2021-2022学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科） 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）抛物线的焦点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 双曲线的渐近线方程是(    )A.  B.  C.  D. 复数(    )A.  B.  C.  D. 已知函数，曲线在点处的切线方程为(    )A.  B.
C.  D. 给出下列说法：
用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；
两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好；
在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；
两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近．
则正确说法的个数是(    )A.  B.  C.  D. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为(    )A.  B.  C.  D. 抛物线上一点和焦点的距离等于，则点的横坐标(    )A.  B.  C.  D. 函数的极大值为(    )A.  B.  C.  D. 双曲线具有的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：，为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点，反射后射出共线，且，则的离心率为(    )
 A.  B.  C.  D. 若函数在上有且只有一个零点，则(    )A.  B.  C.  D. 若，，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，给出以下结论：
的离心率；
两渐近线夹角为；
为定值．
则所有正确结论为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）函数的单调增区间为______．曲线：经过伸缩变换后，所得曲线的方程为______．已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．过点作抛物线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______． 三、解答题（本大题共6小题，共72分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
写出的直角坐标方程；
设点的坐标为，直线与交于，，求的值．已知曲线在点处的切线方程为．
求、的值；
求的极值．越来越多的人喜欢运动健身，其中徒步也是一项备受喜欢的运动．某单位为了鼓励更多的职工参与徒步运动，对一个月内每天达到步及以上的职工授予“运动达人”称号，其余的职工称为“运动参与者”为了解职工的运动情况，选取了该单位名职工某月的运动数据进行分析，结果如下： 运动参与者运动达人合计中年职工青年职工合计根据上表，判断是否有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关？
从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取人参加某地区“万步有约”徒步大赛．若从选取的人中随机抽取人作为代表参加开幕式，求“选取的人中，中年职工最多有人”的概率．
附表及公式：其中，．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为．
求的方程；
经过点的直线交于，两点，且为线段的中点，求的方程．已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点．当时，．
求的方程；
若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标．设函数，其中．
求的单调区间；
当时，证明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：抛物线中，，
则焦点坐标为，
故选：．
根据抛物线解析式，确定出焦点坐标即可．
此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：双曲线的，，
则双曲线的渐近线方程为：，
即为
故选：．
求出双曲线的，，再由渐近线方程，即可得到．
本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由，得，
，又，
曲线在点处的切线方程为．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：相关指数越小说明拟合效果越差，故错误；
两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好，故正确；
在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故正确；
两个随机变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近，故正确．
故选：．
理解经验回归模型的相关概念，即可判断．
本题考查了变量之间的相关关系，考查了推理能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：根据，圆转换为直角坐标方程为，转换为标准式为；
故圆心的坐标为，转换为极坐标为．
故选：．
直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步把直角坐标转换为极坐标．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：由抛物线可得准线方程为，
和焦点的距离等于，，
．
故选：．
由题意可得，求解即可．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 8.【答案】 【解析】解：因为，，
所以，
令，得或，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以的单调递增区间为：，；单调递减区间为．
所以．
故选：．
求导，利用导数确定的单调区间，从而即可求极大值．
本题考查了利用导数确定函数的单调区间从而求函数的极大值，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：因为，所以，即为等边三角形，
又，所以，，
由双曲线的定义知，，即，
所以离心率．
故选：．
易知为等边三角形，可得，的长，再结合双曲线的定义与，得解．
本题考查双曲线的定义与几何性质，熟练运用双曲线的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意，若函数在上有且只有一个零点，
