2022年新高考数学二轮提升数列专题第29讲《证明数列不等式：通项法》（2份打包，解析版+原卷版）

第29讲 证明数列不等式:通项法

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2021秋•邛崃市月考）已知函数，其中为实常数．

（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；

（2）证明：当时，；

（3）求证：．

【解答】解：（1）由题意

则

即在，上单调递增，

，

，；

（2）即证，，，

设，

在，上单调递减，

，

，，；

（3）利用，，，

令，得：

，

，

，

，

累加得：，

当时，；

2．（2021•广州二模）已知数列和满足，且对任意都有，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）证明：．

【解答】（1）解：对任意都有，，

．

，即．

数列是首项为，公差为1的等差数列．

，且，

．

．

，，

（2）证明：，，．

所证不等式，

即．

①先证右边不等式：．

令，则．

当时，，

所以函数在，上单调递减．

当时，，即．

分别取．

得．

即．

也即．

即．

②再证左边不等式：．

令，则．

当时，，

所以函数在，上单调递增．

当时，，即．

分别取．

得．

即．

也即．

即．

．

3．（2021秋•泰山区校级月考）设函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当且时证明不等式：．

【解答】解：（1），

当时，，在上递增；

当，，解得，，，

①当时，，，，得，，得，

②当时，，，，得，，，得；

综上可得，当时，的增区间为；

当时，的增区间为，，减区间为；

当时，的增区间为，，

减区间为，；

（2）时，，

令，在恒正，

在，递增，时，，即当时，，

即，对任意的为正整数，取，有，

则

．

4．（2021•成都模拟）已知函数，．

若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若在，上恒成立，求正数的取值范围；

（Ⅲ）证明：．

【解答】解：当时，，则函数的定义域为，

则，则当时，，则单调递增；

则当时，，则单调递减；

所以单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）因为，，，则（1），．

①当，时，此时，

当，则，在，上是减函数，所以在上存在，

使得（1），在，上不恒成立；

②当时，，在，上成立，在，上是增函数，（1），在，上恒成立，

综上所述，所求的取值范围为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在，上恒成立，，

令，有，

当时，，

令，有，

即，，2，3，，，将上述个不等式依次相加得：，

整理得．

5．（2021•广元模拟）已知函数，．

（Ⅰ）若与在处相切，试求的表达式；

（Ⅱ）若在，上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明不等式：．

【解答】解：（Ⅰ）由于与在处相切

且得：（2分）

又（3分）

（Ⅱ）在，上是减函数，

在，上恒成立．（5分）

即在，上恒成立，由，，

又得（7分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：当时：

在，上是减函数，

当时：（1）即

所以从而得到：（10分）

当时：

当时：

当时：

当时：，，

上述不等式相加得：

即．，

（12分）

6．证明：（其中．

【解答】证明：下面用数学归纳法来证明：

（1）先证明：；

①当时，命题显然成立；

②假设当时，有，

则，

即当时，命题也成立；

由①、②可知；

（2）再证明：；

①当时，命题显然成立；

②假设当时，有，

则

，

即当时，命题也成立；

由①、②可知；

综上所述，．

7．设，求证：

（1）；

（2）．

【解答】证明：（1）①时，结论成立；

②假设时，结论成立，即，

时，，

，

，

当时，不等式也成立．

由①②可知，不等式成立；

（2），即．即，

，

．

，

．

8．（2021春•太原校级月考）已知函数在处取得极值．

（1）求实数的值，并讨论的单调性；

（2）证明：对任意的正整数，不等式都成立．

【解答】解：（1）函数，

，

当时，取得极值，

，解得，经检验符合题意，

，

当时，，于是在上单调递增；

当时，，于是在上单调递减．

（2）法一：由（1）得：是在上的最大值，

，故，（当且仅当时，“”成立），

对任意正整数，取得：，

，

故；

（方法二）数学归纳法证明：

当时，左边，右边，显然，不等式成立．

假设，时，成立，

则时，有；

作差比较：，

构建函数，

则，在，

单调递减，，

取，，

即，

亦即，

故时，有，

不等式成立，

综上可知，对任意的正整数，不等式都成立；

方 法三  

．

9．（2021•河北模拟）已知函数在处取得极值0．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）若关于的方程在区间，上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立．

【解答】解：由已知得，

在处取得极值0，，

，

解得：，．

由知．

则方程即，

令，

则方程在区间，上恰有两个不同的实数根，

，

当时，，故在上是减函数；

当时，，故在上是增函数；

从而有：，

．

由知的定义域为，

且，

当时，，故在上是减函数；

当时，，故在上是增函数；

为在上的最小值，

，

故，其中当时等号成立，

对任意正整数，取，得，

，

从而有：，分别取，3，，，得到：

故成立．

10．（2021•江西二模）已知函数，

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若函数在，内有两个零点，求实数的取值范围；

（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立．

【解答】解：（1）由题意得，，且，

曲线在处的切线与直线垂直，

（1），解得，则，

的几何意义表示以为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，

，

故；

（2），

当时，，则，函数在单调递增，

函数在，内有两个零点不成立；

当时，由得，，舍去，

当时，，则函数在区间上递增，

当时，，则函数在区间上递减，

当时，函数取到极大值，也是最大值，

函数在，内有两个零点，

，解得，即，

则实数的取值范围是：；

（3）设，，

则在上是增函数，

在上是增函数，则（1），

令为正整数），代入得，

，

分别取，2，3，，得：

，，，

，，

以上个式子相加得：，

综上可得，对任意的正整数，不等式都成立．