新教材高一数学必修第二册暑假作业第10练《空间点、直线、平面的位置关系》（2份打包，解析版+原卷版）

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第10练 空间点、直线、平面的位置关系

【知识梳理】
知识点一 平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．

2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

知识点二 平行公理
【知识点的知识】
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
知识点三 异面直线的判定
【知识点的知识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
知识点四 空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个

平行直线
在同一平面内
无

异面直线
不同时在任何一个平面内
无

















一．选择题（共6小题）
1．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列直线中与直线相交的是　　

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【分析】根据异面直线的定义，首先看、、、四个选项是否与共面，排除，又因为与不平行，所以与相交．
【解答】解：

选项，、分别为、的中点，所以，即，所以四点共面，因为，所以与相交，故正确；
选项，因为平面，平面，所以与没有公共点，故错误；
选项，因为平面，不过点，与异面，故错误；
选项，因为平面，平面，所以与没有公共点，故错误；
故选：．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于基础题和易错题．
2．在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则下列说法正确的是　　

A．所得截面是六边形
B．截面过棱的中点
C．截面不经过点
D．截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点
【分析】根据给定条件，作出，，三点的正方体的截面，再逐项推理判断解答．
【解答】解：在正方体中，依题意直线与直线交于点，
由题意得，
直线交的延长线于点，则有，如图，

连接，，则有，
而平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，则平面与平在必有一条交线，
此交线平行于，也平行于，
连接，，平面，则四边形蛱行四边形，，
即平面平面，
点是平面和平面的截面的一个顶点，
连接，交、分别于点，，
连接，，则五边形是平面截正方体所得截面，故错误；
由，得，，故错误；
由，得，，
则截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查平面的基本事件及推论等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
3．已知正方体棱长为2，，，分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为　　
A． B． C． D．
【分析】利用平面基本性质作出正方体中的截面图，再由正方体的特征判断截面的性质，即可求周长．
【解答】解：过直线与射线，分别交于，，作射线交于，于，，
连接交，于，，如下图示：
所以六边形即为面截正方体所得的多边形，
又，，分别是棱、、的中点，易知：，，均为中点，
所以截面为正六边形，故周长为．
故选：．

【点评】本题考查的是空间图形截面图的面积，根据平面的性质，作出正方体的截面是本题的关键．
4．正方体中，点，，，是其所在棱的中点，则与是异面直线的图形是　　
A． B．
C． D．
【分析】对于；利用两平行线确定一个平面可以证明直线与共面．对于：利用异面直线的判定定理可以判断直线与异面．
【解答】解：对于：如图示：

在正方体中，连结，，则．
因为点，，，是其所在棱的中点，由三角形的中位线定理可得：，．
由平行公理可得：．故直线与共面．故错误；
对于：由异面直线的判定定理可以判断直线与异面．故正确；
对于：如图示：

在正方体中，连结，，．则．
因为点，，，是其所在棱的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
由三角形的中位线定理可得：．
由平行公理可得：．故直线与共面．故错误；
对于：如图示：

在正方体中，连结，，，．则．
因为且，所以四边形为平行四边形，所以．
因为点，，，是其所在棱的中点，由三角形的中位线定理可得：，．
由平行公理可得：．故直线与共面．故错误；
故选：．
【点评】本题考查异面直线的判定，考查学生的推理能力，属于中档题．
5．给出下列判断，其中正确的是　　
A．三点确定唯一一个平面
B．空间中两两相交的三条直线在同一个平面内
C．过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行
D．过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直
【分析】直接利用平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用判定、、、的结论．
【解答】解：不共线三点确定一个平面，共线的三点确定无数个平面，故错误，
空间中两两相交但是不经过同一点的直线在同一个平面内，故错误，
过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行，故正确，
过直线外一点有无数条直线与该直线垂直，故错误，
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．
6．若，，则直线，的位置关系是　　
A．平行或异面 B．平行或相交
C．相交或异面 D．平行、相交或异面
【分析】列举正方体，借助正方体中线与线，线与面的位置关系进行分析，即可．
【解答】解：在正方体中，，分别为棱和的中点，
假设为平面，
当为，为时，满足，，此时；
当为，为时，满足，，此时与相交；
当为，为时，满足，，此时与异面，
综上，直线，的位置关系是平行，相交或异面．

