新高考数学二轮专题《解三角形》第7讲 三角形最值问题之一般最值（2份打包，解析版+原卷版）

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第7讲 三角形最值问题之一般最值1．（2021•淄博模拟）已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（　　） A． B．x＜5 C．2＜x D．x＜5【解析】解：因为三角形为锐角三角形，所以三角形的三个内角都为锐角，则设3对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα0，即x2＞5，解得x或x（舍去）；设x对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ0，即x2＜13，解得0＜x，所以x的取值范围是x．故选：A．2．（2021•清远期末）在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：3：x，且△ABC为锐角三角形，则x的取值范围是（　　）A． B．x＜5 C．2＜x D．x＜5【解析】解：由正弦定理可知，a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝2：3：x，即：a：b：c＝2：3：x①、若b是此三角形中的最大边，则：1＜x＜3；∴cosB0，则：x．从而此时，有：．②、若c是此三角形中的最大边，则：x≥3∴cosC，得：．从而此时，有：3．综上x的取值范围是．故选：A．3．（2021•芜湖期末）已知钝角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（　　）A．1＜x＜5 B．x C．1＜x或x＜5 D．1＜x【解析】解：当x为最大边时，，∴x＜5；当3为最大边时，，∴1＜x．∴x的取值范围是：1＜x或x＜5．4．（2020秋•天山区校级期末）在△ABC中，，则最大角的余弦值是（　　）A． B． C． D．【解析】解：∵，则，∴c＝3；故角B为最大角，cosB故选：B．5．（2020秋•梅县校级期中）在△ABC中，若a＝7，b＝8，c＝3，则最大角的余弦是（　　）A． B． C． D．【解析】解：∵a＝7，b＝8，c＝3，∴b为最大边，得∠B是最大角由余弦定理，得cosB．即最大角的余弦值等于．故选：C．6．（2021•浦东新区校级月考）在边长为的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A正好落在边BC上，则AM的长度的最小值为（　　）A． B． C．2 D．【解析】解：显然A，P两点关于折线MN对称，连接MP，图（2）中，可得AM＝PM，则有∠BAP＝∠APM，设∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，再设AM＝MP＝x，则有MBx，在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，∴∠BPM＝120°﹣2θ，又∠MBP＝60°，在△BMP中，由正弦定理知 ，即 ，∴x，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．此时x取得最小值2，且∠AME＝75°．则AM的最小值为2．故选：C．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足tanB，点E，F分别是AC，AB的中点，则的取值范围是（　　）A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，）【解析】解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由题意得，tanB，则，即3sinAcosB＝﹣3cosAsinB+2sinB，∴3sin（A+B）＝2sinB，由A+B＝π﹣C得，sin（A+B）＝sinC，即3sinC＝2sinB，由正弦定理得，3c＝2b，即bc，∵点E，F分别是AC，AB的中点，∴由中线长定理得，BE，CF，∴，∵a＜b+c且a+c＞b，∴c＜ac，则，∴，∴，则，则的取值范围是，故选：B．8．（2020秋•虹口区期末）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（　　）A． B．[4，6] C． D．【解析】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||＝2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴（cosα﹣4，sinα+3），∴||2＝（cosα﹣4）2+（sinα+3）2＝6sinα﹣8cosα+26＝10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）＝﹣1时，||取得最小值4，当sin（α﹣φ）＝1时，||取得最大值6．故选：B．9．（2021•海淀区校级模拟）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，则AD的长度的最小值为（　　）A． B．23 C．32 D．