中考数学一轮总复习16《特殊三角形》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）

【考纲要求】

【高清课堂：等腰三角形与直角三角形   考纲要求】

1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；

2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；

3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、等腰三角形

1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性质：
　　(1)具有三角形的一切性质.
　　(2)两底角相等(等边对等角)
　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
　要点诠释：
　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
考点二、直角三角形

1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性质：
　(1)直角三角形中两锐角互余.
　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3．判定：
　　(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.

【典型例题】

类型一、等腰三角形

1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(    )
　　A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半
　　　　　

【思路点拨】等角的余角相等.

【答案】B.

【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=

90°-(180-∠A)= ∠A，

【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（   ）A．5个 　　　B．4个　　　 C．3个　　　 D．2个

【答案】A．

2．（2015秋•南通校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=　  　cm．

【思路点拨】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=30，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．

【答案】32;

【解析】

解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BE=30，DE=2，

∴DM=28，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=30°，

∴NM=14，

∴BN=16，

∴BC=2BN=32，

故答案为32．

【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．

类型二、直角三角形

3．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为(   )

 A. 　　　B.　　　 C. 　　　D.
　　　　　　　

【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.

【答案】C.

【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，
　　　　所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.　　

【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.

【变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为(   )．　

A.　　　 B. 　　　C.　　　 D.5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】B.
解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB
　　　 设BD为x，则CD=8-x
　　　 ∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2
　　 　∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=
　　　在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5
　　　在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=， 故选B.

4．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
　　(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
　　(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　图2

【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.
　　　      (2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.

【答案与解析】

　(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°
　　　　　　 又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；
  (2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　　∴=45°
　　　　　　∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　  　∠BAP=，∠ABP=
　　　　　　　　即∠BAP+∠ABP=45°
　　　　　 ∴∠APB=180°-45°=135°
　解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　 ∴=45°
　　　　　 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　　　∠DBC=，∠PAC=
　　　　　∴∠DBC+∠PAD=45°
　　　　　∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.

 【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系．

类型三、综合运用

5 . 已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.

    （1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？

    （2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形？并求出ΔABC的周长。

【思路点拨】△ABC的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方程中根与系数的关系.

【答案与解析】(1)∵AB、ACAB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,

          ∴AB+AC=2k+3,AB×AC= k2+3k+2

          又∵ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5

          ∴

          ∴

          即

          ∴

          当k=-5时，方程为

          解得（不合题意，舍去）

          当k=2时，方程为

          解得

         ∴当k=2时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形.

(2)当ΔABC是等腰三角形时，则有①AB=AC,②AB=BC,③AB=BC三种情况：

∵△==1>0

∴AB≠AC,故第一种情况不成立；

当AB=BC或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根

∴

当k=3时，，

∴

∴等腰三角形的边长分别是5,5,4.周长为14；

当k=4时，，

∴

所以等腰三角形的边长是5,5,6，周长是16.

【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.

【变式】已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（   ）.

       A. 150           B. 300             C. 450         D. 600

【答案】B.

6．（2015春•威海期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．

【思路点拨】根据EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

【答案与解析】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵EH⊥AB于H，

∴△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=BH，∠BEH=45°，

∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，

∴DE=HE，

∴DE=BH=HE，

∵BM=2DE，

∴HE=HM，

∴△HEM是等腰直角三角形，

∴∠MEH=45°，

∴∠BEM=45°+45°=90°，

∴ME⊥BC．

【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键．

【高清课堂：等腰三角形与直角三角形   例6】

【变式】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④ AB-BC=2MC；其中正确的结论有(    ) A.1个     B.2个     C.3个      D.4个

【答案】D.

中考总复习：全等三角形—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ）
　　A．　　　B． 　　　C．或　　　 D．或
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 （   ）A．5个 　　　B．4个　　　 C．3个　　　 D．2个
　　
 

3．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是(    )
　　A. 1：2：4 　　　B. 1：3：5 　　　C. 3：4：7 　　D. 5：12：13
4．下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有(    )
　　(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C.
　　A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个

5. 已知：△ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（   ）
　　A. 　　　B. 　C. 　　　D.
　　　　　　　　　　　

6.（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题

7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_____________度．

8．如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为_________.

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB=10，则△BDE的周长等于____________.
　　

10．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于_________.

11. （2015春•鄄城县期中）如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为　  　，∠ABD=　     ．

12. 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为      ．

三、解答题

13.   如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：

     （1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；

     （2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

14.（2015秋•淮安期中）如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．

（1）如图1，填空∠B=　    ，∠C=　     ；

（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2

①求证：△ANE是等腰三角形；

②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

15．已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．

1）求证：AB＝CD；
2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
　　
　

16.（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3,…，设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成，按此规律推断s与n有怎样的关系；

（2）现有一个等角六边形ABCDEF（六个内角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；

（3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】提示：分类讨论.

2.【答案】A

3.【答案】D．　　

【解析】常见的一些勾股数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍数等，应熟练掌握.
D中设三边的比中每一份为k，则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D.

