初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试单元测试课时训练

这是一份初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试单元测试课时训练，共30页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】B，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在平面直角坐标系中，A(0,3)、B(3,0)，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为(    )
A. 1
B. 322−1
C. 2
D. 22−1
2. 如图，在等边△ABC中，AB=12，点D在AB边上，AD=4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD=90°，则线段PE的最小值为【】

A. 33−2 B. 43−2 C. 213−4 D. 413−8
3. 如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是(    )
A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
4. 如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上(不与点A，点B重合)，连结PD交⊙O于点C，且PC=OB.设∠P=α，∠B=β，下列说法正确的是(    )

A. 若β=30°，则∠D=120° B. 若β=60°，则∠D=90°
C. 若α=10°，则AD⌢=150° D. 若α=15°，则AD⌢=90°
5. 如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF//AB，若AB=4，则DE的长为(    )
A. 1
B. 5−1
C. 3
D. 2


6. 如图，等腰直角三角形ABC的顶点都在⊙O上，点M为⊙O上一点，连接OM，CM，若∠AOM=108°，则∠CMO的度数为(    )
A. 18°
B. 9°
C. 6°
D. 3°
7. 如图，在矩形ABCD中AB=10，BC=8，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为(    )
A. 245
B. 210
C. 8105
D. 6105
8. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为(    )


A. (−32,−3) B. (32,−332) C. (−3,3) D. (−32,−32)
9. 如图所示，矩形ABCD的边长AB=2，BC=23，△ADE为正三角形.若半径为R的圆能够覆盖五边形ABCDE(即五边形ABCDE的每个顶点都在圆内或圆上)，则R的最小值是(    )
A. 23
B. 4
C. 2.8
D. 2.5
10. 如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为(    )
A. 93−3π
B. 6π−93
C. 3π−93
D. 93−6π
11. 如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是(    )
A. π−3
B. 32π−3
C. 94π−3
D. 94π−32
12. 如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是(    )


A. 8 B. 102 C. 152 D. 202
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，点A、B的坐标分别为A(0,4)、B(4,0)，点C为坐标平面内一点，BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为______．

14. 在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是______．
15. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(−3,3)，(7,−2)，则△ABC内心的坐标为______．


16. 用一块圆心角为216∘的扇形铁皮做一个高为40cm的圆锥形工件(接缝处忽略不计)，则这块扇形铁皮的半径是          cm．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接AC，BD．


(1)过点D作DF⊥AC于点F，过点A作AE⊥BD于点E，求AE，AF的长．
(2)以点A为圆心画圆，使B，C，D，E，F5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，并求⊙A的半径r的取值范围．
18. 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，
(1)如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹)；
(2)如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．


19. 如图，已知AB为圆O的弦(非直径)，E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CD//AB，且交AO的延长线于点D.EO：OC=1：2，CD=4，求圆O的半径．

20. 已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A=50°，∠B=70°，连接DO，CO，DC
(1)如图①，求∠OCD的大小：
(2)如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．


21. 如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F.连结BF.过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)已知EG=2，DG=1.求CF的长．

22. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，延长AC到点D，使得CD=CB，连接BD交⊙O于点E，过点E做BC的平行线交CD于点F．
(1)求证：AE=DE．
(2)求证：EF为⊙O的切线；
(3)若AB=5，BE=3，求弦AC的长．

23. 如图，在8×8的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，线段交点称做格点．任意连接这些格点，可得到一些线段．按要求画图：
(1)请画出△ABC的高AD；
(2)请连接格点，用一条线段将图中△ABC分成面积相等的两部分；
(3)直接写出△ABC的面积是______．

24. 在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
25. 蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为12cm，高为10cm，其中空心小圆柱底面的直径均为2cm．
(1)求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米(结果保留π)？
(2)如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？
(3)如图3，若将12个这种蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少(箱子厚度忽略不计)？