【解析】解：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，图（2）中，可得AD＝PD，则有∠BAP＝∠APD，设∠BAP＝θ，∠BDP＝∠BAP+∠APD＝2θ，再设AD＝DP＝x，则有DB＝1﹣x，在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，∴∠BPD＝120°﹣2θ，又∠DBP＝60°，在△BDP中，由正弦定理知，即∴x，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．此时x取得最小值23，且∠ADE＝75°．则AD的最小值为23．10．（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于　2　，AC的取值范围为　（）　．【解析】解：（1）根据正弦定理得：，因为B＝2A，化简得即2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B＝2A得到A+2A且2A，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA＝AC，故．故答案为：2，（，）11．（2020秋•河南月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2c﹣a）sinC，且b＝2，则△ABC周长的取值范围为　（4，6]　．【解析】解：∵（2c﹣a）sinC，∴由正弦定理可得：（2c﹣a）c＝b2+c2﹣a2＝2bccosA，∴可得：2c﹣a＝2bcosA，可得：cosA，∴由余弦定理可得：cosA，整理可得：c2+a2﹣b2＝ac，∴cosB，∵B∈（0，π），可得：B，且b＝2，∴由正弦定理，可得：a＝4sinA，c＝4sinC＝4sin（A），∴△ABC周长L＝b+a+c＝24sinA+4sin（A）＝24sinA+4（cosAsinA）＝4sin（A）+2，∵A∈（0，），A∈（，），sin（A）∈（，1]，∴△ABC周长L＝4sin（A）+2∈（4，6]．故答案为：（4，6]．12．（2020•淮安二模）在△ABC中，已知AB＝2，AC2﹣BC2＝6，则tanC的最大值是　　．【解析】解：∵AB＝c＝2，AC2﹣BC2＝b2﹣a2＝6，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣2abcosC，∴（b2﹣a2）＝a2+b2﹣2abcosC，∴（）2﹣2cosC0，∵△≥0，∴可得：cosC，∵b＞c，可得C为锐角，又∵tanC在（0，）上单调递增，∴当cosC时，tanC取最大值，∴tanC．故答案为：．13．（2020春•商丘期末）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则（）•的最大值是　7　．【解析】解：∵，∴2•16﹣2×4×2cos60°+4＝12，∴BC，∴AC2＝AB2+BC2，即AB⊥BC，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），C（，0），A（0，2），设D（2x，0），则M（x，1），0≤x，∴（2x，﹣2），（2x，﹣2），∴（）•2x（2x）+4＝﹣4x2x+4＝﹣47，当x时，（）•取得最大值，为7．故答案为：7．14．在三角形ABC中，已知AB＝2，且2，则三角形ABC的面积的最大值为　　．【解析】解：依题意，设BC＝a，则AC＝2a，又AB＝2，由余弦定理得：（2a）2＝a2+22﹣4a•cosB，即3a2+4acosB﹣4＝0，∴cosB，∴cos2B，∴sin2B＝1﹣cos2B，∵S△ABCAB•BCsinB2asinB＝asinB，∴a2sin2B＝a2（）（a4）﹣1，当a2，即a时，2、、能组成三角形，∴，∴三角形ABC的面积的最大值为．故答案为：．15．（2020秋•河南月考）在△ABC中，若3AB＝2AC，点E，F分别是AC，AB的中点，则的取值范围为　（，）　．【解析】解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵E、F分别是AC，AB的中点，∴c2+a2＝2BE2，b2+a2＝2CF2，∵3AB＝2AC，即3c＝2b．∴2BE2＝a2，2CF2＝a2．∴，∵a＜b+c，且a+c＞b，∴，且3．∴（）2＜9．∴∈（，）．∴∈（，）．故答案为：（，）．16．（2020•龙岩二模）在边长为1的正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，沿线段DE折叠三角形ABC，使顶点A正好落在BC边上，则AD长度的最小值为　23　．【解析】解：显然A，P两点关于折线DE对称连接DP，图（2）中，可得AD＝PD，则有∠BAP＝∠APD，设∠BAP＝θ，∠BDP＝∠BAP+∠APD＝2θ，再设AD＝DP＝x，则有DB＝1﹣x，在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，∴∠BPD＝120°﹣2θ，又∠DBP＝60°，在△BDP中，由正弦定理知∴x，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．此时x取得最小值23，且∠ADE＝75°．则AD的最小值为23．故答案为：23．17．在△ABC中，已知AB＝2，C，求△ABC的周长的最大值．【解析】解：由正弦定理可得，变形可得ACsinB，BCsinA，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2sinBsinA＝2sin（A）sinA＝2（cosAsinA）＝2+4sin（A），∵A∈（0，），∴A∈（，），∴sin（A）∈（，1]∴当sin（A）＝1时，△ABC的周长2+4sin（A）取最大值6