数学九年级上册第1章 二次函数1.4 二次函数的应用学案设计

新知讲解

提炼概念

我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程               的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由             的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。

典例精讲 

例4、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s²）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?

例5、利用二次函数的图象求一元二次方程x²+x-1=0的近似解。

课堂练习

巩固训练

1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是(　   　)

 A．3　　　　   B．2

 C．1     D．0

2．根据下表的对应值：

判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b，c为常数)一个解x的范围是  (　   　)

A．3<x<3.23     B．3.23<x<3.24

C．3.24<x<3.25    D．3.25<x<3.26

3.利用函数图象判断方程2x2－x－1＝0有没有实数解，若有，求出它的解(精确到十分位)．

4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)求方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．

(2)求不等式ax2＋bx＋c>0的解集．

(3)求y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

答案

引入思考

由b²-4ac的符号决定：b²-4ac﹥0，有两个交点 ；b²-4ac=0，只有一个交点

b²-4ac﹤0，没有交点

解：∵A、B在x轴上，∴它们的纵坐标为0，

    ∴令y=0，则x2-3x+2=0  解得：x1=1，x2=2；

∴A（1，0） ，  B（2，0）

方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。

提炼概念

ax2＋bx＋c=0(a≠0)

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

典例精讲

例4  解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t²

取h=0，得一元二次方程

          10t－5t²=0

解方程得t1=0；t2=2

球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）

取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75

解方程得t1=0.5；t2=1.5

答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。

归纳

从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。

例5  解：设，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标就是方程的解.

观察图，得到点A的横坐标点B的横坐标.所以方程的近似解为，

巩固训练

1.B

2.【解析】 当x由3.24变到3.25时，ax2＋bx＋c(a≠0)的值由－0.02变到0.03，则中间必过原点．所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解必在3.24<x<3.25范围内．选C

3.解：方法一：设y＝2x2－x－1，则方程2x2－x－1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在平面直角坐标系内画出函数y＝2x2－x－1的图象如图(1)所示，得到与x轴交点为A，B，则A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．由图象可知方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－0.5，x2＝1.0.

方法二：设y＝2x2与y＝x＋1，则方程2x2－x－1＝0的解就是函数y＝2x2与y＝x＋1的图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x2与y＝x＋1的图象，如图(2)所示，得到两函数图象有两个交点A，B，即方程2x2－x－1＝0有两个实数解，且A，B两点的横坐标x1，x2就是方程的解．由图象可得方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－0.5，x2＝1.0.

4.【解析】(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，即抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标．

(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集即为抛物线y＝ax2＋bx＋c>0所对应的x的值．

(3)抛物线的对称轴是直线x＝2.当x>2时，y随x的增大而减小．

(4)方程ax2＋bx＋c＝k的根，可以看作抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点情况．因为抛物线的最大值为y＝2，所以方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根对应的是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．故k<2.

解：(1)x1＝1，x2＝3；(2)1<x<3；(3)x>2；(4)k<2.

课堂小结

1．用一元二次方程求二次函数的图象与x轴(或平行于x轴的直线)的交点坐标

二次函数图象与x轴交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．因此可以用方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标．

二次函数图象与平行于x轴的直线的交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与平行于x轴的直线y＝n的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝n(a≠0)的两个根．

2．利用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解

步骤：(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．

(2)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的取值范围，即确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标的大致范围．

(3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索，即在(2)范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．

(4)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解(或近似解)．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解或近似解．