高考数学统考一轮复习第2章函数第6节指数与指数函数学案

　指数与指数函数

[考试要求]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.

3.体会指数函数是一类重要的函数模型．

1．根式

(1)n次方根的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a⇒

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*，n＞1)．

②＝

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．

3．指数函数的概念

函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.

提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

4．指数函数的图象与性质

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝()n＝a.  (　　)

(2)(－1)＝(－1)＝.  (　　)

(3)函数y＝a (a＞1)的值域是(0，＋∞)． (　　)

(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n. (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材习题衍生

1．若函数f (x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P，则f (－1)＝________.

　[由题意知＝a2，所以a＝，

所以f (x)＝，所以f (－1)＝＝.]

2．化简(x＜0，y＜0)＝________.

－2x2y　[＝＝|2x2y|＝－2x2y.]

3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

c＜b＜a　[∵y＝是减函数，

∴＞＞，

则a＞b＞1，

又c＝＜＝1，

∴c＜b＜a.]

4．某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为________．

y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)　[当x＝1时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，

当x＝2时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，

当x＝3时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，

……

当x＝m时，y＝a(1＋p%)m，

因此y随年数x变化的函数解析式为y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)．]

考点一　指数幂的化简与求值                 

1．计算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________.

－　[原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.]

2．

3．已知ab＝－5，则a＋b＝________.

0　[由ab＝－5知a与b异号，

∴a＋b＝a＋b＝＋＝0.]

点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如＝4.

考点二　指数函数的图象及其应用             

　指数函数图象问题的求解策略

[典例1]　(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．

(1)D　(2)(0,1)　[(1)由f (x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f (x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f (x)＝ax－b的图象是在f (x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D．

(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．]

[母题变迁]

1．若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．

(0，＋∞)　[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．

　]

2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．

(－∞，－1]　[作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．

由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]

点评：注意区分函数y＝3|x|与y＝|3x|

y＝3|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，y＝|3x|不是偶函数，其图象都在x轴上方，在这里y＝|3x|＝3x.

1．已知函数f (x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)

A．y＝   B．y＝|x－2|

C．y＝2x－1   D．y＝log2(2x)

A　[易知A(1,1)．经验证可得y＝的图象不经过点A(1,1)，故选A．]

2．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有________(填序号)．

③④　[作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，而③④不可能成立．]

考点三　指数函数的性质及其应用           

　比较指数式的大小

[典例2－1]　(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)

A．a＞b＞c   B．a＞c＞b

C．c＞a＞b   D．b＞c＞a

(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)

A．x＋y≥0   B．x＋y≤0

C．x－y≤0   D．x－y≥0

(1)A　(2)B　[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c，故选A．

(2)设函数f (x)＝2x－5－x，易知f (x)为增函数．又f (－y)＝2－y－5y，由已知得f (x)≤f (－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.]

点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识．

　解简单的指数方程或不等式

[典例2－2]　(1)已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．

(2)设函数f (x)＝若f (a)＜1，则实数a的取值范围是________．

(1)　(2)(－3,1)　[(1)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为.

(2)若a＜0，则f (a)＜1⇔－7＜1⇔＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；

若a≥0，则f (a)＜1⇔＜1，解得a＜1，故0≤a＜1.

综合可得－3＜a＜1.]

　与指数函数有关的复合函数的单调性、值域

2．与指数函数有关的复合函数的值域

形如y＝af (x)的函数的值域，可先求f (x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af (x)的值域．

[典例2－3]　已知函数f (x)＝.

(1)若a＝－1，求f (x)的单调区间；

(2)若f (x)有最大值3，求a的值；

(3)若f (x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

[解]　(1)当a＝－1时，f (x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f (x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f (x)＝，由于f (x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f (x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，要使f (x)的值域为(0，＋∞)，

应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)．

故a的值为0.

点评：形如y＝af (x)(a＞0)的函数的定义域就是函数y＝f (x)的定义域．

1．若2≤，则函数y＝2x的值域是(　　)

A．   B．

C．   D．[2，＋∞)

B　[2≤ ⇔2≤24－2x⇔x2＋1≤4－2x，

解得－3≤x≤1，∴2－3≤2x≤2，即≤y≤2，故选B．]

2．已知f (x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f (a)，f (b)的大小关系是________．

f (a)＞f (b)　[a＝＝，则＞，即a＞b，

又函数f (x)＝2x－2－x是R上的增函数．

∴f (a)＞f (b)．]

3．函数y＝的值域是________．

(0,4]　[设t＝x2＋2x－1，则y＝.

因为0＜＜1，所以y＝为关于t的减函数．

因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝≤＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]

4．函数y＝－在区间[－3,2]上的值域是________．

　[令t＝，由x∈[－3,2]得t∈，

y＝t2－t＋1＝＋，

当t＝时，ymin＝，当t＝8时，ymax＝57，故所求值域为.]

考点四　指数型函数的综合应用               

　指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．

[典例3]　已知函数f (x)＝(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数．

(1)求a的值；

(2)求函数f (x)的值域；

(3)当x∈[1,2]时，2＋mf (x)－2x≥0恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　(1)∵f (x)是R上的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，

即＝－，得a＝2.

(注：本题也可由f (0)＝0解得a＝2，但要进行验证)

(2)由(1)可得f (x)＝＝＝1－，

∴函数f (x)在R上单调递增．

又2x＋1＞1，∴－2＜－＜0，

∴－1＜1－＜1.

∴函数f (x)的值域为(－1,1)．

(3)当x∈[1,2]时，f (x)＝＞0.

由题意得mf (x)＝m·≥2x－2在x∈[1,2]时恒成立，

∴m≥在x∈[1,2]时恒成立．

令t＝2x－1,1≤t≤3，

则有m≥＝t－＋1.

∵当1≤t≤3时，函数y＝t－＋1为增函数，

∴max＝.∴m≥.

故实数m的取值范围为.

点评：在指数型函数的综合应用中，把ax看作一个整体，即令t＝ax是常用的思维意识．

已知函数f (x)＝(a＞0，且a≠1)．

(1)求f (x)的定义域和值域；

(2)讨论f (x)的奇偶性；

(3)讨论f (x)的单调性．

[解]　(1)由ax＋1＞1知，f (x)的定义域为R，

f (x)＝＝1－，

由ax＋1＞1得0＜＜2，

∴－1＜f (x)＜1，即函数f (x)的值域为(－1,1)．

(2)因为f (－x)＝＝＝－f (x)，

所以f (x)是奇函数．

(3)f (x)＝＝1－.

设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，

则f (x1)－f (x2)＝－＝.