答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出OC最小时点C的位置是解题关键，也是本题的难点．确定点C的运动路径是：以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，先求⊙D的半径为1，说明D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=322，所以OC的最小值是322−1．
【解答】
解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆(CA：PA=1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆)，当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA=3，OB=3，
∴AB=32，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1=2，AP1=32+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1=322+1，AQ=32−2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2=C2Q=322−1，
C1C2=322−1−(322−1)=2，即⊙D的半径为1，
∵AD=322−1+1=322=12AB，
∴OD=12AB=322，
∴OC=322−1，
故选：B．  
2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查最短路线问题、等边三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键，以BD为直径作圆O，连接OE交圆O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，过E作EF⊥AB于F，先利用等边三角形的性质求出AE=6，再利用勾股定理求出EF=33，在直角△OEF中，利用股定理求出OE=213，从而可以得出结论．
【解答】
解：如图：以BD为直径作圆O，连接OE交圆O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，过E作EF⊥AB于F，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，AB=AC，
∵AB=12，E为AC中点，
∴AE=12AC=6，
∴在直角△AEF中，∠A=60°，AE=6，
∴∠AEF=30°，
∴AF=3，
∴EF=AE2−AF2=33，
在直角△OEF中，EF=33，OF=5，
∴OE=EF2+OF2=213，
∴PE=213−4，
即线段PE的最小值为213−4．
故选C．  
3.【答案】B 
【解析】解：连接OC，OD，PD，CQ.设PC=x，OP=y，OF=a，

∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO=∠OQD=90°，
∵PC=OQ，OC=OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP=DQ=y，
∴S阴=S四边形PCQD−S△PFD−S△CFQ=12(x+y)2−12⋅(y−a)y−12(x+a)x=xy+12a(y−x)，
∵PC//DQ，
∴PCDQ=PFFQ，
∴xy=y−aa+x，
∴a=y−x，
∴S阴=xy+12(y−x)(y−x)=12(x2+y2)=252
故选：B．
连接OC，OD，PD，CQ.设PC=x，OP=y，OF=a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a=y−x即可判断；
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键.连接OC，OD，利用半径相等和等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理得到α和β的数量关系，然后根据选项中角的度数，分别代入求解，得出正确结论即可．
【解答】
解：如图所示：连接OC，OD，

∵PC=OB=OC=OD，
∴∠P=∠COP，∠OCD=∠ODC，∠B=∠ODB，
∴∠OCD=∠ODC=∠P+∠COP=2∠P=2α，
∴∠AOD=∠B+∠ODB=2∠B=2β，
∵∠P+∠B+∠PDB=180°，
∴∠P+∠B+∠ODC+∠ODB=180°，
即α+β+2α+β=180°，
∴α=60∘−23β，
A.若β=30°，则α=40°，∠D=2α+β=110°≠120°，故A错误．
B.若β=60°，则α=20°，∠D=2α+β=100°≠90°，故B错误．
C.若α=10°，则β=75°，∠AOD=2β=150°，所以AD=150∘，故C正确；
D.若α=15°，则β=67.5°，∠AOD=2β=135°，所以AD=135∘≠90°，故D错误．
故选C．  
5.【答案】B 
【解析】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF//AB，
∴CM⊥EF．

根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF//AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=12AB=2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM=MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM=MF，
∴DE=GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD⋅DC=DE⋅DF，即DE×(DE+2)=4；
解得DE=5−1(负值舍去)．
故选：B．
设AC与EF交于点G，由于EF//AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=2；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD⋅DC=DE⋅DF，而BD、DC的长易知，DE=2+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．
本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵∠AOM=108°，
∴∠ACM=12∠AOM=12×108°=54°．
设AB，CM交于点G，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=45°，
∴∠AOM=∠CMO+∠OGM=108°．

∵∠OGM=∠A+∠ACM，
∴∠AOM=∠CMO+∠ACM+∠A=∠CMO+54°+45°=108°，
∴∠CMO=108°−54°−45°=9°，
故选B．
由等腰直角三角形的性质及圆的概念与性质可求解∠ACM=54°，设AB，CM交于点G，由三角形外角的性质可得∠AOM=∠CMO+∠OGM=108°，∠OGM=∠A+∠ACM，进而可求解∠COM的值．
本题主要考查三角形外角的性质，圆的概念与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用三角形外角的性质求解角的度数是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，如图，

