2022年新高考数学二轮提升数列专题第26讲《数列与导数的交汇问题》（2份打包，解析版+原卷版）

第26讲 数列与导数的交汇问题

一．解答题（共27小题）

1．（2021•全国模拟）函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．

（1）求；

（2）讨论的单调性；

（3）设，，证明：．

2．（2021•枣庄期末）已知函数，，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．

（1）求；

（2）讨论函数和的单调性；

（3）设，，求证：．

3．（2021•武侯区校级模拟）已知，，其中与关于直线对称）

（1）若函数在区间上递增，求的取值范围；

（2）证明：；

（3）设，其中恒成立，求满足条件的最小整数的值．

4．（2021•泉州校级模拟）已知函数，，．

（Ⅰ）若在定义域内恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值；

（Ⅲ）证明不等式．

5．设函数，．

（1）求函数的最小值；

（2）证明不等式：．

6．（2021•淄博模拟）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且．

（1）讨论的单调性；

（2）求实数和的值；

（3）证明．

7．（2021•揭阳一模）已知函数，，其中．

（1）若函数，当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；

（3）证明：．

8．（2021•凉山州一模）设函数，

（1）当时，求的最小值；

（2）若，在上有两个不同的零点，求的取值范围；

（3）证明：

9．已知函数，，为常数）

（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；

（2）当时，证明不等式在，上恒成立；

（3）证明：，（参考数据：

10．（2021•天津校级二模）已知函数，为实常数）

（1）当时，求函数在，上的最小值；

（2）若方程（其中在区间，上有解，求实数的取值范围；

（3）证明：（参考数据：

11．（2021春•青羊区校级期中）已知，其导函数为，反函数为

（1）求证：的函数图象恒不在的函数图象的上方．

（2）设函数．若有两个极值点，；记过点，，的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）求证：．

12．（2021•揭阳一模）已知函数，，其中，．

（1）若函数有极值1，求的值；

（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；

（3）证明：．

13．（2021•天津校级一模）已知函数的定义域为，当时，对于任意，，都成立，数列满足，，2，

（1）证明：；

（2）令．

14．（2021•如皋市模拟）已知函数，．

（1）证明：两函数图象有且只有一个公共点；

（2）证明：．

15．（2021春•鼓楼区校级月考）已知函数．

（1）①证明：当时，（当且仅当时取得等号）；

②当，时，证明：；

（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围．

16．（2021•成都二模）已知函数，其中，，令函数．

（Ⅰ）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（Ⅱ）当取中的最大值时，判断方程在上是否有解，并说明理由；

（Ⅲ）令函数，证明不等式．

17．（2021•岳阳校级一模）已知函数，，其中．

（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

（2）设，求证：．

18．（2021•武侯区校级模拟）已知，．

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）求证：，恒成立；

（Ⅲ）求证：．（参考数据：，

19．（2021•五华区校级模拟）已知函数，，直线与曲线切于点，，且与曲线切于点，（1）．

（1）求实数，的值；

（2）证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）当为正整数时，．

20．（2021•新课标Ⅱ）已知函数．

（1）讨论在区间的单调性；

（2）证明：；

（3）设，证明：．

21．（2021•广州一模）已知函数，．

（1）求函数在上的单调区间；

（2）用，表示，中的最大值，为的导函数，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

22．已知函数．

（1）证明：当时，；

（2）设数列满足且，证明：单调递减且．

23．（2021•石家庄模拟）已知函数，，若在处的切线为．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设，其中，，证明：．

24．（2021•淄博一模）已知函数．

（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；

（2）设数列，其前项和为，证明：．

25．（2021•济南一模）已知函数，且曲线在，（2）处的切线斜率为1．

（1）求实数的值；

（2）证明：当时，；

（3）若数列满足，且，证明：．

26．（2021•天津）设函数，为的导函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当，时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．

27．（2021•青岛模拟）已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）当时，证明：；

（2）设函数，当时，证明：；

（3）若数列满足：．证明：．