2023届高三开学摸底考试文科数学试卷（全国卷）

2023届高三开学摸底考试文科数学试卷

（全国卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.已知a，，（i为虚数单位），则(   )

A.，  B.，

C.，  D.，

3.已知向量且则(   )
A.5 B. C.7 D.25

4.如图示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x和y的值分别为(   )

A.3，5 B.5，5 C.3，7 D.5，7

5.已知实数x，y满足约束条件则的最大值为(   )

A. B.1 C. D.9

6.以抛物线的焦点F为圆心，4为半径的圆C交于不同的两点A，B，与的准线交于不同的两点P，Q，且，线段AQ与交于点E，则(   )

A.5 B.6 C. D.

7.执行如图所示的程序框图，若输入的k的值为8，则输出的n的值为(   )

A.7 B.6 C.5 D.4

8.已知函数的部分图像如图，则函数的解析式最可能为(   )

A.  B.

C.  D.

9.如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是(   )

A.在平面内存在直线与平面EFG平行

B.在平面内存在直线与平面EFG垂直

C.平面平面EFG

D.直线与EF所成角为45°

10.已知是等比数列的前n项和，且公比，其中，且满足，则下列说法错误的是(   )

A.数列的公比为2 B.

C.  D.

11.关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；

②在区间单调递增；

③在有4个零点；

④的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是(   )

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

12.已知三棱锥的外接球半径为R，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在等差数列中，，是方程的两根，则的值为___________.

14.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____.

15.圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程是_______________.

16.已知定义在R上的奇函数，对于都有，且满足，，则实数m的取值范围为____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.

(1)求A.

(2)若的面积，求的值.

18.如图，在多面体中，已知四边形是菱形，平面.

(I)证明:平面平面；

(Ⅱ)若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

19.随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示(把2015年到2019年分别用编号1到5来表示).

(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；

(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.

附：，.

20.已知是函数的一个零点.

（1）求的极小值；

（2）设，当时，求证：.

21.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点拾好是一个直角三角形的三个顶点，直线与椭圆C有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若直线不过点T且与椭圆C相交于A，B两点，直线TA与直线TB的斜率之和为2，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（I）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与y轴交于点M，求的值.

23.[选修4 – 5：不等式选讲]

已知函数.

(I)求的最小值m；

(Ⅱ)若正数，满足，证明:.

答案以及解析

1.答案：A

解析：由题知，又集合，则，故选A.

2.答案：B

解析：，则由，得，，故选B.

3.答案：A

解析：由得解得所以所以故选A.

4.答案：A

解析：甲组的数据依次为56，62，65，74，，因此其中位数为65；又乙组的数据为59，61，67，，78，由题意知该组的中位数为65，故只能是.当时，乙组的平均数为，故甲组的平均数为，解得.故选A.

5.答案：D

解析：在平面直角坐标系内，作出可行域如图中阴影部分所示.

设，则，作出直线并平移，

当直线经过点C时，z取得最大值，

由得

所以z的最大值为，故选D.

6.答案：C

解析：如图所示，设PQ交x轴于N，过E作，垂足为M，由题意结合抛物线的定义可知，在中，.易知，所以，所以在中，，解得，则，故选C.

 

7.答案：C

解析：输入，，，；，，；，，；，，；，，；，结束循环，输出.故选C.

8.答案：D

解析：根据函数的图像，得函数为偶函数，值域为，且.A选项中，当时，为增函数，所以A不符合题意.B选项中，当时，为减函数，，所以B不符合题意.C选项中，当时，的值域为，所以C不符合题意.D选项中，为偶函数，且的值域为，，所以D符合题意.故选D.

9.答案：D

解析：设BD交AC于点O，EF交BD于点P，连接，PG.因为，，所以.因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.又平面，故A正确.连接，.因为平面，所以.又，所以.因为平面，所以.又，，所以平面，所以.又，所以.因为，所以平面EFG.又平面，故B正确.因为，，EG，平面EFG，，平面EFG，所以平面EFG，平面EFG.又因为平面，平面，，所以平面平面EFG，故C正确.因为，为等边三角形，故直线与AC所成角为60°，即直线与EF所成角为60°，故D不正确.故选D.

