2021-2022学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 函数的零点所在区间(    )

A.  B.  C.  D.

6. 执行如图的程序框图，若输入的，则输出的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 设，均为非零向量，且，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，则函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于，两点位于轴右侧，且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，函数的最大值是，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于直线对称，则下列判断正确的是(    )

A. 要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位
B. 时，函数的最小值是
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递增

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是(    )

A.  B.
C. 是上的增函数 D. ，则

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．
14. 九章算术是中国古代第一部数学专著．九章算术中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”如图所示，邪长为，东畔长为，在处测得，两点处的俯角分别为和，则正广长约为______注：

15. 在中，为的中点，为线段上一点异于端点，，则的最小值为______．
16. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是______．
    、、、四点共面；
    ；
    三棱锥的体积为定值；
    的面积与的面积相等．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项和为若，，．
    求数列与的通项公式；
    求数列的前项和．
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点．
    Ⅰ证明：平面平面；
    Ⅱ若平面，求三棱锥的体积．

19. 北京于年月成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会．共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”正在从愿景逐渐变为现实，某大型滑雪场为了了解“喜爱冰雪运动”是否与“性别“有关，用简单随机抽样的方法从不同地区进行调查统计，得到如下列联表：

统计数据表明：男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的；女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的．
Ⅰ完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系；结果精确到
Ⅱ根据数据统计，在参与调查的人员中年龄在岁以上的占总体的，在岁到岁之间的占，岁以下的占现利用分层抽样的方法，从参加调查的人员中随机抽取人参与抽奖活动，奖项设置如下：一等奖，享受全雪季雪场全部项目五折优惠，名额人；二等奖，享受全雪季雪场全部项目八折优惠，名额人．求获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间的概率．
参考公式：，其中．

20. 已知函数．
    若函数在处取得极值，求，的值；
    当时，函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值．
21. 已知抛物线：上一点到焦点的距离．
    求的方程；
    点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
    Ⅰ求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
    Ⅱ直线与圆交于，两点，点，求的值．
23. 已知函数．
    求不等式的解集；
    若关于的不等式不恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
先分别判断命题和命题的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：对于命题：，，
当时，，故命题为真命题，为假命题；
对于命题：，，
因为，又函数为单调递增函数，故，
故命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．
根据函数零点的判定定理即可得到结论．
【解答】

解：函数的定义域为，且函数单调递增，
，，
在内函数存在零点，
故选：
 

6.【答案】 

【解析】解：模拟程序的运行，可得
，，
，，
，，
则输出的值为．
故选：．
由已知框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，设与的夹角为，，则，
若，则，解可得，
又由，则，
故选：．
根据题意，设与的夹角为，，由数量积的计算公式可得，变形可得的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：先做出的图象，在向下平移两个单位，得到的图象，
再将轴下方的部分做关于轴的对称图象即得的图象．
故选B
因为，故只需作出的图象，将轴下方的部分做关于轴的对称图象即可．
本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出的图象，再将轴下方的部分做关于轴的对称图象即得的图象．
 

9.【答案】 

【解析】解：有题意要使四边形为菱形，，
所以三角形为等边三角形，
则该双曲线的渐近线方程为，
故选：．
由以为直径的圆可得，由菱形可得，所以三角形为等边三角形，可得渐近线的斜率，即求出渐近线的方程．
本题考查双曲线的性质及圆的性质和菱形的性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了的图象和性质，属于中档题．
由题意可求，的周期，利用周期公式可求，利用正弦型函数的对称性可求，可得的解析式，利用正弦型函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解．
【解答】
解：函数，函数的最大值是，
，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
，
又，解得：，
的图象关于直线对称，
，，解得：，，
又，解得：．
可得：
对于，将的图象向左平移个单位，
可得：的图象，故错误；
对于，时，，
可得，故错误；
对于，由于，故错误；
对于，由，可得：，
由正弦函数的图象和性质可得函数在上单调递增，故正确． 
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：由椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，
可得：，，，如图示：

，，
设，则，
由椭圆的定义可得：，即，解得：，
所以在中，，所以，
在中，，，
所以，
所以，即，所以，所以舍去．
故选：．
设，利用几何法表示出，在中表示出；在中，，，表示出，得到、、的齐次式，即可求得．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：令，
，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，故A正确．B错误；
对于：函数在上是增函数，不一定为增函数，故C错误；
对于：因为，则，
所以，即，即，故D错误，
故选：．
令，求导分析的单调性，逐项判断即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示．

圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，
该圆柱底面圆周半径为，
该圆柱的体积为：
故答案为：
先作图，利用勾股定理求出圆柱底面圆的半径，进而求出圆柱的体积．
考查圆柱的体积公式，需要注意构造球内的直角三角形，利用勾股定理求出上底面半径．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可得，，
在中，由余弦定理可得，
代入得：，即，
因为，
故AC，
故BC．
故答案为：．
根据余弦定理先求得，再根据直角三角形中的关系求得即可得解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，，为的中点，
，
，，三点共线，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
结合题意绘出图象，则，再根据，，三点共线可得，进一步可得，从而结合基本不等式即可求解．
本题考查平面向量基本定理及基本不等式的应用，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：连结，则，所以；

因为与不共线，假设、、、四点共面，则，所以，这与矛盾，
所以假设不成立，即、、、不共面，错误；
因为，，且，所以平面，
又平面，所以，正确；
因为点到平面的距离是，，
所以三棱锥的体积为，是定值，正确；
因为点、到直线的距离不相等，所以的面积与的面积不相等，错误．
所以正确的命题序号是．
故答案为：．
连结，由判断、、、四点不共面；由平面得出；计算三棱锥的体积为定值；由点、到直线的距离不相等，得出的面积与的面积不相等．
本题考查空间中的位置关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为，等差数列的公比为，
由，，．
得，，
解得：，．
，；
，
的前项和为

． 

【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公比为，由已知列关于与的方程组，求得与值，则数列与的通项公式可求；
直接利用数列的分组求和与等差数列和等比数列的前项和公式求解．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和的求法，训练了数列的分组求和，是中档题．
 

18.【答案】Ⅰ证明：平面，平面，
．
四边形是菱形，，
又，平面，平面，
平面．
而平面，
平面平面．
Ⅱ解：平面，平面平面，
，
是中点，是中点．
取中点，连接，
四边形是菱形，，
，又，，平面，平面，
平面，．

． 

【解析】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
Ⅰ由已知得，，由此能证明平面平面．
Ⅱ由已知得，取中点，连接，由此利用，能求出三棱锥的体积．
 

19.【答案】解：Ⅰ根据已知条件，可得列联表如下：

计算的观测值为．
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系；
Ⅱ设“获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间”为事件，
利用分层抽样的方法抽取，在岁以上的人员中抽取人，记其为；
在岁到岁之间的人员中抽取人，记其为，，；
在岁以下的人员中抽取人，记其为；
在抽奖的人中人获得一等奖的基本事件为：，，，，，，，，，共种，
满足条件的基本事件为：，，共种，所以；
即获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间的概率为． 

【解析】Ⅰ根据题意填写列联表，计算观测值，对照附表得出结论；
Ⅱ根据分层抽样求出抽取的人数，利用列举法写出基本事件数，再计算所求的概率值．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
 

20.【答案】解：，
，
函数在处取得极值，
，即，
，
，
，
由得，，．
当时，，
，
，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，
，，
又，
，
．
． 

【解析】函数在处取得极值，得，，就可解出，．
求导，进而得出在区间上的单调性，求出最小值让它等于，进而求出的值，再求最大值．
本题考查函数的极值，最值，单调性，属于中档题．
 

21.【答案】解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得
所以抛物线的方程为．
证明：直线斜率不存在时，
可设，，
，
，，
又，，
，解得，
，为垂足，
，
故存在定点，使得为定值，
直线斜率存在时，设直线：，解得，
设，，则，，
因为，所以，
得，
所以，
得，即，
当时，过定点，不符合题意；
当时，直线过点，
所以点在以为直径的圆上，
故当为的中点时，定值． 

【解析】利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可．
直线斜率不存在时，满足题意，
直线斜率不存在时，设直线：，联立直线与抛物线方程，设，，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，推出结果．
本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ直线的参数方程为为参数，转换为直线普通方程为，
圆的极坐标方程为转换为圆的直角坐标方程为．
Ⅱ联立直线的参数方程为参数代入圆的直角坐标方程可得，
化简可得和为、对应的参数
则． 

【解析】Ⅰ直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
Ⅱ利用Ⅰ的结论，根据一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

23.【答案】解：，可化为，，．
，可化为，；
，可化为，，，
综上所述，不等式的解集为；
当且仅当时，等号成立，即．
关于的不等式不恒成立，
，或． 

【解析】本题考查不等式的解法，考查不恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
分类讨论，即可解不等式；
求出，关于的不等式不恒成立，可得，即可求实数的取值范围．