2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷）

这是一份2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则(   )A. B. C. D.2.(   )A. B. C. D.3.已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数的值为(   )A. B. C. D.4.已知向量，，，则m的值为(   )A. B.0 C. D.5.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有(   )A.12种 B.28种 C.20种 D.16种6.已知为锐角，且，，则(   )A. B. C. D.7.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为(   )A. B. C. D.8.已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点(1，0)对称，当时，，则的值为(   ).A.-2 B.-1 C.0 D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列关于函数的说法正确的是(   ).A.在区间上单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点中心对称D.图象关于直线对称10.已知抛物线的焦点为是该抛物线上两点，则下列结论正确的是(   )A.点F的坐标为B.若直线MN过点F，则C.若，则的最小值为D.若，则线段MN的中点P到x轴的距离为11.如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有(   )A.平面B.直线与BD所成的角为60°C.二面角的正切值是D.与底面ABCD所成角的正切值是12.设，则下列结论正确的是(   )A.函数的最小值为2B.不等式恒成立C.函数的最小值为D.若，则的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设随机变量，若，则______.14.已知函数，则函数在处的切线方程为__________.15.已知圆，直线，若直线l与圆C交于A，B两点，且，则_______________.16.已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆C上，点，若直线的交点为为坐标原点，则的取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.记为数列的前n项和.已知.（1）证明：是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A；(2)若的外接圆半径，，求的面积.19.交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数.(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数.(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.20.如图，五面体中，四边形为等腰梯形，，且.(1)求证:平面;(2)若平面平面，且平面平面，求二面角的余弦值.21.已知双曲线C的一条渐近线方程为，，分别为双曲线的左、右焦点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且，，求证：为定值，并求出该定值.22.已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若方程有两个不同的实数根.(i)求m的取值范围；(ii)若，求证：.(参考数据：)
答案以及解析1.答案：C解析：解不等式，即，解得，则，故选C.2.答案：D解析：.故选D.3.答案：B解析：因为P，B，C三点共线，所以，所以，，所以，，故选B.4.答案：D解析：由，可得，解得，故选D.5.答案：C解析：若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有（种）；若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3，4阶段或者第4，5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有（种）.故共有种不同的安排方案.故选：C.6.答案：A解析：因为为锐角，所以.由得，则.又，故，故选A.7.答案：A解析：设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，则的面积.由三棱柱的体积为可得，故.设三棱柱外接球的半径为R，则，故该三棱柱外接球的表面积为.8.答案：C解析：因为是R上的偶函数，所以，又的图象关于点(1，0)对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，当时，，则，，则，则.9.答案：ABD解析：令，，得，，又在此区间上，故A正确；，故B正确；因为的图象关于点，中心对称，所以令，，得，，所以的图象关于点，中心对称，故C错误；由的图象关于直线，对称可知，的图象关于直线，对称，当时，，故D正确.故选ABD.10.答案：BCD解析：本题考查抛物线的定义与标准方程、抛物线的焦点弦性质.对于选项A：易知点F的坐标为，故A错误；对于选项B：由题意知直线MN的斜率必然存在，所以若直线MN 过焦点F，则可设直线MN的方程为，由得，则，故B正确；对于选项C：若，则直线MN过焦点F，则的最小值即为抛物线的通径长，最小值为，故C正确；对于选项D：抛物线的焦点为，准线方程为，过点M，N，P分别作准线的垂线，垂足分别为（图略），所以，所以，所以，所以线段MN的中点P到x轴的距离为，故D正确.故选BCD.11.答案：AB解析：如图，连接.，，，平面.平面，.同理，.，平面，故A正确.，异面直线与BD所成的角是或其补角.是等边三角形，，故B正确.设，连接OC，则是二面角的平面角，，故C不正确.连接AC，平面ABCD，是与底面ABCD所成的角，，故D不正确.12.答案：BD解析：函数，当且仅当时取等号，又，所以表达式没有最小值，所以A不正确;不等式，当且仅当时取等号，所以B正确;函数，当且仅当时，函数取得最大值，所以C不正确;若，则，当且仅当时，表达式取得最小值，所以D正确.故选BD.13.答案：0.68解析：由正态分布的性质可知，所以.14.答案：解析：因为，所以切点坐标为，函数在处的切线斜率，所以所求的切线方程为，即.15.答案：22解析：由题可得圆C的标准方程为，圆心，半径，由，得或.圆心C到直线l的距离，因为直线l与圆C交于A，B两点，且，所以，得，解得或，又或，故.16.答案：解析：本题考查椭圆的方程、直线的方程.依题意，得，则，易知，则直线MP的斜率，直线MP的方程为，直线NQ的斜率，直线NQ的方程为，联立解得即.则，由，得的取值范围为.17.答案：（1）证明见解析（2）-78解析：（1）由，得①，
所以②，
②-①，得，
化简得，所以数列是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列的公差为1.
由，得，
解得.
所以，
所以当或13时，取得最小值，最小值为-78.18.答案：(1).(2).解析：(1)因为，所以由正弦定理，得，所以，所以，所以，即，又，所以.又，故.(2)由题意知.由余弦定理，得，所以，则，故.19.答案：(1)轻度拥堵的路段有6个；中度拥堵的路段有9个；严重拥堵的路段有3个(2)分别抽取的个数为2，3，1(3)概率为解析：(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(个)，中度拥堵的路段有(个)，严重拥堵的路段有(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在的路段中分别抽取的个数为2，3，1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，抽取的3个中度拥堵路段为，抽取的1个严重拥堵路段为，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵的包含的样本点有：，共9个.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.20.答案：(1)见解析(2)解析：(1)因为，平面平面，故平面.又平面平面，所以，则，又，所以四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面.(2)过E作于点P，因为平面平面，且平面平面，因此平面，过E作于点Q，又平面平面，且平面平面，因此平面，而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，因此重合于，即平面.以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，则.设平面的法向量为，则，得，令，则，故平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，得，令，则，故平面的一个法向量为，因此，由图易知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.21.答案：（1）（2）见解析解析：（1）由题意可设双曲线C的标准方程为，由已知得，则解得，，故双曲线C的标准方程为.（2）由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，设，，.若直线PB的斜率存在，则，则直线PB的方程为.联立消去x整理得，将代入上式整理得，，，则，故.（根据向量的关系转化为坐标间的关系）同理可得，故.若直线PB的斜率不存在，则，此时轴，，直线PA的方程为.联立消去x整理得，解得，故，此时.综上所述，为定值.一题多解  由于P，N，B三点共线，设，，又，所以由，，，得①.由于将上述两式相减可得②.将①代入②可得③.①+③得，解得，，故，同理可得，故.22.答案：(1)在上单调递减.(2)(i)取值范围为.(ii)证明过程见解析.解析：(1)的定义域为，当时，.设，则，由得，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，，即在上恒成立，在上单调递减.(2)(i)由得，即.设，则.由可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，有极大值也是最大值，当时，，当时，.要使有两个不同的实数根，则，即，即实数m的取值范围为.(ii)证明：，由比例的性质可得，即，故.设，由可得，设系数，则，设，则，在上单调递增，故，故，在上单调递增，故，，故.