初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用导学案

新知讲解

提炼概念

“二次函数应用” 的思路

运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :

典例精讲 

例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

例3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利

润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？

课堂练习

巩固训练

1.下列有关函数y＝的说法正确的是(　 ）

A．有最大值2，又有最小值0

B．有最大值，但没有最小值

C．有最大值1，又有最小值0

D．既有最大值，又有最小值0

2.如图是两条互相垂直的街道, 且A到B, C的距离都是4千米. 现甲从B地走向A地, 乙从A地走向C地, 若两人同时出发且速度都是4千米/时, 问何时两人之间的距离最近?

3.   某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

【点悟】 利用二次函数求最大利润问题时注意：

(1)分类讨论(涨价与降价)；

(2)分涨价和降价每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系；

(3)自变量的取值范围的确定，保证实际问题有意义；

(4)一般是利用二次函数顶点坐标求最大值，但有时顶点不在取值范围内，此时可利用图象分析．

答案

引入思考

根据函数的性质即可得出此函数的最值.

提炼概念

（1）求出函数解析式和自变量的取值范围.

（2）配方变形，或检查求得的最大值或最小值对

(3）应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.

（4）利用公式求它的最大值或最小值.

典例精讲 

例3

例4

答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。

巩固训练

1.   D

2.解：设两人均出发了t时, 则此时甲到A地的距离是(4－4t)千米, 乙离A地的距离是4t千米, 由勾股定理, 得甲, 乙两人间的距离为：

S=,

∴当t=(在0<t≤1的范围内)时, S的最小值为千米.

3.

解：调整价包括涨价和降价两种情况：

(1)设每件涨价x元，每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润

y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，

即y＝－10x2＋100x＋6 000

＝－10(x－5)2＋6 250.

其中0≤x≤30.(∵300－10x≥0，∴x≤30)

当x＝5时，y有最大值为6 250.即在涨价情况下，涨价5元，定价65元，所获利润最大，最大利润是6 250元．

(2)设每件降价x元，则每星期可多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)(300＋20x)元，买进商品时需付40(300＋20x)元，因此，所得利润

y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即

y＝－20x2＋100x＋6 000＝－20(x2－5x－300)

＝－20

＝－20

＝－20(x－)2＋6 125.

课堂小结

1.综合运用二次函数和其他数学知识解决与距离、利润等有关的函数最值问题．

“距离”问题：要构造直角三角形，利用勾股定理，建立S＝型的函数关系式(这不是二次函数)，但问题的本质是求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值．

2.“最大利润”问题：一般是先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数表达式，求出这个函数表达式的顶点坐标(符合实际情况)，即求得最大利润．