2022年新高考数学二轮提升数列专题第3讲《通项公式的求解策略累加法》（2份打包，解析版+原卷版）

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第3讲 通项公式的求解策略:累加法参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．数列满足，，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，以上等式相加，得，把代入上式得，，，．故选：．2．（2021秋•城厢区校级月考）数列中，，，，则　　A．97 B．98 C．99 D．100【解答】解：根据题意得，；，即；将前项相加可得：，解得．故选：．3．（2021秋•河南月考）在数列中，，，，则的最小值是　　A． B． C．1 D．【解答】解：根据题意，数列满足，，，则，当且仅当时，取等号，分析可得：当时，有最小值，且最小值为1；故选：．二．填空题（共11小题）4．（2021•歙县校级模拟）已知数列满足，，则数列的前2021项的和为　　．【解答】解：，，时，，时也成立．，．数列的前2021项的和．故答案为：．5．（2021秋•合肥校级月考）定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中的元素的个数为，则　　．【解答】解：由题意易知：当时，因为，，所以，所以，所以，；当时，因为，，所以，所以，，所以，3，，；当时，因为，，所以，所以，，所以，3，4，7，8，，；当时，因为，，所以，所以，，所以，3，4，7，8，9，13，14，15，，；当时，因为，，所以，所以，，所以，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，，，由此类推：，所以，即，，，，，以上个式子相加得，，解得，所以，．故答案为：．6．（2021春•崇川区校级月考）已知各项都为整数的数列中，，且对任意的，满足，，则被3除所得余数为　2　．【解答】解：，所以，两式左右两边分别相加得，又，且，所以，从而，所以被3除所得余数为2．故答案为：2．7．（2021•娄底二模）已知各项均为整数的数列中，，且对任意的，满足，则　　．【解答】解：由满足，，．又．．．故答案为：．8．（2021•武昌区模拟）数列的前项和为，，，则　　．【解答】解：由题意，可知．故答案为：．9．（2021•石家庄一模）已知数列满足，且，该数列的前项和为，则　1010　．【解答】解：由题意，可知．故答案为：1010．10．（2021秋•建邺区校级月考）已知数列的前项和为，满足，且，则　　．【解答】解：由题意，可得，．故答案为：．11．（2021秋•龙凤区校级期中）若数列满足，，数列的通项公式，则数列的前10项和　　．【解答】解：，可得，，，，，，累加可得，则，即有．故答案为：．12．（2021•梅河口市校级模拟）设数列满足，，　　【解答】解：数列满足：，，．．故答案为：．13．（2021•兰州模拟）已知数列满足，，若，则数列的通项　　．【解答】解：，，．数列是等比数列，首项与公比都为2，．时，．则数列的通项，则数列的通项．故答案为：．14．（2021•云南二模）在数列中，，若平面向量与平行，则的通项公式为　　．【解答】解：平面向量与平行，，整理为：，时，，相减可得：，．相减可得：．，又，，．数列是等差数列，首项为3，公差为．．．故答案为：．三．解答题（共5小题）15．已知各项都是正数的数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；设数列满足：，，求数列的前项和；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1），①，②①②得：整理得：，又，，又，解得，数列是首项与公差均为的等差数列，；又，，，，．（2）若对任意恒成立，即对任意恒成立恒成立，（当且仅当时取等号），，，即的取值范围为，．16．（2021秋•海淀区校级月考）已知数列满足，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式．【解答】（Ⅰ）解：由题意知：，．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，，当时，，所以是以1为首项，为公比的等比数列．综上所述，命题得证．解：由（Ⅱ）知：，当时，，当时，，所以综上所述，的通项公式为17．（2021春•湖北期中）设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【解答】解：（1）数列满足，．所以：，，，利用累加法：，整理得：，（首项符合通项），故．（2）由（1）得，所以①，②，①②得：，整理得：．18．数列满足．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和为．并证明．【解答】解：（Ⅰ）由，，可得，所以，则，即有；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，则，所以，由数列是递增数列，可得，所以．19．（2021春•大竹县校级期中）记为数列的前项和，．（1）求；（2）令，数列的前项和为，证明对任意，．【解答】解：（1）数列的前项和，，①当时，，②，②①得：；证明：（2）由于，，故：；即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；故．