即方程在上有且只有一个根，变形可得有且只有一个正根，
故函数与直线在上有且只有一个交点，
对于，其导数，
在区间上，，为减函数，
在区间上，，为增函数，
故的最小值为，
若函数与直线在上有且只有一个交点，则；
故选：．
根据题意，设，分析可得函数与直线在上有且只有一个交点，求出的导数，分析的单调性，可得的最小值，即可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数零点的定义，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意，，，
则可建立新函数模型，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，又，
所以，
故选：．
根据题意构建新函数，求导后利用单调性可解．
本题考查利用构造法比较大小，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：因为圆与的渐近线相切，
所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，
即，解得，
所以，离心率，故正确；
因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，
所以两渐近线夹角为，故正确；
设，则，
为定值，故正确；
故选：．
根据圆与渐近线相切可求出，，根据离心率公式求出离心率可判断正确；
根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断正确；
设，根据点到直线距离公式求出为定值，可判断正确；
本题考查了圆与圆锥曲线的综合，双曲线的性质，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解： 的定义域为，
，由得：，或舍去，
函数的单调递增区间为．
故答案为：．
由，得，由即可求得的单调增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：曲线：经过伸缩变换后，得到；
故答案为：．
直接利用伸缩变换的转换求出结果．
本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
设，则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是
故答案为：
求导后，利用参变分离法，可将原问题转化为在上恒成立，设，再求得的最小值，即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，熟练掌握参变分离法，函数的单调性与导数之间的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：设，，
抛物线，，
过点的切线方程为，即．
代入可得，
同理，
，都满足方程，即为直线的方程，
 故答案为：．
求出过点的切线方程，代入可得，同理，从而，都满足方程，即为直线的方程．
本题考查抛物线的切线问题、导数的几何意义，属于中档题．
 17.【答案】解：曲线的极坐标方程为，根据，把整理得，，
故：，
即的直角坐标方程为．
由已知，直线的参数方程代入的方程，得
，
于是，
所以． 【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 18.【答案】解：由函数的解析式可得，
由切线方程可知切点坐标为，切线的斜率为，
从而有：，求解方程组可得，
故，．
由题意可得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故函数的极大值为，函数的极小值为． 【解析】由题意可知切线方程可知切点坐标为，切线的斜率为，结合导函数的解析式得到关于，的方程组，求解方程组可得，的值；
结合的结论可得，利用导数研究函数的单调性，然后求解函数的极值即可．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值等知识，属于基础题．
 19.【答案】解：由题，
所以，有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系．
由已知，按照年龄段采用分层抽样的方法抽取的人中，中年职工有人，记为，，，；青年职工有人，记为，．
从这人中选取人包含的所有基本事件分别为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件．
“选取的人中，中年职工最多有人”包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个．
设表示事件“选取的人中，中年职工最多有人”，则． 【解析】利用计算公式可解，
按照年龄段采用分层抽样的方法抽取的人中，中年职工有人，记为，，，；青年职工有人，记为，，再利用古典概型可解．
本题考查独立性检验思想以及古典概型，属于基础题．
 20.【答案】解：由已知可得，，解得，．
的方程为；
由题意可得，直线的斜率一定存在且，，
设直线的方程为，，，
联立，得．
则，
，解得，
直线的方程为，即． 【解析】由题意可得关于，，的方程组，求得与的值，则双曲线方程可求；
由题意设直线的方程为，与双曲线方程联立，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式列式求得，则直线方程可求．
本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 21.【答案】解：直线的斜率为且过焦点，则的方程为，
当时，直线的方程为，
联立方程组，消去，得，
设，，则，
所以，，解得，所以抛物线的方程为．
设，，直线的斜率存在，，
因为与关于轴对称，则，所以，
直线方程为，即，
联立方程组，消去，得，
由题知，所以，
直线的方程为，即，
令，得所以，直线过定点． 【解析】当时，直线的方程，将其与抛物线方程联立，求出，再利用焦点弦长公式求得，确定抛物线方程；
设出，利用对称得到，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理解得，即可确定直线过定点．
本题考查直线与抛物线的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：因为，，
所以，
当时，在区间上恒成立，在上递增；
当时，令得，
当时，，递减；当时，，递增．
综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：当时，，
要证，即证明：．
令，则，令得，
当时，，递减，当时，，递增，
所以，则，当且仅当时“”成立．
令，则，令得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，则，
当且仅当时“”成立．于是，，两个“”不能同时成立，
所以，即，
所以，当时，对恒成立． 【解析】求导得，分，两种情况讨论导数的正负即可得函数的单调区间；
求得，将原命题转化为证明恒成立，设，，利用导数证明即可．
本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值，也考查了转化思想，属于中档题．