新教材高一数学必修第二册暑假作业第01练《平面向量及其线性运算》（2份打包，解析版+原卷版）

第01练  空间向量及其运算、空间向量基本定理

【知识梳理】

知识点一 向量的概念与向量的模

【向量概念】

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．

【向量的几何表示】

用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．

【向量的模】

的大小，也就是的长度（或称模），记作||．

【零向量】

长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．

【单位向量】

长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．

【相等向量】

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．

知识点二 平行向量（共线）

1、平行向量：

    方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．

2、共线向量：

    如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．

说明：

（1）向量有两个要素：大小和方向．

（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．

     共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．

知识点三 两向量的和或差的模的最值

【知识点的知识】

    向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有|+|≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有|+|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．

    另外还有|﹣|≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；|﹣|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．

知识点四 向量数乘和线性运算

【知识点的知识】

（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．

当λ＝0时，λ与平行．

对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ

（2）向量数乘运算的法则

①1＝；（﹣1）＝；②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；

③（λ+μ）＝λ+μ；④λ（+）＝λ+λ．

一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示．

1．（2022•镇海区校级模拟）已知向量，则“存在实数，使得”是“共线”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据已知条件，结合向量共线的判定定理，即可求解．

【解答】解：存在实数，使得，

则共线，故充分性成立，

共线，当为零向量时，，不一定成立，故必要性不成立，

故“存在实数，使得”是“共线”的充分而不必要条件．

故选：．

【点评】本题主要考查向量共线的判定定理，属于基础题．

2．（2022•江西模拟）已知向量，且，则　　

A． B．1 C． D．2

【分析】由已知条件结合向量模的求法可得，再代入坐标运算即可求解．

【解答】解：由题意可得，

即，

可得，

又，，

即有，

解得，

故选：．

【点评】本题考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．

3．（2022•洛阳模拟）已知向量，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据已知条件，结合向量的平行公式，即可求解．

【解答】解：当时，，，

，

，故充分性成立，

向量，，

则，解得，或，故必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题主要考查向量的平行公式，属于基础题．

4．（2022•辽宁模拟）已知点为的重心，，点是线段的中点，则为　　

A．2 B． C． D．

【分析】由已知可得，，然后根据向量模的运算性质化简即可求解．

【解答】解：由已知可得，，

所以，

所以

，

故选：．

【点评】本题考查了向量的概念以及模的运算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

5．（2022•乌鲁木齐模拟）若平面向量与方向相同，且，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意可设，且，再根据模长公式列方程求出即可．

【解答】解：因为与方向相同，可设，且，

又因为，所以，

解得，

所以．

故选：．

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题，是基础题．

6．（2022•榆林二模）已知，，则　　

A．2 B．4 C． D．

【分析】由，两边平方可得，再由向量展开代入求解即可．

【解答】解：由题意，可得，

即，

又，，

代入可得，解得，

所以，

故选：．

【点评】本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题．

7．（2021•浙江模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为　　

A． B．2 C． D．3

【分析】由可知，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，

的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，再将其化成，的模和夹角可解得．

【解答】解：设与的夹角，

由可知，

所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，

的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，

即为．

．

故选：．

【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、向量模、向量和差几何意义，考查数学运算能力，属于难题．

