高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第5节一元二次不等式及其解法学案

　一元二次不等式及其解法

[考试要求]　1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

1．一元二次不等式

把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 ，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

2．一元二次不等式的解法步骤

(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．

(2)求出相应的一元二次方程的根．

(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，小于取中间”．

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

提醒：解集的端点是对应方程的根．

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；

(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0.

2．简单分式不等式

(1)≥0⇔

(2)＞0⇔f(x)g(x)＞0.

3．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0. (　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.                            (　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.  (　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0. (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材习题衍生

1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为(　　)

A．{x|－2＜x＜－1}　　　 B．{x|－1＜x＜2}

C．{x|x＜－2或x＞1}   D．{x|x＜－1或x＞2}

A　[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A．]

2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于(　　)

A．{x|－2＜x＜3}   B．{x|－2≤x≤3}

C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3}   D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}

B　[由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2，或x＞3}，∴∁RA＝{x|－2≤x≤3}，故选B．]

3．关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集为∅，则a的取值范围是________．

(9，＋∞)　[由题意知，x2－6x＋a＞0的解集为R，则Δ＝(－6)2－4a＜0，解得a＞9.]

4．关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝________.

1　[由题意知，x＝2是方程－x2＋2x＝mx的一个根，则2m＝－×22＋2×2＝2，解得m＝1.]

考点一　不含参数的一元二次不等式          

1．不等式2x＋3－x2＞0的解集是(　　)

A．{x|－1＜x＜3}   B．{x|x＞3或x＜－1}

C．{x|－3＜x＜1}   D．{x|x＞1或x＜－3}

A　[不等式2x＋3－x2＞0可化为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3，故选A．]

2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)

A．{x|2<x<3}　　　　　　 B．{x|x≤2或x≥3}

C．   D．

B　[∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，

∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，

∴

解得

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]

3．不等式0＜x2－x－2≤4的解集是(　　)

A．{x|－2≤x＜－1}

B．{x|2＜x≤3}

C．{x|－2≤x≤3}

D．{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}

D　[原不等式等价于⇔⇔⇔⇔－2≤x＜－1或2＜x≤3，故选D．]

考点二　含参数的一元二次不等式              

[典例1]　解关于x的不等式

(1)x2＋ax＋1＜0(a∈R)；

(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0.

[解]　(1)Δ＝a2－4.

①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．

②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，

则原不等式的解集为

.

综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．

当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为

.

(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，

解得x＞1.

若a＜0，原不等式等价于(x－1)＞0，

解得x＜或x＞1.

若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.

①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；

②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，

得＜x＜1；

③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，

得1＜x＜.

综上所述，当a＜0时，解集为；

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为；

当a＝1时，解集为∅；

当a＞1时，解集为.

点评：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．

(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．

(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．

解关于x的不等式12x2－ax＞a2(a∈R)．

[解]　原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，

即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，

解得x1＝－，x2＝.

当a＞0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

当a＜0时，不等式的解集为∪.

考点三　一元二次不等式恒成立问题           

　在R上的恒成立问题

[典例2－1]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]　　　　　　B．[－2,2]

C．(－2,2]   D．(－∞，－2)

C　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．

当a≠2时，则

即解得－2＜a＜2.

所以实数a的取值范围是(－2,2]．]

点评：本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．

　在给定区间上的恒成立问题

[典例2－2]　(1)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]   B．(－∞，0]

C．[1，＋∞)   D．(－∞，1]

(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．   B．[－1,1]

C．(－∞，1]   D．

(1)A　(2)C　[(1)法一(函数法)：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，

得

解得a≤－3，故选A．

法二(最值法)：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A．

(2)f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，即2a≤x＋在x∈(0,2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1.故选C．]

点评：本例T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂．

1．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3,0)   B．[－3,0)

C．[－3,0]   D．(－3,0]

D　[当k＝0时，显然成立；

当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立．

则

解得－3＜k＜0.

综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．故选D．]

2．(2020·深圳中学模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．

　[∵满足1<x<4的一切x值，都有f(x)＝ax2－2x＋2>0恒成立，可知a≠0，

∴a>＝2，满足1<x<4的一切x的值恒成立，

∵<<1,2∈，

实数a的取值范围为.]