故选：．

【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，理解线与线，线与面的位置关系是解题的关键，考查空间立体感，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
7．下面四个条件中，能确定一个平面的是　　
A．空间中任意三点 B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线 D．两条平行的直线
【分析】利用平面的基本性质判断选项的正误即可．
【解答】解：空间中任意三点，当三点共线时，不能确定一个平面，所以不正确；
一条直线和一个点，如果点在直线上，不能确定一个平面，所以不正确；
由平面的基本性质可知：两条相交的直线，两条平行的直线，能确定一个平面，所以正确；
故选：．
【点评】本题考查平面的基本性质的应用，是基础题．
8．如图，已知正方体，，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是　　

A． B．
C．与所成的角为 D．与为异面直线
【分析】由异面直线定义可知正误；
证得平面后，利用线面垂直性质可知正确；
由可知所求角为，由长度关系可得，知正确．
【解答】解：对于，平面，，，平面，
与是异面直线，错误；
对于，，，，，平面，
平面，又平面，，正确；
对于，，即为异面直线与所成的角，
，△为等边三角形，，正确；
对于，，平面，，平面，
与为异面直线，正确．
故选：．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
9．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有　　

A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
【分析】根据异面直线的定义，判定空间中直线是异面还是共面即可．
【解答】解：选项，、、、四点不共面，
直线与是异面直线，故选项错误；
选项，直线与不同在任何一个平面，
直线与是异面直线，故选项正确；
选项，取的中点，连接、，则有，

与交于点，与 不平行，则与不平行，故选项错误；
选项，，，
、、、四点共面，
直线与共面，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查的是空间中直线与直线的位置关系，根据定义判定直线与直线平行、相交、异面是解决本题的关键，属基础题．
10．下列命题中正确的有　　
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中垂直于同一直线的两直线平行
C．空间中，两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据基本事实4判断，通过举例判断，，根据平行四边形的定义判断．
【解答】解：由基本事实4可得空间中平行于同一直线的两直线平行，正确，
如下图，，而，相交，故错误，
空间四边形中，，故错误，

若四边形的对边，则四边形为平面四边形，又故四边形为平行四边形，正确，
故选：．
【点评】本题主要考查空间几何体的特征，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
11．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有　　
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【分析】根据公理平行线的传递性，等角定理，举反例可得正确选项．
【解答】解：对选项，由公理平行线的传递性，可得选项正确；
对选项，例如正方体一个顶点的三条棱两两相互垂直，选项错误；
对选项，根据空间中等角定理，可得选项正确；
对选项，如图正方体中易知：，，且，，
选项错误．
故选：．

【点评】本题考查公理平行线的传递性，等角定理，属基础题．
三．填空题（共3小题）
12．如图，在正方体中，为棱的中点，为棱上的一点（不包含端点），且，过点，，作该正方体的截面．若所得截面是五边形，则的取值范围是 　　．

【分析】分和两种情况分别作出截面，即可判断．
【解答】解：首先连接，因为平行平面被第三截面所截时，交线平行，
所以当时，如图1，点在线段上，截面为平行四边形；
当时，如图2，截面为五边形，
故的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，利用平面的基本性质，找出过、、三点的截面图是解决本题的关键．
13．已知直线，和平面满足，，则与的位置关系为 　异面或平行　．
【分析】，，则与没有公共点，所以与异面或平行．
【解答】解：如图所示，，，
则则与没有公共点，所以与异面或平行，

故答案为：异面或平行．
【点评】本题主要考查空间中直线与直线直接的位置关系，直线与平面的位置关系等知识，属于基础题．
14．在棱长为2的正方体中，点、分别为棱、的中点，过点、、作平面截正方体的表面所得图形的面积为 　　．
【分析】先作出截面，判断出四边形为等腰梯形，求出梯形的高，即可求出面积．
【解答】解：如图，依次连接，，，，四边形即为所求截面，

因为点、分别为棱、的中点，所以，
又，故四边形为等腰梯形，
又，过作于，
易知，故，
则四边形的面积为．
故答案为：．

【点评】本题考查了正方体中截面面积的计算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
15．如图，在四面体中，，分别为，的中点，点在上，点在上，且有，．求证：，，交于一点．

【分析】由、分别为、的中点可得；由，可得；根据此可得．再由，可得与相交，交点应该在两平面的交线上，即可证明．
【解答】证明：连接、，因为、分别为、的中点，
所以；
又因为，，
所以；
所以．
所以、、、四点共面．
又因为与不能平行，
所以与相交，设交点为．
则面，面，而平面平面，
所以、、交于一点．
【点评】本题主要考查了直线与平面的应用问题，重点考查了“若两平面相交，则必产生一条交线，此时两面内各有一条直线，若他们相交，则交点必在交线上”这个小结论，是中档题．
16．如图，在长方体中，，分别是和的中点．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）证明：，，三线共点．

