学二轮提升数列专题第23讲《数列的新定义问题》（2份打包，解析版+原卷版）

第23讲 数列的新定义问题

一、单选题

1．（2021·全国·高二课时练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（    ）

A．99 B．131 C．139 D．141

2．（2021·北京·东直门中学高二月考）在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列.是等积数列，且，公积为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·江苏苏州·高三月考）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，且，数列的前项和，若，则的值为（    ）

A．9 B．11 C．12 D．14

4．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的等于（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·湖北黄石·高三开学考试）普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以1为首项的“外观数列”记作，其中为1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它项，例如为3，13，1113，3113，132113，…若的第n项记作，的第n项记作，其中i，，若，则的前n项和为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·贵州威宁·高一期末）对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·全国·高三专题练习（文））对任一实数列，定义，若，，则（    ）

A．1000 B．2000 C．2003 D．4006

8．（2021·江苏·高二单元测试）对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（    ）

A．首项为1，公比为的等比数列是有界数列

B．若数列是有界数列，则数列是有界数列

C．若数列是有界数列，则数列是有界数列

D．若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列

9．（2021·湖南·长郡中学高二期中）对任一实数序列，定义序列，它的第项为.假定序列的所有项都为1，且，则（    ）

A．1000 B．2000 C．2003 D．4006

10．（2020·江苏省梁丰高级中学高二期中）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（    ）

A．95 B．105 C．115 D．125

11．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

12．（2021·全国·高二课时练习）在数列中，若（，，p为常数），则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（    ）

A．若是等方差数列，则是等差数列

B．若是等方差数列，则是等方差数列

C．数列是等方差数列

D．若是等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列

13．（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（    ）

A．常数数列为“和谐数列”

B．为“和谐数列”

C．为“和谐数列”

D．若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-2

14．（2021·全国·高二单元测试）设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（    ）

A．是等差数列，且，公差

B．是等比数列，且公比满足

C．

D．，

15．（2021·全国·高二课时练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（    ）

A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”

B．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差

C．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”

D．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足

16．（2021·广东天河·高三月考）在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（    ）

A．是开方差数列

B．若是开方差数列，则是等差数列

C．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）

D．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

17．（2021·江苏·高二专题练习）在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断正确的是（    ）

A．不可能为0；

B．等差数列一定是等差比数列；

C．等比数列一定是等差比数列；

D．通项公式为的数列一定是等差比数列

18．（2021·江苏·高三专题练习）在数列{an}中，若为常数），则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（    ）

A．若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列

B．若{an}是等方差数列，则{an2}是等方差数列

C．{（﹣1）n}是等方差数列

D．若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列

三、双空题

19．（2021·全国·模拟预测）定义：记满足下列两个条件的有穷数列为n阶“期待数列”.①；②.试写出一个3阶“期待数列”___________；若2021阶“期待数列”是递增的等差数列，则___________.

20．（2021·全国·高二课时练习）对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．

（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为______；

（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是______．

21．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的次近似值为_____；设，数列的前项积为．若任意恒成立，则整数的最小值为_____．

22．（2021·全国·高二课时练习）数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则_____，_____．

四、填空题

23．（2020·江苏·江阴市成化高级中学高二月考）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为_________.

24．（2021·河南三门峡·高三月考（理））在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列结论：①等比数列一定是比等差数列；②等差数列一定不是比等差数列；③若，则是比等差数列，且比公差为；④若数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，则数列一定不是比等差数列.其中正确的有_____________.（填序号）

25．（2021·江苏·高二单元测试）取出数列的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数（如连续四项，，，，满足），则称数列为错位等和数列，其中常数是公和.若表示的前项和，有如下命题：

（1）若一个等差数列是错位等和数列，则；

（2）若一个等比数列是错位等和数列，则；

（3）若，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列；

（4）在错位等和数列中，，且，若是偶数，则；

其中，真命题的序号是________

26．（2021·广东·东莞市光明中学高三开学考试）若有穷数列，，…，（m为正整数）满足条件：，，…，，则称其为“对称”数列．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列中，，，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，则____________．

五、解答题

27．（2021·江苏·高二单元测试）对于数列，定义为数列的差分数列，其中．如果对任意的，都有，则称数列为差分增数列．

（1）已知数列为差分增数列，求实数的取值范围；

（2）已知数列为差分增数列，且，．若，求非零自然数k的最大值；

（3）已知项数为2k的数列（）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：．

28．（2020·江苏·模拟预测）对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）.

（1）数列{an}的通项公式（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？

（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；

（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.

29．（2020·黑龙江·哈师大附中高二开学考试（理））若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．

（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；

（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值．

30．（2019·北京顺义·二模（理））在数列中，若（，，为常数），则称为“平方等差数列”．

（Ⅰ）若数列是“平方等差数列”，，写出的值；

（Ⅱ）如果一个公比为的等比数列为“平方等差数列”，求证：；

（Ⅲ）若一个“平方等差数列”满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

31．（2021·上海市吴淞中学高三期中）设数列的各项都是正数，是一个给定的正整数，若对于任意的正整数，成等比数列，则称数列为“型”数列.

（1）若是“型”数列，且，求的值；

（2）若是“型”数列，且，，求的前项和.