高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

　平面向量的数量积与平面向量应用举例

[考试要求]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．

2．平面向量的数量积

3.平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a；

(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．

提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

3．a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量． (　　)

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． (　　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.  (　　)

(4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材习题衍生

1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)

A．(－15,12)   B．0

C．－3   D．－11

C　[∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.]

2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(　　)

A．13＋6    B．2    C．    D．

D　[∵a＝(1,1)，∴|a|＝＝.

∴a·b＝|a||b|cos 45°＝2×＝2.

∴|3a＋b|＝

＝

＝.故选D．]

3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝        .

8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，

∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得

(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]

4．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ＝        ，a在b方向上的投影为        ．

　－　[cos θ＝＝＝－.

又因为0≤θ≤π，所以θ＝.a在b方向上的投影为＝＝－.]

考点一　平面向量数量积的运算              

[典例1]　(1)已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，若E，F分别为AB，BC的中点，则·＝(　　)

A．8    B．10    C．12    D．14

(2)已知两个单位向量a与b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为        ．

(1)B　(2)　[(1)法一：(定义法)根据题意，得·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋2×1×cos 0＋2×4×cos 0＋0＝10.

法二：(坐标法)

以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)．

∵E，F分别为AB，BC的中点，∴E(2,0)，F(4,1)．

∵＝(2，－2)，＝(4，－1)，

∴·＝2×4＋(－2)×(－1)＝10.

(2)由两个单位向量a和b的夹角为60°，可得a·b＝1×1×＝，

所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－＝，

所以向量a－b在向量a方向上的投影为＝＝.]

点评：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．

1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　)

A．    B．6    C．12    D．18

D　[如图，过点O作OD⊥AB于D，

可知AD＝AB＝3，

则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18.]

2．(2020·成都模拟)在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝        .

24　[法一：(定义法)·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.

法二：(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，

则N(4,6)，M(8,4)．

所以＝(8,4)，＝(4，－2)，

所以·＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.]

考点二　平面向量数量积的应用              

　平面向量的模

[典例2－1]　(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于(　　)

A．2    B．4    C．6    D．8

(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为        ．

(1)A　(2)5　[(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，

所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.

(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．

所以|＋3|

＝(0≤y≤b)．

当y＝b时，|＋3|min＝5.]

点评：求向量模的最值(范围)的方法

(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；

(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．

　平面向量的夹角

[典例2－2]　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A．    B．    C．    D．

(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是        ．

(1)B　(2)∪　[(1)法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故选B．

法二：如图，令＝a，＝b，则＝－＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，

又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即〈a，b〉＝.故选B．

(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，

所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，

所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是∪.]

点评：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．

　两个向量垂直问题

[典例2－3]　(1)(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)

A．a＋2b    B．2a＋b    C．a－2b    D．2a－b

(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为        ．

(1)D　(2)　[(1)法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D．

法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D．

(2)因为⊥，所以·＝0.

又＝λ＋，＝－，

所以(λ＋)·(－)＝0，

即(λ－1)·－λ2＋2＝0，

所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.

所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.]

点评：解答本例(2)的关键是的转化，考虑到＝λ＋，且与的夹角为120°，故＝－.从而⊥可转化为·＝0，即(λ＋)·(－)＝0.

1．(2020·南宁模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝.

又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝，

所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，

所以a＋2b与b的夹角为.故选A．]

2．(2020·福州模拟)已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)

A．    B．    C．6    D．4

A　[因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与的夹角为60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3，

所以·＝(－)·(m＋n)

＝(m－n)·－m||2＋n||2

＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A．]

3．(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝        .

　[∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，

∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝.]

考点三　平面向量的应用                

　平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．

[典例3]　(1)设P是△ABC所在平面内一点，若·(＋)＝2·，且2＝2－2·，则点P是△ABC的(　　)

A．外心    B．内心    C．重心    D．垂心

(2)在△ABC中，＝(sin x，sin x)，＝(－sin x，cos x)．

①设f (x)＝·，若f (A)＝0，求角A的值；

②若对任意的实数t，恒有|－t|≥||，求△ABC面积的最大值．

(1)A　[由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，

所以·(＋)＝0.

