高考数学统考一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第6节n次独立重复试验与二项分布学案

　n次独立重复试验与二项分布

[考试要求]　1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.

2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．

1．条件概率

2.事件的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．

②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则

P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．

(2)二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

牢记并理解事件中常见词语的含义

(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；

(2)A，B都发生的事件为AB；

(3)A，B都不发生的事件为；

(4)A，B恰有一个发生的事件为A∪B；

(5)A，B至多一个发生的事件为A∪B∪.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相互独立事件就是互斥事件． (　　)

(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (　　)

(3)公式P(AB)＝P(A)P(B)对任意两个事件都成立． (　　)

(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．              (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材习题衍生

1．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[根据题意，在第1次抽到文科题后，还剩4道题，其中有3道理科题，则第2次抽到理科题的概率P＝，故选D．]

2．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.]

3．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C×3×＝，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.]

4．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品的件数，则X服从二项分布，记作        ．

X～B(100,0.02)　[根据题意，X～B(100,0.02)．]

考点一　条件概率                            

1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

B　[法一(直接法)：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.

法二(缩小样本空间法)：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．

事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.

故由古典概型概率P(B|A)＝＝.]

2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为        ．

0.72　[设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]

3．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(AB)＝        ，P(A|B)＝        .

　　[如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，

∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝，

P(A|B)＝＝.]

点评：判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．

考点二　相互独立事件的概率                 

 [典例1]　(1)天气预报在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)

A．0.2    B．0.3    C．0.38    D．0.56

(2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．

①求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；

②记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．

(1)C　[设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]

(2)[解]　①记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，

则P(D)＝1－P(  )＝1－××＝.

②由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

则P(ξ＝0)＝P(  )＝××＝；

P(ξ＝1)＝P(  )＋P(  )＋P(  )＝××＋××＋××＝；

P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝；

P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝.

所以ξ的分布列为

点评：含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题，求解的关键在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．

(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率．

[解]　(1)甲连胜四场的概率为.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为；

乙连胜四场的概率为；

丙上场后连胜三场的概率为.

所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.

因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.

考点三　独立重复试验与二项分布           

　独立重复试验的概率

[典例2－1]　(1)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是        ．

(2)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．

①假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

②假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；

③假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．

(1)　[由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C·＝C＝.]

(2)[解]　①设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C××＝.

②设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则

P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)＋P(12A3A4A5)＝×＋××＋×＝.

③设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3)．

由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.

P(ξ＝0)＝P(123)＝＝；

P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)

＝×＋××＋×＝；

P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；

P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)

＝×＋×＝；

P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝＝.

所以ξ的分布列是

点评：在求解过程中，本例(2)中②常因注意不到题设条件 “有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”，盲目套用公式致误；本例(2)中③常因对ξ的取值不明，导致事件概率计算错误．

　 二项分布

[典例2－2]　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；

(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

[解]　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，

所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．

(2)质量超过505的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，

X服从超几何分布．

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

∴X的分布列为

(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，

P(Y＝k)＝C ，

所以P(Y＝0)＝C·＝，

P(Y＝1)＝C··＝，

P(Y＝2)＝C·＝.

∴Y的分布列为

点评：(1)注意随机变量满足二项分布的关键词：

①视频率为概率；②人数很多、数量很大等．

(2)求概率的过程，就是求排列数与组合数的过程，而在解决具体问题时要做到：

①分清

②判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．

1．袋子中有1个白球和2个红球．

(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；

(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；

(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列．

[解]　(1)X可能取值1,2,3.

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

所以X分布列为

(2)X可能取值为1,2,3,4,5.

P(X＝k)＝×，k＝1,2,3,4，

P(X＝5)＝.

故X分布列为

(3)因为X～B，P(X＝k)＝C ，k＝0,1,2,3,4,5.

所以X的分布列为

2.某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

(1)若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；

(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望．

[解]　(1)设Ai表示所抽取的3人中有i个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A，则P(A)＝1－P(A0)＝1－＝.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，由已知得X～B，∴P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝C××＝，

P(X＝2)＝C××＝，

P(X＝3)＝＝.

∴X的分布列为

∴E(X)＝3×＝.