【分析】（1）连接，，，易得，再由，得到 证明；
（2）由直线和相交，延长，，设它们相交于点，然后再论证平面，平面即可．
【解答】证明：（1）如图，连接，，，

是△的中位线，，
与平行且相等，四边形是平行四边形，
，，
，，，四点共面；
（2），且，直线和相交，
延长，，设它们相交于点，
直线，直线平面，平面，
直线，直线平面，平面，
平面平面，，
，，三线共点．

【点评】本题考查了四点共面和三线共点的证明，属于中档题．
17．如图，已知在三棱锥中，平面，，，分别为，，的中点，且．
（1）求证：；
（2）设平面与交于点，求证：为的中点．

【分析】（1）要证明，只需证明平面 即可；（2）易得平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到，从而获得证明．
【解答】解：（1）证明：因为平面，平面，
所以．
因为，
所以，
所以点在以为直径的圆上，
所以．
又因为，平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
（2）证明：因为平面 与 交于点，所以平面．
因为， 分别为， 的中点
所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为平面，平面平面
所以，
又因为 是 的中点，
所以 为的中点．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题．
18．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
（1），，，四点共面；
（2）与的交点在直线上．

【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面．
（2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上．
【解答】证明：（1），
，
，分别为，的中点，，
，
，，，四点共面．
（2）、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，
，
与的交点在直线上．
【点评】本题考查四点共面的证明，考查两直线的交点在直线上的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．

一．选择题（共4小题）
19．正方体中，点，，，是其所在棱的中点，则与是异面直线的图形是　　
A． B．
C． D．
【分析】对于；利用两平行线确定一个平面可以证明直线与共面．对于：利用异面直线的判定定理可以判断直线与异面．
【解答】解：对于：如图示：

在正方体中，连结，，则．
因为点，，，是其所在棱的中点，由三角形的中位线定理可得：，．
由平行公理可得：．故直线与共面．故错误；
对于：由异面直线的判定定理可以判断直线与异面．故正确；
对于：如图示：

在正方体中，连结，，．则．
因为点，，，是其所在棱的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
由三角形的中位线定理可得：．
由平行公理可得：．故直线与共面．故错误；
对于：如图示：

在正方体中，连结，，，．则．
因为且，所以四边形为平行四边形，所以．
因为点，，，是其所在棱的中点，由三角形的中位线定理可得：，．
由平行公理可得：．故直线与共面．故错误；
故选：．
【点评】本题考查异面直线的判定，考查学生的推理能力，属于中档题．
20．在正方体中，，为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为　　
A． B． C．4 D．
【分析】取的中点，连接，，则，平面，从而平面截正方体的截面为等腰梯形，由此能求出截面面积．
【解答】解：取的中点，连接，，则，

平面，平面，平面，
，，
平面截正方体的截面为等腰梯形，
等腰梯形的上底为，下底长为，高为，
则截面面积为．
故选：．

【点评】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．已知两条不同的直线，和平面，下列结论正确的是　　
①，，则；
②，，则；
③，，则；
④与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，则．
A．①③ B．①② C．②③ D．①④
【分析】在①中，由线面垂直的判定定理得；在②中，与相交、平行或异面；在③中，由线面垂直的判定定理得；在④中，与相交、平行或异面．
【解答】解：由两条不同的直线，和平面，知：
在①中，，，则由线面垂直的判定定理得，故①正确；
在②中，，，则与相交、平行或异面，故②错误；
在③中，，，则由线面垂直的判定定理得，故③正确；
在④中，与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，
则与相交、平行或异面，故④错误．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
22．如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是　　

A．与是两条相交直线 B．平面
C． D．，，，四点共面
【分析】利用异面直线的判定定理，即可判断选项，，，利用线面平行的判定定理即可判断选项．
【解答】解：在直四棱柱中，
由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误；
因为，平面，平面，
所以平面，故选项正确；
由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误；
由异面直线的判定定理可知，与是异面直线，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，线面平行的判定定理的应用以及异面直线判定定理的应用，考查空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
23．平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【分析】结合特殊的平行四边形对选项进行分析，从而能确定有可能与直线垂直的直线．
【解答】解：对于，若，如图，
当平面与平面垂直时，平面与平面的交线为，且，
则平面，，故正确；
对于，当时，在翻折过程中，可以取从到的范围，
而，即直线与直线所成角为，存在，故正确；
对于，，为锐角，为锐角，故错误；
对于，，则，是锐角，故错误．
故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查面面垂直的性质、空间中的翻折问题、空间角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．解答题（共2小题）
24．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
（1），，，四点共面；
（2）与的交点在直线上．