设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.

由2＝2－2·，得

(＋)·(－)＝－2·，

即(＋－2)·＝0.

设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，则2·＝0，

故·＝0.

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，

所以P是△ABC的外心．故选A．]

(2)[解]　①f (x)＝·＝－sin2 x＋sin xcos x＝－×＋＝sin－.∵f (A)＝0，∴sin＝.

又∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.

②如图，设＝t，则－t＝，

即||≥||恒成立，∴AC⊥BC．

∵||＝＝≤2，||＝1，

∴||＝≤，

∴△ABC的面积S＝BC·AC≤，当且仅当cos 2x＝0，即x＝＋kπ，k∈Z时等号成立，∴△ABC面积的最大值为.

点评：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心

(1)||＝||＝||(或2＝2＝2)⇔O是△ABC的内心；

(2)＋＋＝0⇔O是△ABC的重心；

(3)·＝·＝·⇔O是△ABC的垂心；

(4)·＝·＝·⇔O是△ABC的内心．

1．(2020·济南一模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(　　)

(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)

A．63    B．69    C．75    D．81

B　[设该学生两只胳膊的拉力分别为F1，F2，由题意知，|F1|＝|F2|＝400，夹角θ＝60°，

所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)．

所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002，

|G|＝400(N)，则该学生的体重约为40＝40×1.732≈69(kg)，故选B．]

2．在△ABC中，·＝3，其面积S∈，则与夹角的取值范围为(　　)

A．   B．

C．   D．

C　[设与夹角为θ，∵·＝3，

∴||||cos θ＝3，

即||||＝.

又S∈，故≤||||sin(π－θ)≤，

所以≤tan θ≤，即≤tan θ≤.

又θ∈[0，π]，∴≤θ≤.故选C．]

　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)

A．－2    B．－    C．－    D．－1

B　[法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，

图①

则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝＝，

当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－.

法二：(坐标法)如图②，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.]

图②

[评析]　设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]；极化恒等式的几何意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则·＝AD2－BD2.

具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A·A的取值范围是(　　)

A．(－2,6)   B．(－6,2)

C．(－2,4)   D．(－4,6)

A　[·＝||·||·cos∠PAB＝2||·cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A．]

2．在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是        ．

－　[法一：(极化恒等式)如图①，取OB的中点D，连接PD，则·＝PD2－OD2＝PD2－，即求PD的最小值．

图①

由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝，

则·的最小值是－.

法二：(坐标法)以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，

图②

则A，O，B，

可得直线AB的方程为2x＋y＝1，

设P，

则＝，

＝，

所以·＝4x2－3x＋＝4－，

当x＝时，·的最小值是－.]

(2020·赣州模拟)已知平面向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝1，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则cos θ＝(　　)

A．    B．    C．±    D．0

B　[法一：(函数法)根据题意，|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为θ，则a·b＝2cos θ，若对任意的正实数λ，|a－λb|的最小值为，则|a－λb|2的最小值为3，

则|a－λb|2＝a2＋λ2b2－2λa·b

＝4＋λ2－4λcos θ＝(λ－2cos θ)2＋4－4cos2 θ，

故当λ＝2cos θ时，|a－λb|2取得最小值3，

即有4－4cos2θ＝3，即cos θ＝±，

又由λ＞0，则cos θ＝，故选B．

法二：(数形结合法)如图，设＝a，＝λb(λ＞0)，则|a－λb|＝||，易知当BA⊥OA时|a－λb|取得最小值，此时sin θ＝，cos θ＝.故选B．]

[评析]　模的最值问题求解方法一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义．前者可以建系借助坐标法求解，后者常用三角形法则数形结合求解．

已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为        ．

＋1　[设＝a，＝b，＝c，以OA所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，

∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，

则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)．

∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，

即(x－3)2＋(y－1)2＝1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆，|c－a|表示点A，C的距离即圆上的点与点A(4,0)的距离．

∵圆心到点A的距离为＝，

∴|c－a|的最大值为＋1.]