高考数学统考一轮复习第4章三角函数解三角形第6节正弦定理余弦定理学案

　正弦定理、余弦定理

[考试要求]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．

2．三角形常用面积公式

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

1．三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．

4．三角形中的大角对大边

在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比． (　　)

(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B． (　　)

(3)在△ABC中，＝. (　　)

(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．              (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、教材习题衍生

1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)

A．2　　　　B．1　　　　C．　　　　D．

D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]

2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5，

由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－.

又因为∠BAC是△ABC的内角，

所以∠BAC＝，故选C．]

3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为        ．

等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，

即sin 2A＝sin 2B，

所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则b＝        .

7　[S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin ＝a＝，解得a＝3.

∴b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，

∴b＝7.]

考点一　利用正、余弦定理解三角形             

[典例1]　(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．

(1)求A；

(2)若a＋b＝2c，求sin C．

[解]　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得cos A＝＝.

因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.

(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.

由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，

故sin C＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.

点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C或C＝π－m－B，由此可消去B或C．

1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)

A．6    B．5    C．4    D．3

A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，

∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.

故选A．]

2．[结构不良试题](2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，        ？

[解]　方案一：选条件①.

由C＝和余弦定理得＝.

由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.

于是＝，由此可得b＝c.

由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.

方案二：选条件②.

由C＝和余弦定理得＝.

由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.

由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.

方案三：选条件③.

由C＝和余弦定理得＝.

由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.

于是＝，由此可得b＝c.

由③c＝b，与b＝c矛盾．

因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

考点二　利用正、余弦定理解决三角形面积问题

[典例2]　(1)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则a＋b＝        .

(2)(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.

①若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；

②若sin A＋sin C＝，求C．

(1)　[由(3b－a)cos C＝ccos A，得3sin Bcos C－sin Acos C＝sin Ccos A，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，又sin B≠0，所以cos C＝，得sin C＝.由S△ABC＝absin C＝3，得ab×＝3，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得ab＝a2＋b2－ab.

∴a2＋b2＝ab＝×9＝15，即a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝.]

(2)[解]　①由题设及余弦定理，

得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，

解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.

因此△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.

②在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，

所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)，

故sin(30°＋C)＝.

而0°<C<30°，所以30°＜30°＋C＜60°，

所以30°＋C＝45°，故C＝15°.

1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为        ．

　[因为a2＋b2－c2＝ab，

所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin ＝.]

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B．

(1)证明：A＝2B；

(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

[解]　(1)证明：由正弦定理得

sin B＋sin C＝2sin Acos B，

故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)

＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，

于是sin B＝sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，

所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，

因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B．

(2)由S＝，得absin C＝，

故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，

由sin B≠0，得sin C＝cos B．

又B，C∈(0，π)．所以C＝±B．

当B＋C＝时，A＝；

当C－B＝时，A＝.

综上，A＝或A＝.

考点三　判断三角形的形状    

[典例3]　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．不确定

(2)在△ABC中，已知a－b＝ccos B－ccos A．

①判断△ABC的形状；

②若C＝120°，a＝2，求c.

(1)B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，

即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A．

∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，

∴sin A＝1，

即A＝，∴△ABC为直角三角形．]

(2)[解]　①由正弦定理＝＝及a－b＝ccos B－ccos A，

可得：sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A，

可得：sin(B＋C)－sin(A＋C)＝sin Ccos B－sin Ccos A，

可得：sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－sin Ccos A，

可得：sin Bcos C－sin Acos C＝0，

则cos C(sin B－sin A)＝0，

则cos C＝0或sin B－sin A＝0，

所以C＝90°或A＝B，

所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．

②因为C＝120°，则△ABC为等腰三角形，从而a＝b＝2，

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝4＋4－2×2×2×cos 120°，

所以c＝2.

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形   B．等腰非等边三角形

C．等边三角形   D．钝角三角形

C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]

2．在△ABC中，已知sin Bsin C＝cos2，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形   B．等腰三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

B　[∵sin Bsin C＝cos2＝，

∴2sin Bsin C＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＋1，

∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝cos(B－C)＝1，

∵－π＜B－C＜π，

∴B－C＝0，B＝C，

∴三角形为等腰三角形，故选B．]