高考数学统考一轮复习第2章函数第7节对数与对数函数学案

　对数与对数函数

[考试要求]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.

3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

1．对数的概念

如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

提醒：指数式与对数式的关系

2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：

①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

(2)换底公式：

logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

(3)对数的运算性质：

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．对数函数的定义、图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．换底公式的三个重要结论

(1)logab＝；

(2)logambn＝logab；

(3)logab·logbc·logcd＝logad.

2．对数函数的图象与底数大小的关系

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　)

(2)log2x2＝2log2x.  (　　)

(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　)

(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．              (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材习题衍生

1．(log29)·(log34)＝(　　)

A．    B．    C．2    D．4

D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D．]

2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)

A．a＞b＞c   B．a＞c＞b

C．c＞b＞a   D．c＞a＞b

D　[因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log23＞1.所以c＞a＞b.故选D．]

3．函数y＝的定义域是________．

　[由(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.

∴＜x≤1.

∴函数y＝的定义域是.]

4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．

(3,1)　[当4－x＝1，即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.

所以函数的图象恒过点(3,1)．]

考点一　对数式的化简与求值              

[典例1]　(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A．    B．10    C．20    D．100

(2)计算log23·log38＋()的值为(　　)

A．2    B．3    C．4    D．5

(3)(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数，当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)

A．60    B．63    C．66    D．69

(1)A　(2)D　(3)C　[(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，

则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

解得m＝.故选A．

(2)log23·log38＝log28＝3，()＝3＝3＝2，

∴log23·log38＋()＝5，故选D．

(3)由题意可得，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，

∴＝e，∴ln 19＝0.23(t*－53)，∴t*－53≈13，∴t*≈66，故选C．]

点评：对数运算中logab＝是常用的性质之一．

1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．

法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．

法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．]

2．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1    B．10.1    C．lg 10.1    D．10－10.1

A　[由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg ＝10.1，

所以＝1010.1，故选A．]

考点二　对数函数的图象及其应用            

[典例2]　(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

A            　　　B                       C　　　            D

(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)

A．   B．

C．(1，)   D．(，2)

(1)D　(2)B　[(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D．

(2)构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知f ＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.]

[母题变迁]

1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，a的取值范围是________．

　[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．

由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.]

2．若将本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________．

　[若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，

由图象知＜loga，

所以解得＜a＜1.

即实数a的取值范围是.]

1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a＞1，c＞1

B．a＞1,0＜c＜1

C．0＜a＜1，c＞1

D．0＜a＜1,0＜c＜1

D　[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]

2．已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．

　[由x2－logax＜0得x2＜logax，设f 1(x)＝x2，f 2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f 1(x)＝x2在上的图象在f 2(x)＝logax图象的下方即可．当a＞1时，显然不成立；

当0＜a＜1时，如图所示．

要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f 1≤f 2，所以有2≤loga，解得a≥，

所以≤a＜1.

即实数a的取值范围是.]

考点三　对数函数的性质及其应用            

　比较对数值的大小

　比较对数值大小的常见类型及解题方法

[典例3－1]　(1)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c   B．b＞a＞c

C．c＞b＞a   D．c＞a＞b

(2)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜c＜b   B．a＜b＜c

C．b＜c＜a   D．c＜a＜b

(3)(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)

A．a＜c＜b   B．a＜b＜c

C．b＜c＜a   D．c＜a＜b

(1)D　(2)A　(3)A　[(1)∵c＝log＝log35，log35＞log3＞log33＝1，

即c＞a＞1，又＜＝1.

∴c＞a＞b，故选D．

(2)∵a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，∴a＜c＜b，故选A．

(3)∵23＜32，∴2＜3，∴log32＜log33＝，∴a＜c.

∵33＞52，∴3＞5，∴log53＞log55＝，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A．]

点评：本例T(1)和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质m＝logaam，本例T(2)主要使用中间量比较大小．

　解简单对数不等式

　求解对数不等式的两种类型及方法

[典例3－2]　(1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．

(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．

(1)∪(1，＋∞)　(2)　[(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；

当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.

∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．

(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，

又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，

同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈.]

点评：在对数不等式中，真数大于0是隐含条件，不能忘记！

　与对数函数有关的复合函数的单调性

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

[典例3－3]　(1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(－∞，2]

C．[2，＋∞)   D．[5，＋∞)

(2)设函数f (x)＝log (4x2－4ax＋3a)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是________．

(1)D　(2)[2,4]　[(1)由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5，即函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f (x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，

∴a≥5，故选D．

(2)令t＝4x2－4ax＋3a，由y＝logt在(0，＋∞)是减函数可得t＝4x2－4ax＋3a在(0,1)上是减函数，且t＞0在(0,1)上恒成立，

又t＝4x2－4ax＋3a＝4－a2＋3a，

∴解得2≤a≤4.]

点评：已知f (x)＝loga[g(x)]在区间[m，n]上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据a与1的关系确定g(x)在[m，n]上的单调性，二是g(x)＞0在x∈[m，n]时恒成立，此时只需g(x)min＞0即可．

1．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＜b＜a   B．a＜b＜c

C．b＜c＜a   D．c＜a＜b

A　[∵a＝log27＞log24＝2,1＜b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，

∴c＜b＜a，故选A．]

2．设函数f (x)＝若f (a)＞f (－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)   B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)   D．(－∞，－1)∪(0,1)

3．函数y＝log (x2－3x＋2)的单调递增区间为________，值域为________．

(－∞，1)　R　[由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1，即函数的定义域为{x|x＞2或x＜1}，

当x在定义域内变化时，x2－3x＋2取遍(0，＋∞)内的每一个值，

∴值域为R.

令t＝x2－3x＋2(t＞0)，t在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，而函数y＝logt在其定义域内是单调递减函数，

∴y＝log (x2－3x＋2)在(－∞，1)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，即函数y＝log (x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．]

4．已知a＞0，若函数f (x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．

　[要使f (x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，

则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，

且在[3,4]上y＝ax2－x＞0恒成立，

即解得a＞.]