高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第7节基本不等式学案

　基本不等式

[考试要求]　1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.

2．几个重要的不等式

当且仅当a＝b时等号成立

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)x＋y≥2，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．

(2)xy≤，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)．

提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．

重要不等式链

若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (　　)

(2)若a>0，则a3＋的最小值为2. (　　)

(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4. (　　)

(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材习题衍生

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　　　　B．77　　　　C．81　　　　D．82

C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C．]

2．若x＞0，则x＋(　　)

A．有最大值，且最大值为4

B．有最小值，且最小值为4

C．有最大值，且最大值为2

D．有最小值，且最小值为2

B　[x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．故选B．]

3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

25　[设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，

由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.]

4．已知x＞2，则x＋的最小值为________．

6　[∵x＞2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥6.]

考点一　利用基本不等式求最值                

　直接法求最值

[典例1－1]　(1)若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)·(b＋1)的最大值为(　　)

A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4

(2)ab＞0，则的最小值为(　　)

A．2    B．    C．3    D．2

(3)(2020·天津高考)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．

(1)C　(2)A　(3)4　　[(1)(a＋1)(b＋1)≤＝＝，当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时等号成立，故选C．

(2)∵ab＞0，∴＝＋≥2＝2，

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故选A．

(3)由a＞0，b＞0，ab＝1得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当即时取等号，

因此＋＋的最小值为4.]

点评：解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键．

　配凑法求最值

[典例1－2]　(1)(2020·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　　)

A．    B．    C．3    D．9

(2)已知不等式2x＋m＋＞0对一切x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．m＞－6   B．m＜－6

C．m＞－7   D．m＜－7

(3)若－4＜x＜1，则f(x)＝(　　)

A．有最小值1   B．有最大值1

C．有最小值－1   D．有最大值－1

(1)C　(2)A　(3)D　[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，

∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤＝×＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.

(2)由题意知，－m＜2x＋对一切x∈恒成立，又x≥时，x－1＞0，

则2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，

当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时等号成立．

∴－m＜6，即m＞－6，故选A．

(3)∵－4＜x＜1，∴0＜1－x＜5，

∴f(x)＝＝＝－·≤－×2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立．

∴函数f(x)有最大值－1，无最小值，故选D．]

点评：形如f(x)＝的函数，可化为f(x)＝的形式，再利用基本不等式求解，如本例T(3)．

　常数代换法求最值

[典例1－3]　(1)(2020·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)

A．＋   B．＋

C．3＋2   D．＋

(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

(1)A　(2)4　[(1)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，

又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]

＝1＋＋＋≥＋2＝＋.

当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．

则＋的最小值为＋.故选A．

(2)因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，等号成立．]

点评：常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．

1．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)

A．12    B．4    C．    D．

D　[由题意知3a·3b＝(3)2，即3a＋b＝33，

∴a＋b＝3，∴＋＝(a＋b)

＝≥＝，

当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，故选D．]

2．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．

4　[∵x＞0，y＞0，x＋2y＝5，

∴＝＝＝2＋≥2＝4，

当且仅当2＝，即，即或时等号成立，因此的最小值为4.]

考点二　基本不等式的实际应用                

[典例2](2020·黄山模拟)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)＝其它成本投入(如培育管理等人工费)为20x(单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为f(x)(单位：元)．

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

[解]　(1)由已知f(x)＝10W(x)－20x－10x＝10W(x)－30x＝

则f(x)＝

(2)由(1)f(x)＝变形得

f(x)＝

当0≤x≤2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，

且f(0)＝100＜f(2)＝240，

∴f(x)max＝f(2)＝240；

当2＜x≤5时，f(x)＝510－30，

∵x＋1＋≥2＝8，

当且仅当＝1＋x时，即x＝3时等号成立．

∴f(x)max＝510－30×8＝270，

因为240＜270，所以当x＝3时，f(x)max＝270.

所以，当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元．

点评：解答本例第(2)问时，把f(x)＝－30x变形为f(x)＝510－30是解题的关键．

1．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

30　[一年的总运费为6×＝(万元)．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为万元．

因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]

2．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．

10　[设全部物资到达灾区所需时间为t小时，

由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km＋400 km所用的时间，

因此，t＝＝＋≥2＝10.

当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．

故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．]

(1)已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．

(2)若x，y是正数，则＋的最小值是________．

(1)4　(2)4　　[(1)由题意a＞b＞0，则a－b＞0，

所以b(a－b)≤＝，

所以a2＋≥a2＋≥2＝4，

当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.

(2)∵x＞0，y＞0，

∴＋≥2.

又2＝2xy＋＋2≥4，

∴＋≥4，当且仅当

即x＝y＝时等号成立．]

[评析]　第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．

若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．

4　[因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.]