新教材高一数学必修第二册暑假作业第08练《基本立体图形与直观图》（2份打包，解析版+原卷版）

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【知识梳理】
知识点一 棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
知识点二 棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点； 棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面； 棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
知识点三 棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
知识点五 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
知识点六 简单组合体的结构特征
【知识点的知识】
1、简单组合体： 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2、其构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
3、多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：
求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者．旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决．
知识点七 平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
知识点八 空间几何体的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．
2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）
知识点九 斜二测法画直观图
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
一．选择题（共11小题）
1．下列说法错误的是
A．一个八棱柱有10个面
B．任意四面体都可以割成4个棱锥
C．棱台侧棱的延长线必相交于一点
D．矩形旋转一周一定形成一个圆柱
【分析】利用棱锥、棱柱、棱台、旋转体的特征判断选项的正误即可．
【解答】解：一个八棱柱有10个面，正确；
在四面体内部选一点，与四个顶点的连线，可以割成4个棱锥，所以正确；
棱台侧棱的延长线必相交于一点，满足棱台的定义，所以正确；
矩形绕一条直角边旋转一周一定形成一个圆柱，所以不正确．
故选：．
【点评】本题考查颗粒剂几何体的特征，几何体的定义的应用，是基础题．
2．下列说法正确的是
A．棱锥至少有6条棱
B．过圆锥侧面上的一点有无数条母线
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
【分析】通过分析判断选项的正误，推出结果即可．
【解答】解：三棱锥有6条棱，所以正确；
过圆锥侧面顶点有无数条母线，所以不正确；
有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，并且侧棱的延长线相交于一点，几何体是棱台，所以不正确；
以三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥，所以不正确．
故选：．
【点评】本题考查空间几何体的结构特征的应用，几何体的判断，是基础题．
3．如图四个几何体中是棱锥的选项是
A．B．
C．D．
【分析】利用棱锥的定义判断选项即可．
【解答】解：因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
所以正确．
故选：．
【点评】本题考查棱锥的结构特征的判断，定义的应用，是基础题．
4．下列几何体中，棱数最少的是
A．三棱柱B．四棱台C．四棱锥D．五棱锥
【分析】推出几何体的棱数，即可得到结果．
【解答】解：三棱柱棱数为9．
四棱台棱数为12．
四棱锥棱数为8．
五棱锥棱数为10．
故选：．
【点评】本题考查棱锥、棱柱、棱台的结构特征，是基础题．
5．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是
A．圆锥 圆柱B．圆柱 球体
C．圆锥 球体D．圆柱 圆锥 球体
【分析】截面是一个圆面，利用圆锥、圆柱、球体的结构特征直接求解．
【解答】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，
由圆锥、圆柱、球体的结构特征得：
这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体，
故选：．
【点评】本题考查几何体形状的判断，考查圆锥、圆柱、球体的结构特征等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
6．下列说法错误的是
A．球体是旋转体
B．圆柱的母线平行于轴
C．斜棱柱的侧面中没有矩形
D．用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台
【分析】利用球体的定义判断；利用圆柱的结构特征判断；举例说明判断；利用正棱台的定义判断作答．
【解答】解：因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，正确；
由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，正确；
如图，斜平行六面体中，若平面，则侧面四边形是矩形，不正确；
由正棱台的定义知，正确．
故选：．
【点评】本题考查棱台，圆柱的定义，属于基础题．
7．下列说法正确的是
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．平行六面体不是棱柱
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断．
【解答】解：根据棱柱、棱锥、棱台的定义：
对于，直四棱柱不一定是长方体，有可能是正方体，错误；
对于，两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，错；
对于，平行六面体一定是棱柱，错；
对于，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确．
故选：．
【点评】本题考查棱锥、棱柱、棱台的几何特征，属于基础题．
8．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其，，则原图形是
A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形
