高考数学统考一轮复习第6章数列第1节数列的概念与简单表示法学案

这是一份高考数学统考一轮复习第6章数列第1节数列的概念与简单表示法学案，共8页。

[考试要求] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f (n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
5．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )
(3)任何一个数列都有唯一的通项公式．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．数列－1，eq \f (1,2)，－eq \f (1,3)，eq \f (1,4)，－eq \f (1,5)，…的一个通项公式为( )
A．an＝±eq \f (1,n) B．an＝(－1)n·eq \f (1,n)
C．an＝(－1)n＋1eq \f (1,n) D．an＝eq \f (1,n)
B [由a1＝－1，代入检验可知选B．]
2．在数列{an}中，已知a1＝－eq \f (1,4)，an＋1＝1－eq \f (1,an)，则a3＝( )
A．－3 B．eq \f (2,3) C．5 D．eq \f (4,5)
D [a2＝1－eq \f (1,a1)＝5，a3＝1－eq \f (1,a2)＝1－eq \f (1,5)＝eq \f (4,5).]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ .
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*)) [当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))]
4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .
5n－4 [由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.]
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
[典例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝ .
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ .
(1)4n－5 (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f (2n－1,n)，n≥2)) [(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)当n＝1时， a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝eq \f (2n－1,n)(n≥2).
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f (2n－1,n)，n≥2.))]
点评：Sn与an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．
eq \([跟进训练])
已知正项数列{an}中，eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝eq \f (nn＋1,2)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝eq \f (n,2) D．an＝eq \f (n2,2)
B [∵eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝eq \f (nn＋1,2)，
∴eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an－1)＝eq \f (nn－1,2)(n≥2)，
两式相减得eq \r(an)＝eq \f (nn＋1,2)－eq \f (nn－1,2)＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)，①
又当n＝1时，eq \r(a1)＝eq \f (1×2,2)＝1，a1＝1，适合①式，
∴an＝n2，n∈N*.故选B．]
考点二 由递推关系求通项公式

由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[典例2] (1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f (n－1,n)an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
(1)an＝eq \f (n2＋n,2) (2)an＝eq \f (1,n) (3)an＝2·3n－1－1 [(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq \f (n－12＋n,2)＝eq \f (n2＋n－2,2).
∵a1＝1，∴an＝eq \f (n2＋n,2)(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝eq \f (n2＋n,2).
(2)∵an＝eq \f (n－1,n)an－1(n≥2)，
∴an－1＝eq \f (n－2,n－1)an－2，an－2＝eq \f (n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq \f (1,2)a1.
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1·eq \f (1,2)·eq \f (2,3)·…·eq \f (n－1,n)＝eq \f (a1,n)＝eq \f (1,n).
当n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝eq \f (1,n).
(3)∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴eq \f (an＋1＋1,an＋1)＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.]
点评：由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择不同的方法求解，但要理解如累加(积)法可类比等差(比)数列通项的求解方式得出，而构造法可结合等差(比)数列的定义求解．
eq \([跟进训练])
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq \f (2an,an＋2)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝ .
eq \f (2,n) [∵an＋1＝eq \f (2an,an＋2)，a1＝2，∴an≠0，
∴eq \f (1,an＋1)＝eq \f (1,an)＋eq \f (1,2)，即eq \f (1,an＋1)－eq \f (1,an)＝eq \f (1,2)，
又a1＝2，则eq \f (1,a1)＝eq \f (1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f (1,an)))是以eq \f (1,2)为首项，eq \f (1,2)为公差的等差数列．
∴eq \f (1,an)＝eq \f (1,a1)＋(n－1)×eq \f (1,2)＝eq \f (n,2)，∴an＝eq \f (2,n).]
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ .
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f (1,2)))·2n [∵an＋1＝2an＋2n＋1，∴两边同除以2n＋1，得eq \f (an＋1,2n＋1)＝eq \f (an,2n)＋1.
又a1＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f (an,2n)))是以首项为eq \f (1,2)，公差为1的等差数列，
∴eq \f (an,2n)＝eq \f (1,2)＋(n－1)×1＝n－eq \f (1,2).
即an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f (1,2)))·2n.]
考点三 数列的性质
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1,an≥an＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1,an≤an＋1))))求出n的值，进而求得an的最值．
[典例3] (1)已知数列{an}满足an＋1＝eq \f (1,1－an)，若a1＝eq \f (1,2)，则a2 020＝( )
A．－1 B．eq \f (1,2) C．1 D．2
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(n)，则数列{an}中的最大项为( )
A．eq \f (8,9) B．eq \f (2,3) C．eq \f (64,81) D．eq \f (125,243)
(3)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是 ．
(1)B (2)A (3) (－3，＋∞) [(1)由a1＝eq \f (1,2)，an＋1＝eq \f (1,1－an)，得a2＝eq \f (1,1－a1)＝2，
a3＝eq \f (1,1－a2)＝－1，a4＝eq \f (1,1－a3)＝eq \f (1,2)，a5＝eq \f (1,1－a4)＝2，…，
于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 020＝a3×673＋1＝a1＝eq \f (1,2).
(2)法一：(作差比较法)
an＋1－an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(n＋1)－neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(n)＝eq \f (2－n,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(n)，
当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1所以a1a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，
且a2＝a3＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f (8,9).故选A．
法二：(作商比较法)
eq \f (an＋1,an)＝eq \f (n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(n＋1),n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(n))＝eq \f (2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f (1,n)))，
令eq \f (an＋1,an)>1，解得n<2；
令eq \f (an＋1,an)＝1，解得n＝2；
令eq \f (an＋1,an)<1，解得n>2.
又an>0，故a1a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，
且a2＝a3＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f (8,9).故选A．
(3)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，
又∵通项公式an＝n2＋kn＋4，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，
即k＞－1－2n，又n∈N*，
∴k＞－3.]
点评：(1)当待求的特定项am中m较大时，常考虑数列的周期性．
(2)数列的单调性常借助作差(商)法求得，这一点有别于函数的单调性，因为数列是离散的，故本例(3)在求参数k的范围时务必要小心．
eq \([跟进训练])
1．(2020·六安模拟)数列{an}的通项公式是an＝(n＋2).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (9,10)))eq \s\up12(n)，那么在此数列中( )
A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大
C．有唯一项a8最大 D．有唯一项a7最大
A [∵eq \f (an＋1,an)＝eq \f (n＋3,n＋2)×eq \f (9,10)，
令eq \f (an＋1,an)≥1，即eq \f (9n＋3,10n＋2)≥1，解得n≤7.
∴当n≤7时，数列{an}递增，当n＞7时，数列{an}递减，
即a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞…
所以a7＝a8最大，故选A．]
2．(2020·雅礼中学模拟)在数列{an}中，a1＝a，an＋1＝2an－1，若{an}为递增数列，则a的取值范围为( )
A．a＞0 B．a＞1
C．a＞2 D．a＞3
B [∵an＋1＝2an－1，
∴an＋1－1＝2(an－1)，∴eq \f (an＋1－1,an－1)＝2，
又∵a1－1＝a－1，∴数列{an－1}是首项为a－1，公比为2的等比数列，∴an－1＝(a－1)2n－1，
∴an＝(a－1)2n－1＋1，又∵{an}为递增数列，
∴an＋1－an＝(a－1)2n－(a－1)2n－1＝eq \f (1,2)(a－1)2n＞0，
∴a－1＞0，∴a＞1，故选B．]
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分.
2.考查内容
(1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主.
(2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等.
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系
分类
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an