∵边A1B1与⊙O相切于点E，
∴OE⊥A1B1．
∵四边形A1B1C1D1是矩形，
∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1．
∴四边形B1EFC为矩形．
∴EF=B1C=8．
∵CD为⊙O的直径，
∴OE=DO=OC=12AB=5．
∴OF=EF−OE=3．
∵A1B1//CD1，OE⊥A1B1，
∴OF⊥CD1．
∴CF=OC2−OF2=4．
由旋转的性质可得：∠OCF=∠B1CG．
∴sin∠OCF=sin∠B1CG=35，cos∠OCF=cos∠B1CG=45．
∵sin∠OCF=B1GB1C，cos∠OCF=CGB1C，
∴B1G8=35，CG8=45．
∴B1G=245，CG=325．
∴BG=BC−CG=85．
∴BB1=BG2+B1G2=(85)2+(245)2=8510．
故选：C．
连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EF=B1C=8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：∠OCF=∠B1CG，则sin∠OCF=sin∠B1CG=35，cos∠OCF=cos∠B1CG=45；利用直角三角形的边角关系可求B1G和CG，最后利用勾股定理可得结论．
本题主要考查了矩形的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，旋转的性质，连接EO，利用切线的性质得到OE⊥A1B1，是解决此类问题常添加的辅助线．

8.【答案】A 
【解析】解：如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=1，AD=2，∠ABD=90°，
∴BD=AD2−AB2=22−12=3，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=12AF=12，
∴OB=OA+AB=32，
∴D(32,3)，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2025÷6=337⋅⋅⋅3，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，
∵D与D3关于原点对称，
∴D3(−32,−3)，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标(−32,−3)，
故选：A．

如图，连接AD，BD.首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2025÷6=337⋅⋅⋅3，推出经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，由此即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化−旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．

9.【答案】C 
【解析】解：如图，连接AC，BE，CE，取BC中点F，连接EF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AB=DC=2，BC=AD=23，
∴AC=AB2+BC2=4+12=4，
∴sin∠ACB=ABAC=24=12，
∴∠ACB=30°，∠CAD=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=∠EDA=60°，AE=DE=AD=23，
∴∠EAC=∠EAD+∠CAD=60°+30°=90°，
∴△EAC是直角三角形，
∴EC=AE2+AC2=12+16=27，
∵∠EAB=∠EAD+∠DAB=60°+90°=150°，
∠EDC=∠EDA+∠ADC=60°+90°=150°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵EA=ED，AB=DC，
∴△EAB≌△EDC(SAS)，
∴EB=EC=27，
即△EBC是等腰三角形，
∵五边形ABCDE是轴对称图形，其对称轴是直线EF，
∴能覆盖五边形ABCDE的最小圆的圆心在线段EF上，
且此圆只要覆盖住△EBC必能覆盖五边形ABCDE，
从而此圆的圆心到△BCE的三个顶点距离相等．
设此圆圆心为O，则OE=OB=OC=R，
∵F是BC中点，
∴BF=CF=3，EF⊥BC，
∴EF=EB2−BF2=28−3=5，
∴OF=EF−OE=5−R，
在Rt△OBF中，BF2+OF2=OB2，
即(3)2+(5−R)2=R2，
解得R=2.8．
则R的最小值是2.8．
故选：C．
连接AC，BE，CE，取BC中点F，连接EF，根据矩形性质和等边三角形的性质证明△EAC是直角三角形，证明△EAB≌△EDC，可得△EBC是等腰三角形，因为五边形ABCDE是轴对称图形，其对称轴是直线EF，能覆盖五边形ABCDE的最小圆的圆心在线段EF上，且此圆只要覆盖住△EBC必能覆盖五边形ABCDE，从而此圆的圆心到△BCE的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O，则OE=OB=OC=R，根据勾股定理即可求出R值，进而可得结论．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，多边形与圆，解决本题的关键是综合运用以上知识．

10.【答案】A 
【解析】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC=OC，
∴OD=2OC=6，
∴CD=62−32=33，
∴∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD−S△COD=60π×62360−12×3×33=6π−932，
∴阴影部分的面积为90π×62360−2×(6π−932)=93−3π，
故选：A．
连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=6，CD=33，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD−S△COD，能进而求出答案．
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2360．

11.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了正多边形与圆的关系，阴影部分的面积，解答本题的关键是掌握利用“割补法”求阴影部分面积的思路与方法；连接OA、OB、ON、OM，ON交AB于G，OM交BC于H，过点A作AP⊥OB于P，然后观察图形，利用“割补法”求出阴影部分的面积即可．
【解答】
解：连接OA、OB、ON、OM，ON交AB于G，OM交BC于H，过点A作AP⊥OB于P，如图：