【分析】根据斜二测画法的原则，计算原图中的数据，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，矩形是一个平面图形的直观图，其中，，
又，，
在原图中，，高为，，
．
原图形是菱形；
故选：．
【点评】本题考查平面图形的直观图的画法，注意斜二测画法，属于基础题．
9．用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，则原图形面积为
A．4B．C．2D．3
【分析】分析可知平面多边形的面积是其直观图面积的，由此可求得结果．
【解答】解：底边长为，高为的三角形的面积为，
在斜二测直观图中，若三角形的底边与轴平行或重合，
则原三角形的斜二测直观图的面积为，则，
由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的倍，
因此，原图形面积为．
故选：．
【点评】本题主要考查斜二测画法，属于基础题．
10．如图所示，△是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是
A．是钝角三角形
B．的面积是△的面积的2倍
C．点的坐标为
D．的周长是
【分析】根据题意，由斜二测画法，作出的原图，由此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，将△还原成原图，如图，
依次分析选项：
对于，中，有，易得，，
故是等腰直角三角形，错误；
对于，的面积是△的面积的倍，错误；
对于，的坐标为，错误；
对于，的周长为，正确；
故选：．
【点评】本题考查斜二测画法，注意斜二测画法的步骤，属于基础题．
11．如图，水平放置的的斜二测直观图为△，已知，则的周长为
A．6B．8C．D．
【分析】根据题意，作出原图，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，作出原图，
由斜二测画法，在原图中，，，
所以．故的周长为；
故选：．
【点评】本题考查斜二测画法，注意斜二测画法的步骤，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
12．下列关于几何体的说法中正确的是
A．棱台所有的侧棱所在直线交于一点
B．圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C．圆台上下两个底面不一定互相平行
D．圆柱的任意两条母线互相平行
【分析】利用棱台，棱锥、圆台、圆柱的定义判断选项的正误即可．
【解答】解：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．所以正确；
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．所以正确；
以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台上下两个底面一定互相平行，所以不正确；
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．所以圆柱的任意两条母线互相平行，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查空间几何体的结构特征以及性质的应用，是基础题．
13．在正棱锥中，侧面可为正三角形的是
A．正四棱锥B．正五棱锥C．正六棱锥D．正八棱锥
【分析】根据正棱锥底面多边形的特点，假设侧面都是正三角形，分别求出底面外接圆的半径，再求出相应的棱锥的高，即可判断是否成立．
【解答】解：对于正四棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为，
则底面外接圆半径为，高为，
满足要求，所以正确；
对于正五棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，
设底边长为，底面正五边形每个内角为，
则底面外接圆半径为，
高为，满足要求，所以正确；
对于正六棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为，
底面正六边形每个内角为，则底面外接圆半径为，
高为，不满足条件，所以不正确；
对于正八棱锥，侧面为正三角形，所以侧棱长与底边长相等，设底边长为，
底面正八边形每个内角为，则底面外接圆半径为，
高为，
不满足条件，所以不正确．
故选：．
【点评】本题考查了棱锥的结构特征，属于中档题．
14．关于基本立体图形，下列说法正确的是
A．由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱
B．棱锥的底面是多边形，侧面可以是四边形
C．将棱台的侧棱延长后必定交于一点
D．将直角三角形绕着其一边旋转一周形成的图形叫做圆锥
【分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆锥的定义依次判断即可．
【解答】对于，由棱柱的定义得：
由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱，故正确；
对于，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故错误；
对于，由棱台的定义得：将棱台的侧棱延长后必定交于一点，故正确；
对于，将直角三角形绕斜边为轴旋转一周形成的图形不是圆锥，故错误．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查棱柱、棱锥、棱台、圆锥等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
15．有一块多边形的菜地，其水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是直角梯形（如图所示），，．，则这块菜地的面积为 ．
【分析】根据题意，求出直观图的面积，由原图与直观图的面积关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直观图中，，，，
则，
，
故其面积，
故这块菜地的面积；
故答案为：．
【点评】本题考查斜二测画法，注意斜二测画法的步骤，属于基础题．
16．如图所示，△表示水平放置的的直观图，，点在轴上，且，则的边 3 ．
【分析】在直观图中，作，交轴于点，求出和的值，在原图中，由斜二测画法求出和的长，由勾股定理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，如图①，在直观图中，作，交轴于点，
易得，，则，，
如图②，在原图中，，，
，则，
故答案为：3．
【点评】本题考查斜二测画法的应用，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
17．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形，则原三角形的面积为 ．
【分析】根据，计算即可．
【解答】解：设原图面积为，直观图的面积，
