初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理学案及答案

新知讲解

提炼概念

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.

推导格式：

∵ CD是直径，CD⊥AB，

∴ AE=BE,弧AC =弧BC,弧AD =弧BD

条件：直径垂直于弦

结论：直径平分弦，直径平分弦所对的弧

垂径定理的几个基本图形

典例精讲

例1

已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.

例2

一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离.

总结：弦心距：                                               。

课堂练习

巩固训练

1.如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（    ）

A．∠COE=∠DOE      B．CE=DE

C．OE=BE            D．BD=BC

2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（   ）

 A．3≤OM≤5    B．4≤OM≤5

 C．3<OM<5      D．4<OM<5

3.已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦AB，CD的距离是    (　   　)

A．7 cm　　　　　　B．17 cm

C．12 cm    D．7 cm或17 cm

4.如图所示，是一个单心圆形隧道的截面，若路面AB宽为10 m，高CD为7 m，则此隧道单心圆的半径OA是(　   　)

5. 如图所示，圆的两条弦AB，CD互相平行，求证：＝.

引入思考

1.圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

2.点C与点D重合，CP与DP重合，

＝，＝．

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

理由如下：

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合．

分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.

提炼概念

典例精讲

例1 作法:

1. 连结AB;

2. 作AB的垂直平分线CD,交弧AB与点E;

∴点E就是所求弧AB的中点.

例2解: 作OC⊥AB于C,

      由垂径定理得:

      AC=BC=AB/2=0.5×16=8

      由勾股定理得:

答: 截面圆心O到水面的距离为6.

圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.

例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.

巩固训练

1. 答案：C

2.答案：A

3.答案：D

4.答案：B

5.证明：如图所示．作OG⊥AB，分别交AB，CD和圆于点E，F，G.

∵OG⊥AB，∴＝，

同理可得＝.

又∵＝－，＝－，

∴＝.

课堂小结

1．圆的轴对称性

圆是_____________，每一条过圆心的直线都是圆的__________．

轴对称图形，对称轴

2．垂径定理

定理：垂直于弦的直径_________这条弦，并且___________________．

平分，平分弦所对的弧

3．弧的中点及弦心距

弧的中点：_____________成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．

分一条弧

弦心距：圆心到圆的___________________叫弦心距．

一条弦的距离