苏科版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知是关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是(    )

A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根

3. 在中，，，，动点从点沿线段向点移动，一动点从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4. 定义新运算“”：对于实数，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.  C. 且 D.

5. 某超市以元件的价格新进一批商品，经市场调研，该商品每天的销量件与售价元件满足关系式若该超市每天的利润为元，则商品的售价为(    )

A. 元件 B. 元件
C. 元件或元件 D. 元件或元件

6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为点、点若为，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，若，则的度数等于(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差即为米．则秋千链子的长为(    )
     

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知，是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为______．
14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于__________。
15. 如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为          ．

16. 如图，是的弦，是的中点，交于点若，，则的半径为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知、满足，，求的值．
18. 已知关于的一元二次方程．
    当为何值时，方程有两个不相等的实数根
    若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的倍求的值．
19. 年月日，第届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱。某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件元，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件；销售单价每涨元，月销售量就减少件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：

当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到元．

商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售定价应为多少元？

20. 某商店在年至年期间销售一种礼盒，年，该商店用元购进了这种礼盒并且全部售完；年，这种礼盒的进价比年下降了元盒，该商店用元购进了与年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为元盒．
    年这种礼盒的进价是多少元盒？
    若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
21. 如图，的半径为，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与，重合的点，．
    求的度数；
    求图中阴影部分的面积．
    在的延长线上取点，使，作直线，判断直线与有怎样的位置关系，并说明理由．
     

22. 如图，的直径分别与弦，交于点，，连接，，已知，．
    求证：；
    若，，求的长．
     

23. 如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
    求证：为的中点．
    若的半径为，的度数为，求线段的长．

24. 如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
    求的度数；
    若，求的半径．

25. 如图，为的外接圆，交于点，直径平分交于点，连接．
    证明：；
    若，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质．
先把代入方程得，则方程为，利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
【解答】
解：把代入方程得，解得，
则方程为，
，
所以，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为、、；、、，
所以的周长为或．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，
只抄对了，，解出其中一个根是，
小刚解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在实数根．  

3.【答案】 

【解析】解：设点运动的时间为，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当到达点时两点同时停止运动，
，
，
．
故选：．
设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】【解答】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
先根据新定义得到，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得，
整理得，
因为方程有两个实数解，
所以且，
解得且．
故选：．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的应用有关知识，根据题意列出方程求解即可．
【解答】
解：由题意得：
，
解得：或．
因为，
所以．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
故选：．
根据根的判别式好已知条件得出，再求出的范围即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程没有实数解．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标．
【解答】
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，，
四边形是矩形，
，
，
由矩形易得到，
，，
，

，
故选：．

连接，易证得四边形是矩形，则，得到，图中阴影部分的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形的面积等于阴影的面积是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系求出，根据圆周角定理求出，计算即可．
【解答】
解：连接，

四边形是半圆的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：
，
设的半径为米，
由勾股定理得：，
，
解得：．
即长米．
故选：．
由垂径定理得：，设的半径为米，再根据勾股定理求得的长，可得结论．
本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是矩形，
连接，
点是的中点，
，
，
≌，
，
矩形是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，连接，根据全等三角形的性质得到，得到矩形是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是关于的方程的两个实数根，
，．
，即，
，
整理，得：，
解得：，．
关于的方程的两个不相等实数根，
，
解得：或，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，进而即可确定值，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
整理得：，
，
方程是一元二次方程，
，
等式两边同时除以得：，
则，
故答案为．
根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于和的等式，整理后即可得到的答案．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了弧长的计算：圆周长公式：；弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，在弧长的计算公式中，是表示的圆心角的倍数，和都不要带单位．连接，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，则，然后根据弧长公式计算的长．

【解答】
解：连接，如图，


，
，
，
，
的长
故答案为

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是的中点，
是弦的中点，
，，
，，
，
在中，
，即，
解得，
故答案为：．
先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答．
 

17.【答案】解：当时，原式
当时，可将、看成方程的两个根．
由根与系数的关系，得，，
．
的值为或 

【解析】见答案．
 

18.【答案】解： 方程有两个不相等的实数根，
所以，解得，
故当时，原方程有两个不相等的实数根．
设方程的两个根分别为，，
则
因为菱形的两条对角线的长分别为方程两根的倍，且菱形的对角线互相垂直平分，
所以两条对角线长的一半分别为，，且，
所以，即，
整理得，
解得或．
当时，满足，且，，所以符合题意
当时，满足，但是，，所以不符合题意，应舍去．
故的值为． 

【解析】见答案．
 

19.【答案】解：设当销售单价涨元时，月销售利润能够达到元．

解答：，，
当销售单价涨元或元时，月销售利润能够达到元．
由知：当时，能售出件，
故成本为：，不合题意舍去；
当时，能售出件，
故成本为：，符合题意；
销售定价应为：元
答：销售定价应定为元． 

【解析】此题考查的是一元二次方程的应用，首先读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解决本题的关键．
销售单价每涨价元，月销售量就减少件．那么涨价元，月销售量就减少件．根据月销售利润每件利润数量即可列出方程，解方程即可；
根据中的两个值，计算月销售成本，注意取舍即可．
 

20.【答案】解：设年这种礼盒的进价为元盒，则年这种礼盒的进价为元盒，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
答：年这种礼盒的进价是元盒．
设年增长率为，
年的销售数量为盒．
根据题意得：，
解得：或不合题意，舍去．
答：年增长率为． 

【解析】设年这种礼盒的进价为元盒，则年这种礼盒的进价为元盒，根据年花元与年花元购进的礼盒数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设年增长率为，根据数量总价单价，求出年的购进数量，再根据年的销售利润增长率年的销售利润，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找准等量关系，列出一元二次方程．
 

21.【答案】解：连接，如图，
与相切于点，，
，
，
；
，，

，
，
图中阴影部分的面积；
直线与相切，
理由：连接，如图，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
与相切． 

【解析】连接，由切线求出的度数，由三角形的外角性质求得，最后由圆周角与圆心角的关系求得结果；
根据三角形的内角和定理得到，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论；
连接，证明≌，得，便可得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第题关键是证明三角形全等．
 

22.【答案】证明：，
．
，，
，
．
，
，
．
，即；
解：，，
．
设．
，
，
．
在中，，，
，
解得舍去，．
，即的长等于． 

【解析】利用等腰三角形的性质及圆周角定理可得，进而可得，由圆心角，弦，弧的关系可得，进而可证明结论；
由易证，设，结合，可得，利用勾股定理可求解值，进而可求解的值．
本题主要考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．
 

23.【答案】证明：，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
解：连接，，，，

的度数为，
，
，
，
由同理得：，
，
是的中位线，
． 

【解析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造等腰直角三角形解决问题，属于中考常考题．
根据圆周角定理得：，由三角形的内角和定理和平角的定义得：，最后由等腰三角形的判定和性质可得结论；
连接，，，，先根据勾股定理得，再证明是的中位线，可得的长．
 

24.【答案】解：连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
设的半径为，
，，
，
，
，
的半径为． 

【解析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，切线的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理，以及切线的性质是解题的关键．
连接，根据切线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的内角和求出，进而求出的度数，最后根据圆周角定理，进行计算即可解答；
设的半径为，利用含度的直角三角形可得，进行计算即可解答．
 

25.【答案】证明：平分，
，
，
，
为的直径，
，
，
；
解：过点作于，
，，
，
，
在中，，，
则，
，
，
，
． 

【解析】根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论；
过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据等腰三角形的三线合一得到，即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、勾股定理，掌握圆周角定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．