2022年新高考数学二轮提升数列专题第8讲《数列求和裂项相消法》（2份打包，解析版+原卷版）

第8讲 数列求和:裂项相消法

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．（2021秋•赫山区校级月考）已知数列，为数列的前项和，求使不等式成立的最小正整数　　

A．2016 B．2021 C．2017 D．2015

【解答】解：，，

，

，即为，

解得，即的最小值为2017．

故选：．

二．填空题（共1小题）

2．（2021•河南模拟）已知数列满足，，则数列的前项和为　　．

【解答】解：由，得，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

于是，

所以，

因为，

所以的前项和．

故答案为：．

三．解答题（共12小题）

3．已知，求其前项和．

【解答】解：，

其前项和：

．

4．（2021春•石城县校级月考）已知数列是递增等比数列，为其前项和，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求其前项和．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，

又，解得或，

数列是递增等比数列，，，

设的公比为，则，．

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

，

．

5．（1）若数列的通项公式为，求其前项和；

（2）已知为数列的前项和且，求：

①，；

②通项公式．

【解答】解：（1），

前项和

，

（2），①可得；

；

②时，，

上式对也成立，

综上可得，．

6．已知，求其前项和．

【解答】解：，

．

7．（2021春•库尔勒市校级期末）已知是等差数列，其前项和为，已知，，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，证明：是等比数列，并求其前项和．

（3）设，求其前项和．

【解答】解：（1）是等差数列，，，

，

，

其公差，

；

（2），，

，且，

是以32为首项，8为公比的等比数列，

其前项和；

（3），

，

．

8．（2021春•武清区校级期末）已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，．

（1）求与；

（2）设，，求的前项和．

【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则，，

，，

，，

，即，

解得（舍去），或，

，，

，．

（2）由（1），可得，

则，

．

9．（2021春•温州期末）已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列，数列满足：．

（1）求数列，的通项公式：

（2）设，求证：．

【解答】（1）解：因为，，成等比数列，所以，

则，所以，

又，所以或（舍，

则，

因为，则，

故；

（2）证明：由题意，，

所以，

故．

10．（2021•鄞州区校级模拟）已知等差数列和等比数列，且满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，，求证：．

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由满足，．

分别取，2，3，可得：，，，

解得，，，

，．

（2）证明：，

，

．

11．（2021秋•雁峰区校级月考）已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：．

【解答】解：（1）数列满足：，；

所以，

故数列为常数列，

，

所以．

数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列．

所以，

所以，解得，

故．

证明：（2）由（1）得：

，

，

所以．

12．（2021秋•和平区校级月考）设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，

求；

求数列的前项和．

【解答】解：设等比数列的公比为．由，，可得．

因为，可得，故．

设等差数列的公差为，由，可得．

由，可得，从而，，故．

所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．

由，有，

故．

证明：因为，

所以．

13．（2021•梁园区校级模拟）已知等差数列的公差为，前项和为，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解答】解：（1）因为，所以，即，

整理得，

又因为，

所以，

即，

所以；

（2）由（1）知，

所以，，

所以．

14．（2021秋•岳麓区校级月考）设数列前项和为，已知当时，，且为，的等比中项．

求数列的首项的值；

（2）设，求数列的前项和．

【解答】解：（1）由，得，所以是以2为公差的等差数列，

又为，的等比中项．得，即，

所以，解得或（舍去），

（2）由（1）可知，

所以，

所以．