新教材高一数学必修第二册暑假作业第12练《空间直线、平面的垂直》（2份打包，解析版+原卷版）

第12练  空间直线、平面的垂直

【知识梳理】

知识点一 直线与平面垂直

【知识点的认识】

直线与平面垂直：

   如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．

直线与平面垂直的判定：

（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．

（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：

①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b

②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．

知识点二 平面与平面垂直

【知识点的认识】

平面与平面垂直的判定：

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：

性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．

性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．

一．选择题（共7小题）

1．平面平面，直线，则　　

A． B． C．与相交 D．以上都有可能

2．在正方体中，，分别为，的中点，则　　

A．平面平面 B．平面平面 

C．平面平面 D．平面平面

3．已知，是两个不同平面，是空间中的直线，若，则“”是”的　　

A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知平面和直线有交点，则“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线，，使得且”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知直线和平面，满足，，则　　

A． B．或 C． D．

6．已知，是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知，为空间中的两个平面，，为两条异面直线，且平面，平面．若直线满足，，，，则　　

A．， B．与相交，且交线垂直于 

C．， D．与相交，且交线平行于

二．多选题（共4小题）

8．在所有棱长都相等的正三棱柱中，点是三棱柱的顶点，，、是所在棱的中点，则下列选项中直线与直线垂直的是　　

A． B． 

C． D．

9．在三棱锥中，，，、、分别为、、的中点，则以下结论正确的是　　

A．平面平面 

B．平面平面 

C．平面 

D．三棱锥的外接球表面积为

10．已知空间中的两条直线，和两个平面，，则的充分条件是　　

A．， B．，， C．，， D．，，

11．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是　　

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，则

三．填空题（共4小题）

12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，底面，．设是线段上一动点，下面有四条结论：

①无论在什么位置，面；

②无论在什么位置，面面；

③点到平面的最小距离是；

④直线与平面的最大夹角是．

以上正确结论的序号是 　　．

13．如图，在棱长为1的正方体中，点、、分别为棱、、的中点，是底面上的一点，若平面，则下面的4个判断

①点的轨迹是一段长度为的线段；

②线段的最小值为；

③；

④与一定异面．

其中正确判断的序号为 　　．

14．在长方体中，已知，，若在线段上存在点，使得，则实数的取值范围是 　　．

15．已知所在的平面，且，连接，，则图中直角三角形的个数是　　．

四．解答题（共5小题）

16．已知几何体如图所示，其中四边形为矩形，为等边三角形，且，，，点为棱的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

17．如图，四棱锥的底面是平行四边形，设平面与平面的交线为直线．

（1）证明：平面；

（2）若平面，，，，证明：平面平面．

18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为，的中点，．

（1）证明：平面平面；

（2）若与所成角为，求三棱锥的体积．

19．如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，分别是，的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求点到平面的距离．

20．如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．

（1）证明：平面平面；

（2）设为侧棱上的点，若平面与平面夹角的余弦值为，求点到直线距离．

一．选择题（共5小题）

21．在四棱锥中，面，底面为正方形，且，过点作的垂面分别交，，于点，，，则四边形的面积为　　

A． B． C． D．

22．在正方体中，为底面的中心，为的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是　　

A．平面 

B．平面 

C．平面平面 

D．三棱锥的外接球体积为

23．如图，已知三棱柱的底面为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列判断不正确的是　　

A． B．与是异面直线 

C．面面 D．面

24．如图正方体中，，则下列说法不正确的是　　

A．时，平面平面 

B．时，平面平面 

C．面积最大时， 

D．面积最小时，

25．，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是　　

A．若，，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，则

二．解答题（共1小题）

26．如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点．

（1）证明：平面平面．

（2）求三棱锥的体积．

一．选择题（共1小题）

27．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段等于　　

A． B． C． D．

二．填空题（共1小题）

28．如图，平面，为中点，，，点为平面内动点，且到直线的距离为，则的最大值为 　　．

三．解答题（共4小题）

29．如图所示，在三棱柱中，，，，点在平面的射影为点．

（1）求证：；

（2）若点在平面上运动，求的最小值．

30．如图，在三棱锥中，底面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．

31．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：

（1）底面；

（2）平面平面；

（3）平面平面．

32．如图，在三棱锥中，平面，点、分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为．

（1）求证：平面平面．

（2）求二面角的平面角的正切值．