则△OBM≌△OAN，△OAG≌△OBH，
∴S△OBM=S△OAN，S△OAG=S△OBH，
∴S△OBM−S△OBH=S△OAN−S△OAG，
∴S△MBH=S△NAG，
在△OAB中，OA=AB=OB=2，BP=OP=1，∠APO=90°，
∴AP=AO2−PO2=22−12=3，
∴S△AOB=12OB·AP=12×2×3=3，
∴S阴影=S扇形MON−S四边形OGBH
=S扇形MON−S△AOB
=60π×32360−3
=32π−3．
故选：B．  
12.【答案】D 
【解析】解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴nπ×20180=10π，
解得n=90，
圆锥的侧面展开图，如图所示：

∴最短路程为：202+202=202，
故选D．
易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．

13.【答案】22+1 
【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=4，连接CD，

∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=4，∠BOD=90°，
∴BD=42，
∴CD=42+2，
∴OM=12CD=22+1，即OM的最大值为22+1，
故答案为：22+1．
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．

14.【答案】4 【解析】
【分析】
本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键。作△ABC的外接圆，求出当∠BAC=90°时，BC是直径最长=833；当∠BAC=∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC=AC=AB=4，根据∠BAC>∠ABC进行解答即可；
【解答】
解：作△ABC的外接圆，如图所示：

∵∠BAC>∠ABC，AB=4，
当∠BAC=90°时，BC是直径且最长，
∵∠C=60°，
∴∠ABC=30°，
设圆心为点O，连接OA，
∵OA=OC且∠C=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC，
∴BC=2AC，AB=3AC=4，
∴AC=433
∴BC=833
当∠BAC=∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC=AC=AB=4，
∵∠BAC>∠ABC，
∴BC长的取值范围是4 故答案为4 15.【答案】(2,3) 
【解析】解：如图，点I即为△ABC的内心．

所以△ABC内心I的坐标为(2,3)．
故答案为：(2,3)．
根据点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(−3,3)，(7,−2)，建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定△ABC内心的坐标即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．

16.【答案】50 
【解析】略

17.【答案】解：(1)如图 ①所示．


∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴AC=BD=AB2+AD2=32+42=5．
∵12AE⋅BD=12AB⋅AD，
∴AE=3×45=125．
同理可得DF=125．
在Rt△ADF中，AF=AD2−DF2=42−(125)2=165．
(2)画图答案不唯一，如图 ② ③所示．


由(1)可得AE ∴若以点A为圆心画圆，B，C，D，E，F5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，则点E必在圆内，点D，C必在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为125  
【解析】见答案

18.【答案】解：(1)如图1所示；


(2)连接OA.如图2．
由(1)中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，
∴AD=12AB=20．
∵CD=10，
∴OD=R−10．
在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
∴R2=202+(R−10)2．
解得：R=25．
即桥弧AB所在圆的半径R为25米． 
【解析】(1)由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AB，BC的中垂线交于点O，则点O是桥弧所在圆的圆心；
(2)首先连接OA，由(1)可得：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，即可求得AD的长，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，即可求得拱桥的半径R．
此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

19.【答案】解：∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB，即∠3=90°，(1分)
∵AB//CD，∴∠4=90°，(2分)
∵∠1=∠2，(3分)
∴△AOE∽△DOC，(4分)
∴AE：DC=OE：OC=1：2，(5分)
∴AE=12CD=2，(6分)
又∵OA=OC=2OE，(7分)
而AE2+OE2=OA2，
∴OE2+4=(2OE)2，
∴OE=233，(8分)
∴圆O的半径OA=2OE=233×2=433.(9分) 
【解析】根据E为AB的中点，则OE⊥AB，根据CD//AB，可以得到△AEO∽△DCO，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AE，在Rt△AOE中，根据勾股定理，就得到半径．
本题主要考查了垂径定理，利用勾股定理把求半径的问题转化为解方程的问题．