4.【答案】D.

【解析】三角形中有一个角是90°，就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得△ABC中∠C =90°.故选D.

5.【答案】B.

6.【答案】A.

【解析】∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，

∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，

∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，

在△CDE与△DBF中，

，

∴△CDE≌△DBF，

∴DE=DF，CE=BF，故①正确；

∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．

二、填空题

7．【答案】270°.

【解析】提示：根据邻补角的性质可得.

8．【答案】.

【解析】

作DF⊥BE,∵BC=CD，∴∠1=30°，又∵为2的等边三角形

∴DF=，即BD=

9．【答案】10.

10．【答案】90°.

11．【答案】2cm; 75°

【解析】①∵AB=AC，∠ABC为60度，

∴△ABC为等边三角形．

在△ABD和△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AE是BC边的中垂线，

∴BE=BC=2cm；

故答案是：2cm；

②∵AB=AD（已知），

∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），

∴∠ABD=（180°﹣∠BAD）=（180°﹣30°）=75°．

故答案是：75°．

12．【答案】腰为10，底边长为1.

【解析】提示：注意此类题型要分类讨论，最终结果要进行验证.

三、解答题

13.【答案与解析】

(1)将△ABO绕A点旋转60度，使B与C重合，O点转动后的点为O'，
因为AO=AO'，∠AOO'=60°，所以△AOO'是等边三角形。所以OO'=OA．
转动后O'C=OB，所以△OO'C其实就是以OA、OB、OC为边组成的三角形，
∠COO'=360°-∠AOB-∠BOC-∠O'OA=360°-110°-135°-60°=55°，
∠C O'O=∠AO’C-∠O O'A=∠AOB-∠O O'A=110°-60°=50°，
∠O'CO=180°-∠COO'-∠C O'O=180°-55°-50°=75°．
（2）从上面的角度计算我们可以看出来，当∠BOC可变时，∠C O'O依旧为定值50°.

若三角形为直角三角形，则∠COO'=90°或∠O'CO=90°.
若使∠COO'=90°，则360°-∠AOB-∠BOC-∠O'OA=90°，可解出∠BOC=100°．
若使∠O'CO=90°，则∠COO'=40°，可解出∠BOC=150°.

14.【答案与解析】

解：（1）∵BA=BC，

∴∠BCA=∠BAC，

∵DA=DB，

∴∠BAD=∠B，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，

∴∠DAC=∠B，

∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，

∴2∠B+2∠B+∠B=180°，

∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，

故答案为：36；72；

（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，

∴∠BAD=36°，

在△ACD中，∵AD=AC，

∴∠ACD=∠ADC=72°，

∴∠CAD=36°，

∴∠BAD=∠CAD=36°，

∵MH⊥AD，

∴∠AHN=∠AHE=90°，

∴∠AEN=∠ANE=54°，

即△ANE是等腰三角形；

②CD=BN+CE．

证明：由①知AN=AE，

又∵BA=BC，DB=AC，

∴BN=AB﹣AN=BC﹣AE，CE=AE﹣AC=AE﹣BD，

∴BN+CE=BC﹣BD=CD，

即CD=BN+CE．

15.【答案与解析】

(1)证明：∵AF平分∠BAC，
　　　　∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC．
　　　　∵D与A关于E对称，
　　　　∴E为AD中点．
　　　　∵BC⊥AD，
　　　　∴BC为AD的中垂线，
　　　　∴AC＝CD．
　　　　∵在Rt△ACE和Rt△ABE中
　　　　∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB．
　　　　∴∠ACE＝∠ABE，
　　　　∴AC＝AB．
　　　　∴AB＝CD．
　　(2)∵∠BAC＝2∠MPC，
　　　 又∵∠BAC＝2∠CAD，
　　　 ∴∠MPC＝∠CAD．
　　　 ∵AC＝CD，
　　　 ∴∠CAD＝∠CDA，
　　　 ∴∠MPC＝∠CDA．
　　　 ∴∠MPF＝∠CDM．
　　　 ∵AC＝AB，AE⊥BC，
　　　 ∴CE＝BE．
　　　 ∴AM为BC的中垂线，
　　　 ∴CM＝BM．
　　　 ∵EM⊥BC，
　　　 ∴EM平分∠CMB，
　　　 ∴∠CME＝∠BME．
　　　 ∵∠BME＝∠PMF，
　　　 ∴∠PMF＝∠CME，
　　　 ∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)．

16.【答案与解析】

(1)s=n2 

(2)19.  提示：延长FA、CB交于点P，延长AF、DE交于点Q，延长ED、BC交于点R，可证ΔPAB、ΔQEF、ΔRCD、ΔPQR为等边三角形 ．

∴DC=CR=DR=3，AB=BP=AP=2，即PR=3+2+5=10=QR=QP,∴EF=6，FA=2，

∴周长=1+3+5+2+2+6=19．

(3)能，s=102-22-32-62=51(个)．