斜二测直观图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
直观图的面积．
根据，
，
故答案为：．
【点评】本题考查平面图形的直观图，属于基础题．
18．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，如图，其中有一边长为4，则此正方形的面积是 16或64 ．
【分析】利用直观图的画法规则法两种情况即可求出．
【解答】解：如图所示：
①若直观图中平行四边形的边，
则原正方形的边长，故该正方形的面积．
②若直观图中平行四边形的边，
则原正方形的边长，故该正方形的面积．
故答案为：16或64．
【点评】本题考查平面图形的直观图，考查计算能力，是基础题．
一．选择题（共2小题）
19．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是等腰梯形，已知，，则该平面图形的面积为
A．3B．C．6D．
【分析】利用直观图求出，画出原图形，确定其为直角梯形，且，利用梯形面积公式进行求解．
【解答】解：过点，作的垂线，垂足分别为，，
因为是等腰梯形，且，
所以，
因为，
所以，
画出原图形如下：
由直观图和原图形知：，原来图形为直角梯形，且，
所以原来图形的面积．
故选：．
【点评】本题考查斜二测画法，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．已知一个水平放置的平面图的斜二测直观图是一个平行四边形（如图示），其底角为，，，则平面图形的实际面积为
A．4B．C．8D．16
【分析】由题意，原图形为长边长为4的正方形，面积为16，可得结论．
【解答】解：由题意，原图形为长边长为4的正方形，面积为16，
故选：．
【点评】本题给出四边形的直观图形状，求原图形的面积．着重考查了平行四边形的面积公式和平面图形直观图的理解等知识，属于中档题．
二．填空题（共3小题）
21．如图，△是的直观图，其中，则的面积是 ．
【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，再求面积即可．
【解答】解：由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，
，，，
的面积是．
故答案为：．
【点评】本题考查斜二测画法，属于中档题．
22．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是 ．
【分析】根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．
【解答】解：三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，
根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，
且，，
的面积为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则．
23．对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的 倍．
【分析】设底边在轴上的三角形的底边长为，高为，采用斜二测画法作出其直观图得到的三角形的底边长为，高为，由此能求出结果．
【解答】解：设底边在轴上的三角形的底边长为，高为，其面积为．
采用斜二测画法作出其直观图得到的三角形的底边长为，高为，
其面积为，
其直观图面积是原三角形面积的倍．
故答案为：．
【点评】本题考查斜二测法的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
一．选择题（共1小题）
24．已知四面体的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．
【解答】解：如下图所示
第一排 三个图讨论最短；第二排 三个图讨论最长，
设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，
第一排，三个图讨论最短：
当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体；
当时构成的四面体，不满足题意；
所以满足题意的四面体第三对棱长，
第二排，三个图讨论最长：
当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体；
当时构成的四面体，不满足题意；
所以满足题意的四面体第三对棱长；
综上，，．
故选：．
【点评】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，是难题．
二．填空题（共2小题）
25．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ．
【分析】底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．
【解答】解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．
于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，
则不难求出这个小正四面体的高为，
且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，
且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，
小正四面体的中心到底面的距离是，正四面体的中心到底面的距离是即小钢球的半径），
所以可知正四棱锥的高的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正四棱锥的高的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象力，是难题．
26．轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥．已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则的最大值为 ．
【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，然后利用分割补形法求解的最大值．
【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面内球与圆锥母线的切点为，
圆锥的轴截面如图，则，是的中心，
连接，则平分，
，得，即，
即四面体的外接球的半径为．
把正四面体放置在正方体中，如图，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
，
，即的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正四面体的外接球，考查化归与转化思想，训练了分割补形法，考查运算求解能力，属于难题．