8．（2022•吕梁一模）在中，为的中点，，，与交于，，则　　

A． B． C． D．

【分析】由，结合点、、三点共线求解即可．

【解答】解：由中，为的中点，，，与交于，，

则，

由点、、三点共线，

则，

解得，

故选：．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三点共线的性质，属基础题．

9．（2021•新乡二模）在中为边的中点，则　　

A． B． C． D．

【分析】由于为边的中点，可得，结合已知即可求解向量，的关系式．

【解答】解：因为为边的中点，

所以，

因为，

所以，则．

故选：．

【点评】本题主要考查了向量的运算，考查了转化思想，属于基础题．

二．填空题（共6小题）

10．（2022•呼和浩特一模）已知菱形的边长为3，，点，分别在边，上，且满足，则　3　．

【分析】根据题意，有菱形的性质可得，由数乘向量的性质可得是的中点，是的中点，则有，即可得答案．

【解答】解：根据题意，菱形的边长为2，，

则，必有，

又由，，

则是的中点，是的中点，

则，，

则，

而，则，

故答案为：3．

【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则的应用，涉及向量加法的定义，属于基础题．

11．（2022•惠农区校级三模）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则　　．

【分析】向量与的方向相反，直接列出关系式，根据向量相等，求出的值．

【解答】解：向量与的方向相反，可得，

，，得，

．

故答案为：

【点评】本题考查相等向量与相反向量，考查计算能力，是基础题．

12．（2021•贵溪市校级模拟）若向量，则向量与向量共线．　对　（判断对错）

【分析】根据平面向量的共线定理，判断即可．

【解答】解：向量，根据平面向量的共线定理知，

向量与向量共线．

故答案为：对．

【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．

13．（2021•芜湖模拟）已知，，是单位向量，，则　　．

【分析】由得，两边平方得值，可求得值．

【解答】解：由得，，，，是单位向量，得，

，

故答案为：．

【点评】本题考查向量和差、数量积、模的运算，考查数学运算能力，属于基础题．

14．（2022•重庆模拟）点在内部，满足，则　　．

【分析】分别延长至，至，至，使，，，结合题意得出是的重心，，再计算与的面积比．

【解答】解：根据题意，分别延长至，至，至，

使，，，如图所示：

由，得，

所以点是的重心，

所以，

设，则，，

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查了三角形面积计算问题，也考查了三角形重心的性质以及平面向量在几何中的应用问题，是中档题．

15．（2022•长安区校级三模）在中，，．是边上的中点，则的值为　　．

【分析】把和代入要求的式子化简可得结果．

【解答】解：，

故答案为：．

【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，把要求的式子化为，

是解题的关键．

16．（2020•滨州三模）已知是三角形内部一点，满足，，则实数　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出，，三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值．

【解答】解：如图，令，则：

，，三点共线；

与共线反向，；

；

解得．

故选：．

【点评】本题考查向量的数乘运算，，，三点共线的充要条件：，且，共线向量基本定理，三角形的面积公式．

17．（2017•宝鸡三模）已知点是圆：上的动点，点，，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值．

【解答】解：由，得，

即，

为外接圆的直径，如图所示；

设坐标原点为，

则，

是圆上的动点，

，

，

当与共线时，取得最大值7；

故选：．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了直线与圆位置关系的应用问题，是中档题．

18．（2020•天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为　　，若，是线段上的动点，且，则的最小值为　　．

【分析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．

【解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，

，，

，，

，

，

，

，

设，，

，，，，

，解得，

，，

，，

，

，

，

设，则，其中，

，，，，

，当时取得最小值，最小值为，

故答案为：，．

【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．

19．（上海）已知平面向量、、满足，且，，，2，，则的最大值是　　．

【分析】分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，分类讨论：当，，，，设，则，则，有的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．

【解答】解：分别以所在的直线为，轴建立直角坐标系，

①当，，，，则，

设，则，

，

的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为；

②且，，，，则，，

的最大值，其几何意义是圆上点与定点的距离的最大值为，

③，，，，则，

设，则

的最大值，其几何意义是在圆

上取点与定点的距离的最大值为

，

故的最大值为．

故答案为：

【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：为该圆的半径，为该点与圆心的距离）．

20．（2019•广元模拟）在中，，，，设点，满足，，，若，则　　

A． B． C． D．2

【分析】如图所示，由，可得．又，，．可得，展开利用数量积运算性质即可得出．

【解答】解：如图所示，，

．

又，，．

，

，

在中，，，，

，，，

，

解得．

故选：．

【点评】本题考查了平面向量三角形法则及其应用、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．（2013•浙江模拟）已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是　，　．

【分析】如图所示，建立直角坐标系．设，，，．由，可得．由向量的平行四边形法则可得：，可得，，．利用数量积的性质可得，可得，即．又，可得，于是，进而得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．

设，，，．

，

．

，

，，．

，

，

，

，即．

若，，那么、、三点共线，即为和交点，此时，矛盾，舍去．

又，

，

，，，．

，即．（当且仅当或时取等号）．

综上可知：．故答案为：，．

【点评】本题综合考查了向量的平行四边形法则、数量积的运算性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．