【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面．
（2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上．
【解答】证明：（1），
，
，分别为，的中点，，
，
，，，四点共面．
（2）、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，
，
与的交点在直线上．
【点评】本题考查四点共面的证明，考查两直线的交点在直线上的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．
25．如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点，
求证：（1）、、三点共线
（2）、、、四点共面
（3）、、三线共点．

【分析】（1）利用、、三点在平面与平面的交线上，证明三点共线；
（2）利用，证明、、、四点共面；
（3）证明与的交点在平面与平面的交线上即可．
【解答】证明：（1）平面，，平面；
又平面，平面；
、交于点，，；
又平面，平面，
平面，平面；
又平面，平面；
、、三点在平面与平面的交线上，
、、三点共线；
（2）为的中点，为的中点，
，
又，，
四边形是平行四边形，
；
，
、、、四点共面；
（3）平面平面，
设与交于一点，则：
，平面，
平面；
同理，平面，
平面平面，
直线、、三线交于一点，
即三线共点．
【点评】本题考查了空间中的点共线，线共点以及线共面的证明问题，是基础题目．



一．选择题（共1小题）
26．已知、为异面直线，则下列命题正确的是　　
A．过直线、外一点一定可以作一条与、都平行的直线
B．过直线、外一点一定可以作一个与、都平行的平面
C．过直线一定可以作一个与直线平行的平面
D．过直线一定可以作一个与直线垂直的平面
【分析】用反证法说明，为异面直线时，过，外一点引一条直线与，不能都平行；
当、为异面直线时，过两直线外一点作平面，该平面可能与、都平行，这样的平面也可能不存在；
当、为异面直线时，过作与平行的平面有且只有一个；
当、为异面直线时，过作一个平面可能与垂直，也可能与不垂直．
【解答】解：对于，当，为异面直线，假设过，外一点引一条直线与，都平行，
即，，
，这与、是异面直线矛盾，
假设不成立，即错误；
对于，、为异面直线，
、不平行，
过做的平行线有且只有一条，设为，
过做的平行线有且只有一条设为，
则、的平行线只能组成一个平面，设为平面；
①如果恰好和相交或者与相交，即当或者正好在平面内时，过且与、都平行的平面不存在；
②如果不与相交或者不与相交，过且与、都平行的平面有且只有一个；
故错误；
对于，、为异面直线，
、不平行，
在上任取一点，过点作直线，是唯一的，
又，
由、确定的平面也是唯一的，
，
正确；
对于，、为异面直线，但与不一定垂直，
过作一个平面可能与垂直，也可能与平行，
错误，
故选：．
【点评】本题考查了空间中的位置关系的应用问题．考查了异面直线的概念与应用问题，也考查了空间中的平行与垂直的判断问题，是综合题目．
二．填空题（共2小题）
27．如图，在直三棱柱中，点为棱上的点．且平面，则　1　，已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为　　．

【分析】取的中点为，分别连结和，利用面面平行的性质定理证明，可证明四边形为平行四边形，进而可得为的中点，进一步计算可得的值；球面与侧面的交线长，即截面圆的弦长，通过分析计算可得△为等边三角形，进而可求出的长．
【解答】解：取的中点为，分别连结和，
细查题意，只有当为的中点时才满足题意，原因如下；
当为的中点时，，，，，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面，
因为平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又，
所以四边形为平行四边形，
所以，即为的中点，
所以；
球面与侧面的交线长，即截面圆的弦长，
因为，，
，即，易得，
取的中点为，故可得，
因为平面平面，平面，
所以平面，
圆心距，设交线的轨迹为，，
截面圆半径，
又因为，所以△为等边三角形，
所以弧．
故答案为：1；．

【点评】本题考查了空间知识的综合应用，涉及了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理，综合性强，对知识的广度和深度都有较高的要求．
28．如图，在四面体中，，，，用平行于，的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面积的最大值为 　　

【分析】由直线平行于平面，且平面交平面于，所以，同理，，，所以，．四边形为平行四边形．又，的对称性，可知．从而四边形为矩形．建立二次函数关系求解四边形面积的最大值．
【解答】解：直线平行于平面，且平面交平面于，，
同理：，，，所以：，．
故：四边形为平行四边形．
又，的对称性，可知．
四边形为矩形．
设，
，

，
根据二次函数的性质可知：面积的最大值为．
故答案为：．

【点评】本题考查了四面体中的对称性来证明四边形是矩形．同时考查了动点的问题以及灵活性的运用，属于中档题．