20.【答案】解：(1)∵OA=OD，OB=OC，
∴∠A=∠ODA=50°，∠B=∠OCB=70°，
∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，
∴∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°，
∵OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=60°；
(2)∵PD⊥OD，PC⊥OC，
∴∠PDO=∠PCO=90°，
∴∠PDC=∠PCD=30°，
∴PD=PC，
∵OD=OC，
∴OP垂直平分CD，
∴∠DOP=30°，
∵OD=2，
∴OM=32OD=3，OP=433． 
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ODA=50°，∠B=∠OCB=70°，求得∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°，推出△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；
(2)根据垂直的定义得到∠PDO=∠PCO=90°，求得∠PDC=∠PCD=30°，推出PD=PC，得到OP垂直平分CD，求得∠DOP=30°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：如图，连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵EG⊥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OE//CD//AB，
∴∠CEO=∠CAB，
∵OC=OE，
∴∠CEO=∠ECO，
∴∠ACB=∠CAB，
∴AB=BC，
∴▱ABCD是菱形；
(2)如图，连接BD，
由(1)得，OE//CD，OC=OB，
∴AE=CE，
∴CE：AC=1：2，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD经过点E，
∵BC是⊙O的直径，
∴BF⊥CD，
∵EG⊥CD，
∴EG//BF，
∴△DGE∽△DFB，
∴DG：DF=GE：BF=DE：BD=1：2，
∴DF=2，BF=4，
在Rt△BFC中，设CF=x，则BC=x+2，
由勾股定理得，x2+42=(x+2)2，
解得：x=3，
∴CF=3． 
【解析】(1)如图，连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，根据平行四边形的性质得到OE//CD//AB，推出AB=BC，于是得到结论；
(2)如图，连接BD，由(1)得，CE：AC=1：2，得到点E是AC的中点，根据圆周角定理得到BF⊥CD，根据相似三角形的性质得到DF=2，BF=4，由勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵CD=CB，
∴∠DBC=∠D，
又∵∠DBC=∠CAE，
∴∠D=∠CAE，
∴AE=DE．

(2)证明：∵∠ACB=∠DBC+∠D=2∠DBC=2∠CAE
又∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB
∴∠BAC=2∠CAE，
∴∠CAE=∠BAE
∴点E为弧BEC的中点，
连接OE，则OE⊥BC，
又∵EF//BC，
∴OE⊥EF，
∴EF为圆O的切线．

(3)解：在△ABE和△DBA中，
∵∠BAE=∠D∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ABEB=DBAB=DAAE，
∴AB2=BE⋅DB，
∴BD=253DE=BD−BE=253−3=163，
由(1)得，AE=DE=163，
∵ABEB=DAAE，
∴DA=809，
∵CD=CB=AB=5，
∴AC=DA−CD=359． 
【解析】(1)欲证明AE=DE，只要证明∠EAD=∠D即可．
(2)欲证明EF是⊙O的切线，只要证明OE⊥EF即可．
(3)利用相似三角形的性质求出AD即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】10 
【解析】解：(1)△ABC的高AD如图所示．
(2)如图线段AE将△ABC分成面积相等的两部分．
(3)S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4×5=10．
故答案为10．

(1)根点A画BC的垂线段即可，△ABC的高AD如图所示．
(2)取BC的中点E，如图线段AE将△ABC分成面积相等的两部分．
(3)根据S△ABC=12⋅BC⋅AD计算即可；
本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】(1)证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
DG=OG2−OD2=63，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积−扇形OBD的面积
=12×6×63−60π×62360=183−6π． 
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等．
(1)连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD//AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；
(2)证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=63，阴影部分的面积=△ODG的面积−扇形OBD的面积，即可得出答案．

25.【答案】解：(1)煤球的体积：π×(12÷2)2×10=360π(立方厘米)，
煤球的16个圆柱形孔的体积是：π×(2÷2)2×10×16=160π(立方厘米)，
 煤球的体积是：360π−160π=200π(立方厘米)．
(2)圆锥的体积=13×π×2002×90=1200000π(立方厘米)，
1200000π200π=6000(个)，
∴这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作6000个蜂窝煤．
(3)这个长方体的长为48厘米，宽为36厘米，高为10厘米，
所以这个长方体的表面积为：2×(48×36+36×10+48×10)=5136(平方厘米)． 
【解析】(1)求一块蜂窝煤的用煤量，就用这块蜂窝煤的总体积减去16个圆柱形小孔的体积；由此根据圆柱的体积公式V= sh=π(d÷2)2 h分别求出蜂窝煤的体积和圆孔的体积，再用蜂窝煤的总体积减去16个圆孔的体积即可；
(2)求出圆锥的体积，可得结论；
(3)判断出长方体的长，宽，高，可得结论．
本题考查作图−应用与设计作图，圆柱，圆锥的的体积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．