10.答案：C

解析：根据题意知等比数列的公比为，记，则，所以解得故，则， ，所以，选项C错误，故选C.

11.答案：C

解析：的定义域为，，故是偶函数，①正确；

当时，，其在该区间上单调递减，②不正确；

当时，，有两个零点，当时，仅有一个零点，所以在上有三个零点，故③不正确；

当时，，其最大值为2，又是R上的偶函数，所以在R上的最大值为2，④正确.

综上，①④正确，②③不正确.故选C.

12.答案：D

解析：如图，设外接圆的半径为r，已知外接圆的面积为，故，所以，当为正三角形（的面积最大），且P，O（球心），（外接圆圆心）三点共线时，三棱锥的体积最大.在中，由正弦定理知，所以，所以.设三棱锥的外接球半径为R，因为，所以.在中，由，得，，所以该球的体积为，故选D.

13.答案：

解析：因为在等差数列中，，是方程的两根，所以，所以.

14.答案：

解析：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的样本点共6个.

记两本数学书分别为数学书1，数学书2，则2本数学书相邻的有(数学1，数学2，语文)，(数学2，数学1，语文)，(语文，数学1，数学2)，(语文，数学2，数学1)，共4个.

故2本数学书相邻的概率.

15.答案：

解析：设所求圆的方程为，即，则，此圆的圆心.因为圆心在直线上，所以，解得，所以所求圆的方程为.

16.答案：

解析：，，是周期函数，且周期，，，，，即且，解得或，实数m的取值范围为.

17.答案：(1).

(2).

解析：(1)因为，所以由正弦定理得，

即，

化简得，

因为，所以.

(2)因为，所以，由，

得，所以，

则，

由正弦定理得.

18.答案：(I)见解析

(Ⅱ)

解析：(I)证明:如图，设与交于点O.

因为四边形是菱形，所以.

因为平面平面，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

(Ⅱ)因为平面，

所以平面，

所以.

又因为，

所以平面.

连接即为与平面所成的角，

所以.

因为，

所以，

所以，所以，

所以是等边三角形.

因为平面平面，所以平面，

所以.

19.答案：(1)回归方程为.

(2)2022年我国高新技术专利数为4.01万件.

解析：(1)由已知可得，

，

，

，

所以回归方程为.

(2)由(1)知.

又2022年对应的是编号8，

所以2022年我国高新技术专利申请数(万件)，

即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.

20.答案：（1）

（2）见解析

解析：（1）是的一个零点，

，即，解得，

，定义域为，

，

①当时，，在上是增函数，故无极值；

②当时，当时，，是减函数；

当时，，是增函数，

的极小值为.

（2）证明：当时，.设，则，，.

由（1）知，在上是减函数，

在上是增函数，

则，则，

则.

21.答案：(1)标准方程为.

(2)直线过定点，定点坐标为.

解析：(1)由题意可得，

则，故椭圆C的方程为，即，

联立直线与椭圆C的方程，得

得.

因为直线与椭圆C有且只有一个公共点T，

所以，得，

所以椭圆C的标准方程为.

(2)由(1)可得点T的坐标为.

当直线的斜率存在时，设直线，，联立直线与椭圆C的方程得

整理得，

，

则，.

由题意得，

所以

，

化简得，

所以，

化简得，所以或(舍去).

此时直线，过点.

当直线的斜率不存在时，设直线，A在x轴上方，

则，

则，解得.

此时直线，过点.

综上，直线过定点，定点坐标为.

22.答案：（I）曲线C的普通方程为；直线l的直角坐标方程为

（Ⅱ）2

解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数），则

则，

即曲线C的普通方程为.

直线l的极坐标方程为，

则直线l的直角坐标方程为.

（Ⅱ）由直线l的直角坐标方程，

得斜率，倾斜角为，过点，

所以可设直线l的参数方程为（t为参数）.

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得

.

整理得.

设点A，B对应的参数分别为，，

则，

所以.

23.答案：(I)4

(Ⅱ)见解析

解析：(I)

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，当且仅当时，取到最小值4，所以.

(Ⅱ)证明:由(I)可知，，

且，

当且仅当时，等号成立，

所以，

所以，

当且仅当时，等号成立.