新高考数学一轮复习小题精练8+4+4选填专练 (26)（2份打包，解析版+原卷版）

新高考“8+4+4”小题狂练（26）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.

【详解】由集合，，

所以.

故选：B

【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.

2.已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（    ）

A.  B. 3

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

化简复数的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，复数，

因为复数为纯虚数，可得，解得.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.

3.己知，，则下列各式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可.

【详解】解：对于选项：因为函数在上单调递增，所以时，，故选项错误；

对于选项：因为在单调递增函数，所以，，故选项正确；

对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误；

对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.

4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型概率求法求解.

【详解】∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，

∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有个，

满足差的绝对值为5的有，，，，共5个，

则其差的绝对值为5的概率为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.

5.函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.

【详解】，函数是奇函数，排除，

时，，时，，排除，

当时，，

时，，排除，

符合条件，故选C.

【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.

6.已知函数是定义在上的奇函数，当0时，，则（  ）

A. 3 B. -3 C. -2 D. -1

【答案】B

【解析】

【分析】

由，可求，代入可求，然后结合奇函数的定义得，进而求得的值.

【详解】是定义在上的奇函数，且时，，

，

，，

则.

故选：B.

【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数为奇函数且在有定义，则，理解这一知识点是求解本题的关键．

7.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得的坐标，设，，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得，的方程，结合离心率公式可得所求值．

【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，

设双曲线的一条渐近线方程为，

可得直线的方程为，与双曲线联立，

可得，，

设，，

由三角形面积的等积法可得，

化简可得①

由双曲线的定义可得②

在三角形中，为直线的倾斜角），

由，，可得，

可得，③

由①②③化简可得，

即为，

可得，则．

故选：C.

【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．

8.如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先设大球半径为，小球半径为，根据题中条件，分别表示出，进而可作差比较大小．

【详解】设大球半径为，小球半径为，根据题意，

所以．

故选：D．

【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（    ）

A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商

B. 三家设备商的产品组合指标得分相同

C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商

D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD均正确.

【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，

P设备商的研发投入在最外边，即P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商，故A正确；

三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；

R设备商的研发投入优于Q设备商，故C错误；

除产品组合外，P设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.

10.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（    ）

A. 该椭圆的焦距为6 B. 的最小值为2

C. 的值可以为 D. 的值可以为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.

【详解】由椭圆，得，，，故A正确；

椭圆上的动点，，即有，

故的最小值为2，B正确；

设，，，…组成的等差数列为，公差，则，

又，所以，所以，所以的最大值是，

故C正确，D错误.

故选：ABC.

【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.

11.对于四面体，下列命题正确的是（    ）

A. 由顶点作四面体的高，其垂足是的垂心

B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点

C. 若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面

D. 最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱

【答案】BD

【解析】

【分析】

依题意画出图形，数形结合一一分析可得；

【详解】解：如图取、、、、、的中点

对于A.三角形的垂心是三条高线的交点，而点的位置可以任意变化，故A错误；

对于B.，，为平行四边形，同理也是平行四边形，

，的交点为平行四边形对角线的中点，，的交点为平行四边形对角线的中点，

故三条线段交于一点，故B正确；

若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于的中点，故C为错误；

对于D.假设D错误，设最长，则，，相加得，

在，中，，，所以矛盾，

故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题．

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.己知函数，则（    ）

A. ，

B. 是偶函数

C. ，

D. 若的值域为集合，，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由取整函数的定义判断.

【详解】由定义得，故 A正确；

因为.易知在上是增函数；

∵，∴，∴，∴的值域为，故B错误.

，，，，

∴，，

∴，故C正确；

若，，使得，，，…，同时成立，则，，，，…，，

因为，若，则不存在同时满足，.只有时，存在故D正确；

故答案为：ACD.

【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用商数关系，由得到代入求解.

【详解】方法一：，则.

方法二：分子分母同除，得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为______.

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；

【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，，所以，

又,所以.

故答案为：

【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.

15.设函数的最小值为，且，则______，______.

【答案】    (1). 2    (2). 9

【解析】

【分析】

化简函数，换元后利用的单调性求出最小值即可得出，将转化为，再利用展开式的通项即可得到答案.

【详解】由，

令，

因为函数，为减函数，

所以当时，，

即，

所以，

因为的展开式通项为：，

所以当，即时，展开式的项为，

又，所以.

故答案为：2；9

【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.

16.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，己知常数，，且函数在内恰有2021个零点，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出，，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根，，又，则、异号，再对、分四种情况讨论得解.

【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到函数

，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为，

令，

令，可得，

令，得，，

则关于的二次方程必有两不等实根，，

又，则、异号，

（ⅰ）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在有偶数个根，不合题意；

（ⅱ）当且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意；

（ⅲ）当，则，

当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，

则方程在上有个根，

由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意；

（ⅳ）当时，则，

当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，

则方程在上有个根，

由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此关于的方程在区间上有2021个根，在区间上有2022个根，

此时，，得.

所以.

故答案为：1347.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.